utorok, 29. decembra 2009

Hádanka o supertrampolíne

Včera sme s manželkou navštívili našich milých známych. A keďže majú deti a záhradu, kúpili deťom do záhrady veľkú trampolínu. Tak som si prvýkrát v živote zaskákal na tomto zariadení. Bolo to skvelé.


Fungovanie trampolíny som si vysvetlil takto: keď vyskočím, a potom padám k zemi, mám určitú pohybovú energiu. Pri dopade na asfalt sa táto energia "rozplynie". Nezanikne, len sa premení na iné formy, najmä asi na teplo. Zohrejú sa moje svaly, ktorými brzdím dopad, deformujú sa tkanivá v mojom tele, zohreje sa trochu aj ten asfalt a moje topánky. Keď však dopadnem na trampolínu, energia môjho pohybu sa do trampolíny "uloží". To sa prejaví tým, že trampolína sa natiahne. Trampolína sa naťahuje a ja sa spomaľujem. V momente, keď je tramolína pekne vydutá smerom dolu a ja som zastavil, je všetka moja pohybová energia odovzdaná trampolíne. Na malý okamih sa svet zastaví.

Potom nasleduje druhá časť pohybu - trampolína mi začne odovzdávať späť energiu, ktorú som si do nej uložil, vytláča ma smerom hore, odkiaľ som na ňu pristál. Keď sa od trampolíny odlepím letiac hore, uložená energia sa mi vrátila. Letím smerom hore takou rýchlosťou, akou som na trampolínu pred chvíľkou dopadol! To znamená, že trampolína mi vlastne zadarmo pomohla otočiť smer môjho pohybu o 180°. Najlepšie na tom je, že z trampolíny sa nenechám len tak vymršťovať, ale pri každom odraze sa znovu a znovu odrážam aj nohami. Výsledok je taký, že sa dostávam stále vyššie a vyššie.

Samozrejme, v živote je máločo úplne zadarmo, a aj trampolína si za moju zábavu necháva zaplatiť. Trochu mojej energie si uchmatne pre seba. Je to spôsobené prinajmenšom dvomi obmedzeniami, ktoré má každá trampolína v našom fyzikálnom svete. Prvé: Časť energie trampolína pohltí. Keby som na trampolínu hodil kus dreva, po pár odrazoch nakoniec skákanie skončí a drevo bude ležať na zastavenej trampolíne. Neviem presne kam sa tá energia podeje, asi sa premení na teplo kvôli vnútornému treniu pri naťahovaní pružín. Druhé: Po niekoľkých odrazoch dosiahneme takú výšku, že pri dopade na trampolínu sa trampolína napne do svojej maximálnej efektívnej miery - viac energie už do svojich pružín uložiť nevie, už sú napnuté na maximum. To znamená, že vyššie sa už nebude dať vyskočiť. Keby sme na trampolínu dopadli predsalen z ešte väčšej výšky, asi by to bolelo, alebo by sa poškodila trampolína (prípadne by sme skončili dolámaní na pretrhnutej trampolíne). Toto si môžete ľahko overiť - naťahovaním pružinky z guličkového pera. Keď prekročíte určitú mieru, pružina sa už nevráti do pôvodnej polohy, ostane natiahnutá, "pokazená".

Napadla mi takáto hádanka: Predstavte si, že by výskumníci z NASA vyrobili supertrampolínu, ktorá by nemala ani jedno z týchto obmedzení. Teda by za každých okolností vracala presne 100% energie telesu, ktoré na ňu dopadlo. Ako vysoko by s takouto trampolínou dokázal vyskočiť bežne trénovaný človek (alebo hoci aj nejaký skvelý atlét)? Dalo by sa s jej pomocou vyskočiť vyššie ako 300 metrov? Dalo by sa vyskočiť až na Mesiac?

Som zvedavý, či objavíte nejaké horné obmedzenie.

sobota, 12. decembra 2009

Stredový a obvodový uhol

Nestihli sme si na hodine dokázať vetu o vzťahu obvodového a stredového uhla. Týmto príspevkom by som chcel splatiť svoju podlžnosť. Aby nikto nebol na pochybách, pripomeňme si najmprv, o akých uhloch to hovorím.

Nech A a B sú ľubovoľné dva rôzne body ležiace na kružnici k. Tieto dva body rozdeľujú kružnicu na dva oblúky AB. Pokiaľ úsečka AB nie je priemerom kružnice, tak jeden oblúk AB je dlhší a druhý kratší. K ľubovoľnému z oblúkov AB prislúcha nekonečne veľa obvodových uhlov a jeden jediný stredový uhol.

Uhol AVB, ktorého vrchol V je bodom kružnice a jeho ramená prechádzajú krajnými bodmi oblúku AB nazývame obvodový uhol príslušný k tomu oblúku AB, ktorý v tomto uhle leží. (Na obrázku leží v uhle AVB kratší oblúk AB, preto je to o.u. príslušný ku kratšiemu oblúku AB.)

Ku každému oblúku AB prislúcha presne jeden stredový uhol ASB. Opäť hovoríme o uhle príslušnom k tomu oblúku AB, ktorý v tomto uhle leží. Vrchol S je stred kružnice.

Platí veta: Veľkosť stredového uhla je rovná dvojnásobku veľkosti obvodového uhla príslušného k tomu istému oblúku kružnice.

Dôkaz: Platnosť vety dokážeme pre uhly kratšieho oblúka AB (tak ako na obrázku). Obvodových uhlov príslušných k oblúku AB je nekonečne veľa. Ich vrcholy môžu ležať kdekoľvek na dlhšom oblúku AB. Rozmeňme si preto problém na drobné a dôkaz vyriešme pre tri rôzne možné typy pozícií vrcholu V.

i. Ak má vrchol V takú polohu na kružnici k, že stred S leží na jednom jeho ramene (na obrázku S leží na VA). Vtedy je dôkaz ľahký. Platí, že SV = SB, pretože obe úsečky sú polomery kružnice k. Trojuholník VSB je teda rovnoramenný. To znamená, že uhly pri jeho základni sú zhodné (na obr.: alfa). Stredový uhol ASB je vonkajší uhol trojuholníka VSB, a preto sa jeho veľkosť rovná súčtu uhlov pri zvyšných vrcholoch.ASB = 2.AVB

A to sme chceli dokázať. Stredový je dvojnásobok obvodového.

ii. Druhá situácia nastáva vtedy, ak je stred S vnútorným bodom obvodového uhlu AVB (ľavý obrázok). Vyzerá to zložitejšie, tu už žiadny rovnoramenný trojuholník na prvý pohľad nevidno. Ako to býva v matematických dôkazoch zvykom, stačí spraviť malý trik. Rozdeľme uhol AVB na dva menšie uhly AVS a SVB (pravý obrázok). Tým však vzniká situácia z bodu i., pretože tu máme dva obvodové uhly, pre ktoré platí, že stred S leží na ich ramenách. Takže podľa i. platí, že omega1=2.alfa1, omega2=2.alfa2. Sčítaním oboch vzťahov získame to, čo sme chceli. ASB = 2.AVB


iii.
Najťažšia chvíľa príde vtedy, keď S leží mimo obvodového uhla AVB. Opäť spravíme fintu a doplníme si do obrázka ešte jednu polpriamku - VC. Vznikne nám tak ďaľší pár obvodových a stredových uhlov. K oblúku CB teraz prislúcha stredový uhol CSB, ktorý je dvakrát taký veľký ako obvodový uhol CVB, tiež podľa už dokázaného bodu i. Teda CSB = 2.CVB. Podobne pre oblúk CA platí CSA = 2.CVA. Odčítaním oboch vzťahov dostávame ASB = 2.AVB.


Ak ste sa cez tento text prehrýzli až sem, dôkaz pre uhly príslušné k dlhšiemu oblúku AB už zvládnete poľahky aj sami.

Poznámka: Dôkaz je spracovaný podľa vynikajúcej českej učebnice Matematika pro gymnázia: PLANIMETRIE, RNDr. E. Pomykalová, Prometheus 2008.

streda, 9. decembra 2009

School fun II.

Od septembra sa v škole udialo veľa vtipných vecí. Situačný humor sa síce nedá veľmi dobre zachytiť, ale aspoň pár dialógov, ktoré sa tu odohrali, napíšem:

Počas písomky sa jedna študentka spýtala na poradie riešenia úloh. Nestihol som zareagovať, lebo sa ozval niekto z chalanov:
- Musím začať od jednotky?
- Nie, len aby si neskončila s päťkou.

Keď sme preberali kritériá deliteľnosti a dostali sme sa k deliteľnosti číslom 11, nedalo mi, aby som nepredviedol čarovanie s rodnými číslami. Od určitého dátumu sa totiž na Slovensku (v Československu) vytvárajú štvorčíslia za lomítkom v rodnom čísle tak, aby celé r. č. ako jedno 10 miestne číslo bolo deliteľné 11. Pre niektorých prvákov to bol naozaj šok a boli priam ohúrení. Jedna prváčka svoje rodné číslo nepoznala, tak sme aspoň tých prvých šesť cifier jej r.č. "odvodili" z dátumu jej na rodenia a napísali na tabuľu. Tu zas niektorých chalanov prekvapilo, ako sa v dievčenských r. č. mení na tretej pozícii 0 na 5 a 1 na 6. Strhujúce pojednanie o rodných číslach nakoniec uzavrel jeden z chalanov, ktorý mi položil úprimne zadivenú otázku:
- Pán učiteľ, vy ste predtým ako ste začali učiť, robili v Sociálnej poisťovni?

Inak, neviete niekto náhodou, ako to celé s tou 11 a rodnými číslami vzniklo? Ja mám podozrenie, že to niekto vymyslel iba preto, aby učitelia matematiky mali v prvom ročníku na stredných školách čím zabávať svojich žiakov. Existuje takáto vec aj niekde mimo Slovenska a Čiech?

Kolegyňa bola tíšiť hluk v triede, kde meškal učiteľ:
- Čo máte mať za hodinu?
- Náboženstvo s Andrejom. Ale Boh vie, kedy ten príde.

Môj najobľúbenejší rozhovor sa odohral vo dverách do zborovne:
- Dobrý deň, je tam, prosím vás, pani učiteľka Troppová?
- Niet tu ani nohy.
- A nie sú tam ani nohy pani učiteľky Troppovej?

Zaujímavá bola tiež skúsenosť s reakciou na slovo "konečne". Človeku po matfyze toto slovo automaticky vyvoláva asociáciu s mohutnosťou konečných množín. Veľmi ma teda prekvapili pobavené tváre študentov, keď som na tabuľu napísal vetu: "Prvočísel je konečne veľa." Im to totiž znelo tak, ako keby ich ešte včera bolo málo. Ako keby to bol taký ten povzdych, že "no konečne..." Musel som to prepísať na "konečný počet".