tag:blogger.com,1999:blog-5119106980980507361.post5501874021172664189..comments2023-07-13T23:38:20.082+02:00Comments on rasťov poznámkový blok: Jablkový koláčrasťohttp://www.blogger.com/profile/15261415549518175135noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-5119106980980507361.post-90492209151317086382012-09-09T19:51:25.569+02:002012-09-09T19:51:25.569+02:00Goober, ďakujem za pekne dotiahnuté riešenie. (Mus...Goober, ďakujem za pekne dotiahnuté riešenie. (Musel som si to prečítať trikrát, kým som si v hlave vedel dobre nakresliť ten obrázok:-)rasťohttps://www.blogger.com/profile/15261415549518175135noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5119106980980507361.post-62036759409155884492012-08-16T02:57:28.269+02:002012-08-16T02:57:28.269+02:00Tak to som veru nečakal, že to bolo plánované :-)
...Tak to som veru nečakal, že to bolo plánované :-)<br /><br />Môj dôkaz konvergencie k 1/4 sa tiež zakladá na myšlienke, že "vnútri to vychádza 1/4 a okraj nie je až taký podstatný". Obrázkovo je to o dosť jednoduchšie na predstavenie, ale slovný opis je pomerne škaredý :-)<br /><br />Vyzerá to takto: Koláč s N pásikmi sa dá predstaviť ako kruh vpísaný do štvorčekovej siete pozostávajúcej z NxN štvorčekov, z ktorých niektoré sú zafarbené (napríklad tie, ktoré sú súčasne v nepárnom riadku a párnom stĺpci).<br /><br />Nakreslime teraz doňho menší kruh -- taký, že zhora a zľava si dáme rezervu jeden pásik a zdola a sprava to budú pásiky dva (taktne sme predpokladali, že N je aspoň 5). Tento menší kruh nám rozdelí koláč na "vnútro" a "okraj".<br /><br />Vnútro má jednu dobrú vlastnosť -- je to tiež mrežovník, ale na rozdiel od celého koláča, tento pozostáva z párneho počtu pásikov. Ajhľa, môžeme uplatniť zistenie o jednej štvrtine! Keďže malý kruh je tvorený (N-3) pásikmi, jeho plocha je (1-3/N)^2-násobkom plochy celého koláča a presne štvrtinu z nej tvorí plnka.<br /><br />Celková plocha plnky v koláči je teda minimálne takáto. Zvyšná plnka sa musí zmestiť do "okraju" (časť koláča mimo malého kruhu), a tak si vieme spraviť aj horný odhad plnkovej plochy.<br /><br />Keď si to dáme dokopy, dostaneme horný a dolný odhad na podiel plnky v koláči. No a ako sa ľahko ukáže, tieto dva odhady oba konvergujú k 1/4.gooberhttps://www.blogger.com/profile/02157619797434495059noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5119106980980507361.post-69775084280255484342012-08-15T11:36:47.092+02:002012-08-15T11:36:47.092+02:00Ďakujem, Gooberova návšteva ma vždy poctí, ale pro...Ďakujem, Gooberova návšteva ma vždy poctí, ale protestujem, tá zákernosť nebola nezamýšľaná, veď som sa tu s tým nepárnym prípadom doma pri tabuli pekne vytrápil :-)<br /><br />Mne sa práve preto tá úloha tak veľmi páči - je o koláči, čo je samo o sebe super, časť úlohy má odmeňujúco pekné riešenie, ale navyše je v nej aj zádrheľ, ktorý si na prekonanie asi vyžaduje buď riadnu drinu alebo nejaký super skill - dokázať sa mi to už nepodarilo...<br /><br />Jediný krôčik, ktorý by mohol byť užitočný mi napadol - ak by bol koláč štvorcový a rozkrájaný na nepárny počet pásikov, dá sa tá konvergencia k 1/4 pekne dokázať. No a možno by sa k tomu dalo teraz nejako matematicky krajsie dopovedať, že "ak so šírkou pásikov ideme limitne k nule, tak tie okrúhle kúsočky, ktoré mätú výpočty a ktoré činia rozdiel medzi štvorcom a kruhom vpodstate zaniknú"? A teda aj pre kruh je to 1/4...rasťohttps://www.blogger.com/profile/15261415549518175135noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5119106980980507361.post-21696780223167277002012-08-15T02:20:24.893+02:002012-08-15T02:20:24.893+02:00Pekná úloha, ale v skutočnosti o málo zákernejšia,...Pekná úloha, ale v skutočnosti o málo zákernejšia, ako bolo zamýšľané ;-)<br /><br />Pokiaľ je počet pásikov párny, stačí mrežovník dvakrát preložiť napoly, raz vodorovne a raz zvislo... a odpoveď bude zrazu štyrikrát jasnejšia a nikdy sa nezmení :-)<br /><br />Pokiaľ je však počet pásikov nepárny, vychádza z toho pekne tyčkatý výpočet. V týchto prípadoch tvorí plnka o trochu väčšiu časť ako pri párnom počte. Tento rozdiel s rastúcim počtom pásikov klesá a v nekonečne skonverguje k nule.gooberhttps://www.blogger.com/profile/02157619797434495059noreply@blogger.com