utorok, 16. júla 2013

Možno najdivnejší futbalový zápas v dejinách

Rado Harman na svojom blogu nedávno napísal: "Normálni chlapi sa v rámci oddychu rozprávajú o futbale, matematici si dávajú hlavolamy," nad čím by som sa obyčajne spokojne usmial, pretože aspoň v tejto veci mám bližšie k matematikom ako k normálnym chlapom. Ale práve teraz som čítal o jednom futbalovom zápase v knihe, ktorú napísal teoretický fyzik a matematik z University of Cambridge a tak si vravím - keď je dobrá zápletka, aj matematici sa pobavia futbalom.

Zápletka spočíva v systéme bodovania zápasov v rámci turnaja. Rôzne ligy a turnaje skúšajú podporiť atraktivitu hry rôznym oceňovaním výhier, remíz a prehier. Bežným systémom je udeliť víťaznému tímu 2 body, porazeným 0 bodov a v prípade remízy obidvom tímom po bode. Na podporenie útočnej hry sa začalo v niektorých súťažiach bodovať víťazstvo 3 bodmi.

Pomerne extravagantný vynález sa ale objavil v roku 1994 v Karibskom futbalovom pohári. Zaviedlo sa tu totiž pravidlo o zlatom góle - ak padne víťazný gól až v predĺžení, tento sa počíta za dva góly. Zradnosť takejto úpravy sa ukázala v kvalifikačnom zápase medzi Barbadosom a Grenadou. Barbados na postup potreboval zápas nad Grenadou vyhrať aspoň o dva góly. A vyzeralo to tak, že sa to aj podarí, Barbados viedol krátko pred koncom riadneho času 2-0. Vtom ale Grenada dala gól na 2-1. A teraz prišla úvaha na strane Barbadosu. Nie je ľahké, ani isté dať v posledných minútach gól na 3-1. Ak si má Barbados udržať šance na postup, oplatí sa mu viac streliť si vlastný gól na 2-2, dostať sa tak do predĺženia a tam potom skórovať zlatým gólom na 4-2! A tak si Barbados pár minút pred koncom 90-minútovky dal vlastný gól.

Vtedy však prišla úvaha na strane Grenady, ktorej stačilo, aby Barbados nevyhral o 2 a viac gólov. Grenade by stačilo prehrať 3-2. A tak sa rozhodli tiež si streliť vlastný gól, aby sa vyhli predĺženiu. Hráči Barbadosu ale presne túto myšlienku pochopili a tak sa pekne podujali brániť súperovu bránu.

Absurdná situácia: tím si chce streliť vlastný gól a súper mu bráni jeho vlastnú bránku. Nakoniec to dopadlo tak, že predĺženie sa konalo a Barbadosania dali gól, vyhrali 4-2 a postúpili.

Takýto futbal, aspoň takto teoreticky zaujme aj mňa. Ak máte chuť tu je fragment zápasu, a tu o tom rozpráva chlapík a spomína tam aj ďalší zaujímavý futbal :-)

pondelok, 8. júla 2013

Odhad zovšeobecneného narodeninového paradoxu podľa Halmosa

The joy of suddenly learning a former secret and the joy of suddenly discovering a hitherto unknown truth are the same to me -- both have the flash of enlightenment, the almost incredibly enhanced vision, and the ecstasy and euphoria of released tension.
P. Halmos, I want to be a Mathematician, 1985.

Moji študenti, teda aspoň tí, ktorí tesne pred hodinami so mnou nestrácajú chuť do života, poznajú maďarsko-amerického matematika Paula Halmosa. Niet totiž väčšej radosti ako tej, ktorú človek zažíva, keď rozochvenou rukou kreslí v pravom dolnom rohu dokončeného dôkazu "▯" - malý štvorček zvaný halmos, po Paulovi Halmosovi, ktorý túto grafickú skratku (významovo podobnú Q.E.D.) pomohol rozšíriť medzi matematikmi. A samozrejme, snažím sa, aby sme tých halmosov na matike mohli kresliť čo najviac.

Na Paula som pred pár dňami náhodou narazil pri krátkom texte J. D. Barrowa k narodeninovému paradoxu. Túto krásnu úlohu pokladám priam za kultúrne dedičstvo dvadsiateho storočia a tak sa jej venujem s každou študijnou skupinou, s ktorou narazíme na teóriu pravdepodobnosti. Barrow vo svojej knižke uvádza pekný odhad zovšeobecnenia úlohy, ktorý pochádza práve od Halmosa.

Nech nejaký parameter náhodne nadobúda n rôznych hodnôt (pri birthday probleme je n=365). Koľko ľudí treba náhodne vybrať, aby pravdepodobnosť výskytu aspoň dvojice s rovnakou hodnotou tohto parametru bola prinajmenšom 50%? Halmosov odhad je 1,18√n. Po tom, ako som si porovnal hodnoty z tohto vzorčeka s výpočtami pre niekoľko rôznych n sa mi vzorček páči ešte viac. Dúfam, že potešil aj Vás.

PS: Je strašne zaujímavé sledovať, ako takéto odhady vznikajú. Pamätám si, že nás na matfyze napríklad Chalmo učil robiť dolné a horné odhady zložitosti geometrických algoritmov. Ale keď pozerám na tohto Halmosa, tak nechápem, odkiaľ zbadal, že sa to správa takto "odmocninovo" a ako došiel na 1,18...

štvrtok, 4. júla 2013

Rýchlostný trik húseníc

Vďaka Lukášovi som nedávno objavil chlapíka, ktorý sa volá Destin a vyrába skvelé videá, nájdete ich viac na channeli SmarterEveryDay. Určite sa oplatí cez leto si pár jeho videí pozrieť!

Pred pár dňami som akurát pozeral tuto toto s húsenicami:



Trik týchto húseníc spočíva v tom, že keď sa pohybujú "na kope", ako celok sa presúvajú rýchlejšie, než by sa dokázali presunúť jednotlivé húsenice zvlášť. Je to spôsobené tým, že húsenice "na poschodí" sa pohybujú ako keby po pohyblivom páse (conveyor belt) a teda majú väčšiu výslednú rýchlosť voči zemi, než akú by mali, keby išli priamo po zemi. Celá skupina sa teda v priemere hýbe smerom k cieľu rýchlejšie.

Tento efekt sa Destin snaží vysvetliť v jednoduchej simulácii s LEGOm. A na konci simulácie spraví taký ten typický trik, ktorý robíme, keď sa nám zdá myšlienka jasná, ale nechce sa nám to dotiahnuť do konca :-) "...so we have two levels, so does it mean that this moves twice as fast? No, it doesn't. Do the math for me by looking at these grids and let me know in the comments, how much faster..."

Tak čo, ako to vidíte vy? Vedeli by ste úvahu dokončiť a povedať, koľkokrát rýchlejšie sa hýbu LEGO húsenice, ak idú v takomto dvojposchodovom húfe? Let me know in the comments, how much faster...

Hint: Keď som sa snažil niečo spočítať a potom to porovnať s počtom prejdých bodiek na LEGO mriežke, stále mi to nejako nesedelo. Potom som si uvedomil, že Destinov nápad s porovnaním modrých kociek je mierne zavádzajúci - pretože modrá v kope sa nepohybuje stále rovnako rýchlo. Ak by sme chceli použiť počítanie bodov na mriežke na porovnanie rýchlostí, bolo by lepšie počkať až kým sa modrá nevráti znovu na chvost kopy, alebo porovnávať radšej niečo iné...