nedeľa, 26. septembra 2010

Tri ľahké hádanky s bicyklami

Pár hádaniek o bicykloch. Prvé dve sú voľne prerozprávané z knihy The Moscow Puzzles. Tretia je odhadovka, cieľom je nájsť rádovo presný odhad.

Hádanka č.1: "Cestou z práce dostal cyklista v dvoch tretinách svojej cesty defekt. Zvyšok cesty bicykel tlačil. Kráčaním strávil dvakrát toľko času ako na bicykli. Koľkokrát rýchlejšie bicykloval ako kráčal?"

Hádanka č.2: "Adam a Braňo sa vydali na bicyklový výlet. Adam dostal po chvíli defekt. Keď ho opravil, zavolal Braňovi, ktorý medzitým pokračoval ďalej. Kamaráti po chvíli telefonovania vykoumali, že Adam má prejdenú ešte len polovicu z toho, čo Braňovi ostáva do konca, pričom Braňovi do konca cesty ostáva už iba polovica toho, čo už doteraz prešiel. Koľkokrát rýchlejšie ako Braňo bude musieť Adam bicyklovať, ak chce, aby dorazili do cieľa naraz? Má šancu Braňa dobehnúť?"

Hádanka č.3: "Koľko otáčiek musí spraviť koleso bicykla, aby sa z pneumatiky zodrala jedna atómová vrstva materiálu?"

Špeciálna ponuka pre študentov z bilgymu: Ak sa vám podarí napísať presvedčivý odhad tretieho príkladu skôr ako to vyrieši niekto iný, máte u mňa liter chladenej kofoly!

utorok, 7. septembra 2010

Ako stávkovať v Lote?

Dnes sme na úvodnej hodine z matematiky rozmýšľali nad chúlostivou témou peňazí. Konkrétne sme si položili otázku, aký veľký musí byť jackpot v Lote, aby výhra bola vyššia ako náklady na nákup losov so všetkými možnými kombináciami 6 čísel zo 49. Potom sme si položili ešte jednu otázku - aká veľká a aká ťažká by asi bola tá kopa lístkov?

Počet všetkých možných šestíc spomedzi 49 čísel vypočítajú starší žiaci ľahko (naťukajú do kalkulačky "49 nCr 6", čiže kombinačné číslo 49 nad 6timi). S mladšími sme sa museli tuho zamyslieť. Ak by sme čísla losovali postupne tak, ako sa kedysi losovala Športka (také tie tancujúce pingpongové loptičky s číselkami) tak môžeme uvažovať nasledovne: najprv vyberáme prvé číslo. Na výber máme 49 možností. Keď ho máme, vyberáme ďalšie - spomedzi 48 zvyšných čísel, atď. Láka to k odpovedi, že šestica čísel sa dá vybrať 49.48.47.46.45.44 = 10 068 347 520 spôsobmi. V tomto obrovskom čísle však každú vytiahnutú šesticu započítavame veľa krát - zahŕňa totiž každé možné poradie vytiahnutia danej šestice (teda napríklad okrem šestice 3, 4, 5, 6, 7, 8 započítava aj šesticu 8, 7, 5, 3, 6, 4 atď.) Preto ho treba predeliť číslom, ktoré by vyjadrovalo, koľkými spôsobmi sa dá zoradiť šesť konkrétnych čísel, aby sme zaratúvali len originálne, rôzne šestice a vyhodili ich rôzne preusporiadania, ktoré sú z hľadiska výhry v Lote to isté. Napríklad trojica čísel sa dá zoradiť šiestimi spôsobmi (123, 132, 213, 231, 312, 321). So šesticou by bolo vypisovanie náročnejšie, ale môžeme použiť rovnakú úvahu ako na začiatku a dostaneme súčin 6.5.4.3.2.1 = 720. Počet všetkých možných výsledkov žrebovania v Lote teda je 13 983 816. Pri cene 65 centov za jeden žreb by sme na vykúpenie všetkých možností potrebovali niečo vyše 9 miliónov eur. Že vraj minulý rok bol jackpot vyše 10 miliónov, to keby som vedel...

Keby som si chcel tých 14 miliónov lístkov fyzicky kúpiť, ako by som si ich odniesol domov? Skúsme odhadnúť objem jedného tipovacieho ticketu. Môže to byť papierik tak asi 15 cm dlhý, 7 cm široký a hrubý možno 0,1 mm (Balík 500 ks kancelárskych papierov je hrubý asi 7 cm, tie žreby sú o kúsok tenšie). Objem jedného lístku je teda 1,5.10-1.7.10-2.1.10-4 = 1,05.10-6 m3 (teda asi jedna milióntina kubíka). Ak by každé šesťčíslie bolo vyznačené na jednom lístku, tak by celkový objem lístkov bol zhruba 1,4.107.10-6 m3, teda 14 m3. Koľko to je? Nákladné auto TATRA (dá sa kúpiť napríklad tu) má prepravný objem 12 m3. Takže jedna tatrovka by vám nestačila.

Odhadnúť hmotnosť takej kopy už nie je veľký problém - papier vo vode pláva, kým sa nenapije, teda bude mať hustotu o kúsok menšiu než voda. Meter kubický vody váži tonu, tak nech kubík papiera váži trebárs 900 kg. Naše stávkovanie teda bude vážiť niečo cez 12 ton.


True Story na záver

Všetkým študentom hovorím, aby sa nevenovali stávkovaniu (jedine ak by sami mali vlastnú herňu alebo kasíno, vtedy sa to naozaj stáva výhodným...). Hovorím to napriek úplne skvelému príbehu môjho starého otca. Bol to taký slušný a dobrý človek. Napriek tomu si vždy raz za čas zvykol kúpiť žreb Športky (alebo "Sazky" alebo čosi podobné). Ako správny skeptik však žreb hneď po príchode domov hodil do koša. Raz takto išiel cestou z kostola okolo výkladu s uverejnenými vyžrebovanými číslami. Všimol si, že to sú také jeho typické číselká. Tak sa ponáhľal domov, vytiahol žreb z koša a... vyhral 1. cenu. V tom čase to nebola finančná výhra ale automobil Škoda 100. V živote nešoféroval auto, tak si kvôli tomu musel dokonca spraviť vodičák.

Preklep a pokus


Práve som na titulnej stránke sme.sk objavil preklep. Napísali, že dánsky karikaturista nakreslil Mohameda s turbanom namiesto bomby. Tak im idem hneď napísať, a som zvedavý, ako rýchlo to opravia. Stopujem čas: tri-šty-ri!