rasťov poznámkový blok

Drevorubačský kríž

2012-01-17T09:25:00.002+01:00

V čakárni u zubárky som si včera čítal peknú detskú knižku o lese. Narazil som v nej na elegantný návod ako zmerať výšku stromu technikou drevorubačského kríža (voľne preformulujem):

Vezmi si dve paličky rovnakej dĺžky. Jednu si prilož k tvári a namier ju vo výške svojich očí vodorovne na strom. Na jej koniec prilož zvislo druhú paličku. Pohni sa dopredu alebo dozadu tak, aby sa konce zvislej paličky prekrývali s vrcholom a pätou stromu. Pritom môžeš zvislú paličku posúvať hore-dolu (teda, nemusí sa s vodorovnou paličkou spájať vo svojom strede). Keď sa ti podarí takto zamerať strom, vzdialenosť, ktorá ťa delí od stromu je rovná výške stromu.

V stredoškolských učebniciach matematiky sa tradične vyskytujú rôzne spôsoby merania výšky objektov, napríklad pomocou porovnávania tieňov alebo s pomocou uhlov. Metódu drevorubačského kríža som až do včera nepoznal. Ako ľahké cvičenie si jej platnosť môžete vyskúšať overiť dôkazom.

Kocky a poháre

2012-01-12T15:16:00.004+01:00

Rozdeľte do troch pohárov 10 kociek tak, aby bol v každom pohári nepárny počet kociek.

Úloha pochádza z Gardnerovej knižky Aha! Insight.

Z chráničov sluchu sluchádlá

2012-01-12T14:41:00.007+01:00

Keď sa mi včera znova zlomili slúchadlá, spomenul som si na chlapíka menom kipkay a jeho headphone hack. Výsledkom sú takéto KOSSy v šate ako z Vesničky mé střediskové:

Rozprávanie o zázrakoch

2012-01-05T20:37:00.003+01:00

Keď som mal asi 15 rokov, počul som jedného pána rozprávať jeho životné svedectvo o tom, ako sa „obrátil“ – prijal vieru v Boha. Ako mladý bojoval vo vojne. Narukoval ako neveriaci, z vojny sa vracal ako kresťan. Jeho život sa zmenil, keď musel prejsť cez mínové pole. Existenciálny strach ho donútil modliť sa slovami „Bože, prosím, ak si, zachráň ma a daj aby som prežil túto vojnu. Ak ma zachrániš, stanem sa tvojím verným nasledovníkom.“ Nám o tomto rozprával ako o zázraku, ktorý preňho Boh vykonal.

Vtedy som mu trochu závidel, pretože ja som takéto „zázraky“ nezažíval. Až neskôr mi napadli kritickejšie myšlienky – koľkí vojaci sa modlili čosi podobné, ale keďže ich nejaký granát alebo mína rozcuchali na kusy, nemajú komu rozprávať svoje svedectvá o tom, ako Boh „zázrak“ nevykonal? A koľkí vojaci sa nemodlili a prežili? Keby niekto nahlas rozprával o tom, ako sa nemodlil a napriek tomu prežil, ľudia by to možno pokladali za neslušné chválenkárstvo. Ale nie je rovnako neskromným chválenkárstvom rozprávať o tom, ako som sa modlil a prežil som a tvrdiť, že to Boh vykonal zázrak?

Keď počujem s vďačnosťou rozprávať nejakého kresťana o tom, ako ho Boh uzdravil z rakoviny, teším sa a prežívam vďačnosť s ním. Zároveň si uvedomujem, že niekde inde nejaký iný kresťan na rakovinu zomrel, a nikdy mi neporozpráva svedectvo o tom, ako ho Boh neuzdravil.

Svedectvá kresťanov môžu byť naozaj nádhernými a možno aj pravdivými príbehmi o zvláštnom zasahovaní Boha do prirodzeného behu vecí – ale pre mňa osobne je oveľa jednoduchšie vidieť v nich iba radostné výkriky vďaky náhodných víťazov veľkej lotérie.

Je prirodzené zdieľať medzi sebou silné zážitky. Je super ak niekto verí, že Boh v jeho živote niečo aktívne robí. Je ale rozumné zamýšľať sa nad tým kedy, komu a ako o tom rozprávať. Zdá sa mi, že verejné rozprávanie „svedectiev o Božích zázrakoch“ môže poslúžiť najmä na utvrdzovanie už aj tak dosť tvrdých kresťanov a zatvrdzovanie už aj tak dosť zatvrdnutých neveriacich.

Dočasne trvalo uzavreté

2012-01-03T21:26:00.005+01:00

Dnes som si na železničnej stanici v Petržalke po neúspešnom pokuse prejsť cez posuvné dvere všimol oznam. Musel som si ho dvakrát prečítať, kým mi došlo, čo mi v ňom nehrá - tak dočasne, alebo trvalo? (výkričník výkričník výkričník)

Namiesto priania

2011-12-31T19:53:00.004+01:00

Namiesto novoročného priania uvádzam nádherný úryvok z knižky Doppler, ktorú napísal Erlend Loe. Je to tak krásny text, že formulovať popri ňom akékoľvek želania by bolo zbytočne “pilné” – človeku sa pri tých slovách rodia jasné priania celkom spontánne:

Udělal jsem toho tolik.
Byl jsem tak pilný.
Byl jsem setsakra pilný.
Byl jsem pilný v školce. Byl jsem pilný na prvním stupni základní školy. Byl jsem pilný na druhém stupni. Na gymnáziu jsem byl odporně pilný, nejen co se týče studia, ale i sociálně.
Byl jsem pilný, a přitom jsem nebyl jednostranně zaměřený. Neučil jsem se jen povinné penzum, byl jsem častečně také odbojný a drzý a jednal jsem se svými učiteli na hranici přípustnosti, a oni mě přesto měli raději než ostatní, a aby tohle člověk dokázal, musí být pilný jaksi bezmezně odporným způsobem. Studoval jsem pilně a našel jsem si superpilnou holku, se kterou jsem se pilně oženil v kruhu pilných přatel, a to poté, co mi bylo nabídnuto zaměstnání tak pilné, že se ostatní pilná zaměstnání mohla jít zahrabat. Později se nám narodily děti, o které jsme se pilně starali, a pořídili jsme si dům a pilně jsme ho opravili. Uprostřed vší té píle jsem se pohyboval celé roky. Probouzel jsem se s ní, usínal jsem s ní. Dýchal jsem píli a postupně jsem ztrácel život. Tak to je, jak teď vidím. Bože nedopusť, aby moje děti byly stejně pilné jako já.

Zápalky

2011-12-30T23:52:00.005+01:00

Včera sme sa u nás s priateľmi hrali so zápalkami. Spomenuli sme si aj na jeden klasický zápalkový hlavolam – zo šiestich zápaliek treba vytvoriť 4 rovnostranné trojuholníky. Nádhernú radu k tejto úlohe dáva Miloš Zapletal v knižke s hlavolamami: „Raz som ťa už v podobnej situácii upozornil: počítaj s tretím rozmerom!“ (svoje riešenie si môžete overiť tu.)

Nás to motivovalo k formulovaniu podobnej hádanky: Poskladajte z 10 zápaliek 10 trojuholníkov! A inšpirovaní Milošom Zapletalom pripájame hint: „Ak sa ti nedarí, vezmi rozum do hrsti a zápalky si predstav len v hlave. A hlavne: počítaj so štvrtým rozmerom!“

Na záver pripájam jeden biblický verš z listu Efezanom 3:18 – snáď ma nikto neodsúdi za herézy ak poviem, že sa tento verš k téme o štyroch rozmeroch super hodí: „...aby ste tak zakorenení a upevnení v láske mohli pochopiť, aká je to šírka, dĺžka, výška a hĺbka....“

Pascalova stávka

2011-12-11T07:11:00.006+01:00

Rozmýšľam, či to Pascal s tou stávkou myslel úplne vážne, alebo chcel len trochu zosmiešniť zvláštne učenie o nebi a pekle (kliknite na obrázok pre zväčšenie).

Martin Gardner Pascalovu úvahu zľahka konfrontuje otázkou, ako máme Pascalovu stávku aplikovať, keď vieme, že na svete existuje viacero navzájom sa vylučujúcich ideológií, ktoré večnú blaženosť podmieňujú poslušnosťou k svojim doktrínam. Ktorú si vybrať?

Pre mňa je Pascalova stávka skôr dobre vyslovenou uštipačnou poznámkou na adresu istej formy nábožnosti – bolo by to pekne absurdné, keby k prijatiu tak nesebeckého systému hodnôt, aký hlása kresťanstvo, mala viesť taká chladnokrvne sebecká úvaha. Ako by to reálne mohlo fungovať? (Radšej si nechcem odpovedať, aj keď tuším, že odpoveď by sa možno niekde v dejepise nájsť dala.)

Ťažko povedať, či niekedy niekto príde s naozaj dobrým argumentom pre vieru v tichého Boha tohto sveta. Boha, ktorý sa tak často javí byť viac túžbou než skutočnosťou. Dovtedy ostáva v Boha veriť aspoň preto, že bez neho by bol život jednoducho strašne smutný, noci by boli hrozne osamelé, smrť hrozne blízka a láska príliš konečná a prchavá.

Poznámka: V Nota Bene bol nedávno text o Marcelovi Strýkovi. Páčil sa mi jeho citát (aj keď s výhradou, lebo život agnostika/ateistu za nezmyselný nepokladám): „Ak by bolo bez akýchkoľvek pochybností dokázané a bezo zvyšku zaručené, že Boh neexistuje, že sa nikdy nenaplní naša túžba po dobre, múdrej spravodlivosti a živote vo svetle, že sú smiešne naše úsilia po dosiahnutí Lásky, že svet a život je absurdný chladný kameň, keby toto všetko bolo celkom isté, ani vtedy by sme neopustili naše sny a náš život by sa stal nezmyselným, ale horúcim výkrikom v púšti, šialeným étosom, svojou beznádejnosťou šialeným a smutným, výkrikom proti svetu – studenému kameňu, takým šialeným, že keby Boh nikdy neexistoval, v tom momente by sa z toho kameňa musel stvoriť.

The Idea of a Large Mass of Cold Water

2011-12-08T07:29:00.003+01:00

Tento rok máme v Bratislave strašne peknú jeseň - najprv bolo dlho dosť chladno a každú noc sa mestom prevaľovala namŕzajúca hmla. Teraz je zas čistejší vzduch a ráno, večer a v noci býva krásna obloha. Túto krátku improvizáciu teda venujem tohtoročnej jeseni:-)

Aha, a zároveň tým prvýkrát nenápadne spomínam, že s Miriam máme odteraz novú značku, fr:own

Dekoratívne guličky z Hornbachu

2011-12-05T16:05:00.006+01:00

Miriam kúpila v Hornbachu také zvláštne dekoratívne guličky. V malom, tuším 30 gramovom, vrecúšku je plno malých tvrdých guličiek. Sú vyrobené z nejakého zvláštneho polyméru, a keď ich namočíte do vody, zväčšia svoj objem, podľa údajov výrobcu až 10-krát.

O čo viac som bol prekvapený, keď som zbadal toto:

Pravítkom som to zhruba premeral, priemer sa zväčšil asi 5-krát. Objem sa teda zväčšil viac než 125-krát.

A teraz mi vŕta v hlave, prečo je na obale blbosť. Myslím si, že výrobca chcel napísať, že priemer alebo polomer guličiek sa môže až zdesaťnásobiť. Ale priemer a polomer mu možno zneli príliš technicky a preto napísal objem. A neuvedomil si, že objem gule je funkciou tretej mocniny polomeru (resp. priemeru).

Kocková klasika

2011-12-01T15:00:00.007+01:00

Adam a Boris sa hrajú s kockami. Každý hádže jednou kockou. Kto hodí vyššie číslo, vyhráva. Ak hodia rovnako, je remíza. Úplne jednoduchá situácia, príklad, ktorý úspešne už tretí rok uvádzam na jednej z prvých hodín matiky, keď sa ideme baviť o pravdepodobnosti. Je to jeden z takých príkladov, na ktorom si človek s radosťou buduje dôveru v Laplaceovu schému a v podstate každý študent rýchlo sám zistí, že pravdepodobnosť výhry je necelých 42%. Ak si zapisujeme Adamov hod ako prvý a Borisov ako druhý, tak modré políčka v tejto matici sú tie prípady, kedy vyhráva Boris, žlté Adam a tie zvyšné sú remíza:

Do dnes nostalgicky spomínam ako som túto úlohu zadával minuloročným piatakom. Im totiž úloha hrozne silno pripomenula hru Macháček, ktorú som predtým nepoznal. Je to tak jednoduchá, zaujímavá a zároveň hlúpa hra, že som sa rozhodol, aj na počesť minuloročných piatakov z 5.B uviesť linku na jej znenie. Tu je.

Študentská verzia je nealkoholická - kto prehrá dané kolo, musí vypiť pohár vody. Prehráva ten, kto musí prvý odísť na toalety. V tejto verzii sa teoreticky dá prísť o život. Vypitím veľkého množstva vody v krátkom čase totiž v dôsledku osmózy (dokonale vysvetlená tu) môže dôjsť k takému zväčšeniu buniek, že sa výrazne obmedzí prietok krvi v mozgu. Väčší objem tekutín v tele je tiež záťažou pre srdce a samozrejme obličky. Kdesi som čítal, že 18 litrov čistej vody (takej s málo minerálmi) za hodinu môže byť smrteľných [citation needed :-)].

Na záver ešte jedna hádanka s kockami: Čo je pravdepodobnejšie, že pri štyroch hodoch jednou kockou padne aspoň jedna šestka, alebo že pri 24 hodoch dvoma kockami padne aspoň jedenkrát dvojica (6,6)?

Krájanie omelety

2011-11-21T11:55:00.006+01:00

Môj oco robieva super omelety. Na jeho omeletách je matematicky zaujímavý spôsob krájania, ktorý asi pred 10-15 rokmi môj oco pri krájaní omeliet vymyslel (alebo nezávisle objavil, v prípade, že je takéto krájanie známe). Pokus o znázornenie:

Popíšem krájanie aj slovne. Najprv omeletu treba rozkrájať štyrmi rezmi vedenými cez stred omelety na 8 rovnakých častí. Potom treba každú osminku ešte rozrezať na 3 časti pomocou dvoch kolmíc tak, ako je znázornené na prvých dvoch obrázkoch (kliknite si na obrázok a pozrite si to zväčšené): najprv z priesečníka jedného z polomerov s okrajom omelety vedieme kolmicu na susedný polomer, a potom z päty tejto kolmice ďalšiu kolmicu naspäť na pôvodný polomer. Takto treba rozkrájať všetky osminky. A omeleta bude chutiť ako nikdy predtým.

Hádanka: V akom pomere sú obsahy troch typov geometrických útvarov, ktoré sa v tomto krájaní vyskytujú? (dva trojuholníky a jeden krivočiary trojuholník - jedna jeho "strana" je tvorená časťou obvodu omelety, všetky tri typy útvarov sú zvýraznené čiernou v treťom obrázku)

Lietanie na školskom dvore

2011-11-16T10:49:00.009+01:00

Trvalo mi viac než rok, kým som po hroznej nehode konečne opravil svoje RC-lietadlo. A tak pridávam pár čerstvých fotiek jesennej Petržalky z perspektívy dráh vrán a bažantov (ktorých tu na okraji sídliska žije dosť.)

Dolnozemská:

Panónska:
Slávna čistička, každý, kto chodí po hrádzi o nej musí vedieť:

A na záver unikátne zábery na budovu, v ktorej trávim veľké množstvo času:

Horiaca ruka

2011-11-04T14:19:00.003+01:00

Minulý týždeň sme si na homeroome bezpečným spôsobom zapaľovali ruky. Teda, keby sme si naozaj zapaľovali ruky, asi by to nebolo bezpečné:-) Vyzeralo to takto (fotka je staršia, vznikla v lete, keď som to pilotne testoval na detskom tábore :-)

Ako možno vytvoriť takýto pekný efekt? To, čo na obrázku horí nie je ruka, ale plyn bután, ktorý sa bežne používa v zapaľovačoch. Najprv si do väčšej nádoby treba zarobiť trochu jarovej vody. Keď do jarovej vody vpustíte bután zo zapaľovača alebo z tlakovej nádobky na dopĺňanie butánu v zapaľovačoch, vytvoria sa bubliny. Tieto bubliny sú plné horľavého butánu. Keď si ich mokrou rukou zopár vezmete a zapálite, vznikne to, čo vidno na obrázku. Je dôležité, aby ruka bola mokrá. Voda má totiž dobrú tepelnú vodivosť aj veľkú tepelnú kapacitu - teplo z horenia bude preto absorbované hlavne filmom vody na ruke a koža sa zohreje len trochu, nemalo by to začať páliť.

Svojim študentom vždy zvýrazňujem, aby akékoľvek experimenty skúšali iba v bezpečnom prostredí, s ochrannými okuliarmi. Vždy treba začať "s malým množstvom", používať zdravý rozum a neskúšať veci, ktorých mechanizmu fungovania ani trochu nerozumieme.

Pekný víkend!

Krájanie trojuholníka

2011-10-29T16:23:00.003+02:00

Môj viacnásobný spolužiak (tzn., boli sme spolužiaci na 3 rôznych školách) Rišo, ktorý teraz pracuje na ETH Zürich (som naňho hrdý) mi pred pár dňami poslal v mejli niekoľko dobrých hádaniek:

1. Nastrihajte rovnostranný trojuholník na čo najmenej častí a poskladajte z nich štvorec.

2. Dá sa pravidelný štvorsten rozdeliť na niekoľko častí, z ktorých by sa potom dala zložiť kocka?

Hint k prvej hádanke: stačia 4 časti.
Hint k druhej hádanke: malo by sa dať dokázať, že to nejde.

Vzdialenosť na guli (sfére)

2011-10-13T14:33:00.002+02:00

Ďaľšia hádanka, ktorá nadväzuje na včerajšiu, je o kus trikovejšia a hádam má šancu na chvíľu pobaviť aj nejakého matfyzáka:

Z Bratislavy sa vydáte po rovnobežke na západ. Prejdete (po povrchu Zeme) 1000 km, koncový bod vašej cesty nazvime A. Aká je vzdialenosť bodu A, meraná po povrchu Zeme, od Bratislavy?

Hint: Vzdialenosť chápeme ako najkratšiu krivku spájajúcu dva body. V bežných situáciách je to obyčajná úsečka. Na Zemeguli sa s úsečkami môžeme rozlúčiť - dokonalú úsečku na povrch gule proste nenakreslíme. Ak chceme teda hľadať vzdialenosť bodov na guli, musíme ich spájať niečím iným, napríklad kružnicami (kružnicovými oblúkmi). To sa dá robiť veľa spôsobmi. Najkratšiu spojnicu získame tak, že cez body vedieme kružnicu s najväčším možným polomerom, aký sa dá - oblúk takejto kružnice je najrovnejšia čiara, akú na guľu možno nakresliť, cesta medzi dvomi bodmi na guli je práve po tomto oblúku najkratšia.

Rovnobežka prechádzajúca Bratislavou je kružnica, ktorej polomer je menší ako polomer Zeme. Preto rovnobežka určite nie je najkratšia cesta do bodu A. Najkratšia cesta bude viesť po kruhovom oblúku, ktorý je časťou kružnice prechádzajúcej Bratislavou a A, s polomerom rovným polomeru Zeme (ak neviete, ako ju nájsť, tak spravte rez Zeme rovinou danou bodmi A, Bratislavou a stredom Zeme:-), to je totiž najväčšia kružnica a najrovnejšia čiara, akú na povrch Zeme dokážeme nakresliť.

Krivky popisujúce najkratšiu vzdialenosť medzi danými bodmi na nejakej ploche sa nazývajú geodetiky a viac sa o nich možno dozvedieť napríklad u doc. Božeka na diferenciálnej geometrii na matfyze.

Pohyb po guli (sfére)

2011-10-12T10:45:00.001+02:00

Veľa teraz premýšľam o goniometrických funkciách, pretože sa im práve s tretiakmi venujeme. Prechod od ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku k ľubovoľnému reálnemu číslu a jeho obrazu na jednotkovej kružnici a súvis takéhoto "čuda" zas len s obyčajným pravouhlým trojuholníkom nie je úplne najľahší. V snahe pristúpiť k téme čo najlepšie si ju veľa omielam v hlave. To ma včera večer priviedlo k riešeniu v podstate úplne prirodzenej a nie veľmi zložitej úlohy:

Predstavte si, že by sme sa z Bratislavy vybrali 1000 km presne na juh. Potom by sme putovali 1000 km presne na východ, odtiaľ 1000 km na sever a napokon by sme prešli ešte 1000 km na západ. Kde by sme skončili?

Keby Bratislava bolo mesto na Zemeploche, tak by sme na konci cesty skončili opäť v Bratislave. Na Zemeguli sa však poludníky zbiehajú, a preto keď prejdete napr. 1000 km po rovníku, tak "pretnete menej poludníkov", ako keď rovnakú vzdialenosť prejdete napríklad po rovnobežke prechádzajúcej Bratislavou. Výsledkom našej úlohy by teda malo byť miesto ležiace od Bratislavy kúsok na západ. Ak si úlohu chcete sami prepočítať, súradnice bilgymu v Petržalke sú zhruba 48,1° N, 17,1° E. Ja som rátal s polomerom Zeme 6378 km. Nič viac ako predstavivosť a použitie goniometrických funkcií k riešeniu netreba.

K tejto téme sa viaže absolútna klasika matematických hádaniek: Z miesta, na ktorom stojíte, prejdete 100 km na juh, potom 100 km na východ a nakoniec 100 km na sever. Nakoniec stojíte znovu na tom istom mieste, z ktorého ste vychádzali. Kde je toto miesto? Úloha má nekonečne veľa riešení (aj keď mám nutkanie povedať, že je ich skôr "nekonečno + 1").

Schovávačka

2011-09-26T14:09:00.003+02:00

Jak může někdo tak životně důležitý jako Bůh, který nás stvořil, abychom ho poznali a milovali, být najednou tak mlhavý? Jestliže Bůh, jak sdělil apoštol Pavel zástupu intelektuálně náročných skeptiků v Aténách, "učinil všechno", čímž myslel veškeré stvoření, proto, abychom se jej mohli dopátrat a nalézt ho, proč se tedy nedá lépe poznat?

Philip Yancey: Reaching for the Invisible God

... Logomachos: "Povedz, barbar, kto ti povedal, že Boh jestvuje?"
Dondindak: "Celá príroda."
Logomachos: "To nestačí. Ako si predstavuješ Boha?"
Dondindak: "Ako svojho stvoriteľa. Svojho pána, ktorý ma odmení, ak budem konať správne a potrestá, keď sa dopustím niečoho zlého."
Logomachos: "To sú hlúposti a malichernosti!" ...

Voltaire: Myšlienky.

Existuje jedine vesmír a jedine vesmír bude stále existovať.

Carl Sagan

Bůh a jeho věčnost tu ještě nejsou v oné plnosti a zřejmosti, která by kohokoliv donutila Boha uznat a respektovat; jeho přítomnost v našem životě je nyní odkázána na prostor, který mu naše svoboda otevře vírou a nadějí. Teolog, opírající se o klasickou metafyziku, namítne, že Bůh tu jest od věčnosti jako základ všeho bytí, že je tu také ve svém stvoření a ve svém Slově, které v plnosti času vstoupilo do dějin v lidství Ježíše Nazaretského, že je tu ve svátostech církve a pod.; avšak ve všech těchto způsobech své přítomnosti zůstává Bůh jakožto Bůh tajemný a skrytý natolik, že platí výrok Pascalův: "Je dostatek světla pro ty, kdo si z celé duše přejí Boha spatřit, a dostatečná tma pro ty, kdo mají opačné přání." Bůh ponechal prostor pro pochybnost, aby víra neztratila důstojnost svobodného činu a odvážného vykročení do říše Tajemství.

Tomáš Halík: Stromu zbývá naděje

Chápem, že veriť v neviditeľného Boha je svojím spôsobom absurdné šialenstvo. Boh je nepravdepodobný, neviditeľný, nezachytiteľný. Lenže veriť v existenciu planéty Zem je ešte nepravdepodobnejšie. Aj keď je Zem viditeľná a hmatateľná, to, čo sa na nej odohráva, je veľmi-veľmi nepravdepodobné. Keď budem skúmať prírodu na Zemi ako astronaut z nejakého neznámeho kútika vesmíru, všetky učebnice biológie mi budú pripadať ako výstredné a veľmi exostické. Čože? Hlina, hmota poháňaná obyčajným žiarením zo Slnka, vytvára stále nové a nové druhy zvierat a rastlín? Odkiaľ prichádzajú? Len na pohon zo slnečného žiarenia sa atómy zoskupili tak, že dali vznik autorovi fresiek v Sixtínskej kaplnke? Slnko zasvieti na nahú zem a za chvíľu vesmírneho času sa z hmoty vylúpne človek? Keď potom vidím pred sebou milovanú dievčinu, jej existencia na Zemi je niečo také nečakané, výstredne nepravdepodobné a rozprávkové, že viera v neviditeľného Boha sa s ňou krásne rýmuje. Ako? Energia zo Slnka umiesi z prachu Zeme teba?

Marek Orko Vácha: Šiesta cesta.

V rámci metodologického materialismu jsme se rozhodli, že budeme s přírodou zacházet, jako by Pán Bůh nebyl, a že nás nebude zajímat nic jiného než hmota a energie. Že tedy budeme j přírodě přistupovat, jako by to byla jen hra hmoty a energií. Postupem času jsme hru přijali a dnes již říkáme, že příroda není nic jiného než hmota a energie.

Marek Orko Vácha: Návrat ke stromu života.

The universe we observe has precisely the properties we should expect if there is, at bottom, no design, no purpose, no evil, no good, nothing but blind, pitiless indifference.

Richard Dawkins

Ak fakt jestvuje nejaký Boh, potom sa mu fantasticky darí hrať sa na skrývačku so svojimi výtvormi.

Jostein Gaarder: Mystérium pasiansu

Keď sa pozriem okolo seba, nevidím Boha tak jasne, ako o tom píše apoštol Pavel v liste Rimanom 1:21, ani ako o tom odvážne vravia viacerí kresťanskí apologéti. Áno, nepravdepodobnosť sveta, v ktorom žijeme je zarážajúca. Na druhej strane, ak by nevznikol mysliaci život, nemal by si kto s uspokojením uvedomiť, že nastala pravdepodobnejšia verzia skutočnosti. Svet je krásny, ale ako je možné, že sa v ňom Boh nijako jednoznačne nezjavuje, že takmer všetko, čo pozorujeme, môžeme vzápätí do veľkej hĺbky rozumne vysvetľovať bez akejkoľvek potreby Boha? Ako mohol nejaký všemocný Boh, ktorý chcel, aby ho ľudia mali radi, stvoriť tento svet tak, že o ňom takmer netušíme, alebo si v túžbe po ňom pre svoju neinformovanosť vymýšľame rôzne nepresné predstavy?

Platnosť fyzikálnych zákonov a nádhera tohto sveta môže človeku dodať pocit pokory a túžbu po niekom, kto tento svet presahuje. Ale zďaleka sa nedá z prírody vyčítať veľa o tom, že by Boh mal byť dobrý, jediný, osobný, všemocný.

Kresťanstvo potrebuje pokoru priznať si, že ak Boh existuje, tak asi presahuje naše možnosti jazykom ho dobre popísať. Viera v neho sa podobá nádeji, ktorej sa chytáme v túžbe prehĺbiť zmysel nášho snaženia a lásky.

God is not what you imagine or what you think you understand. If you understand you have failed.

Saint Augustine

Stromčeky

2011-09-16T15:41:00.005+02:00

Úvodné hodiny matematiky som s mojimi gymnazistami tento rok začal úplnou klasikou – inšpiráciou bolo slávne sliding puzzle s miznúcim leprechaunom. Vyrobil som si vlastnú verziu so stromčekmi (stromceky.gif):

Vymenením horných dvoch obdĺžnikov do obrázku nič nedokreslím ani nezmažem, ako je teda možné, že sa ich výmenou mení počet stromov na obrázku? Čo to má znamenať?! M. Gardner to vo svojej knižke Gotcha, Paradoxes to puzzle and delight pekne vysvetľuje dvojicou obrázkov takto (ospravedlňujem sa za socikovský look spôsobený najmä magnetkami a papierom s vodiacimi dierkami do starej ihličkovej tlačiarne):

K tomu už hádam ani netreba ani nič dodať.

Nedotýkajúce sa body

2011-09-09T12:38:00.004+02:00

edit: Pozor, zadanie je trochu problematické, opravené znenie definície nájdete v komentároch.

V knižke Martina Gardnera som narazil na zaujímavý pojem: nontouching points. Rovinná definícia by mohla znieť takto:

Body X a Y sa nedotýkajú ak existuje r>0 také, že bod Y neleží v kruhu s polomerom r a stredom X. Množina nedotýkajúcich sa bodov je taká množina bodov, z ktorých sa žiadne dva nedotýkajú.

Úplne polopate povedané - 2 body sa nedotýkajú ak ich od seba vieme oddeliť kružnicou. S takýmito bodmi sa dajú vymýšľať rôzne hádanky. Napríklad:

1. Koľko takýchto bodov sa dá "nakresliť" do štvorca v rovine?

2. Vedeli by ste vymyslieť nejaký predpis/systém na určenie spočítateľného nekonečna nedotýkajúcich sa bodov v štvorci?

3. Dalo by sa v štvorci určiť nespočítateľné množstvo nedotýkajúcich sa bodov? Vedeli by ste určiť nejaký predpis/systém, alebo dokázať, že sa to nedá?

Spomaľujúci bicykel

2011-08-31T21:46:00.002+02:00

Keď sme sa s Miriam na bicykloch vracali z dovolenky, zišla mi na um (pod vplyvom skutočných udalostí) táto hádanka:

Bicykel sa pohybuje po priamke k stojacemu cieľu. V každom okamihu sa k svojmu cieľu blíži rýchlosťou v km/h, kde v je číslo vyjadrujúce jeho momentálnu vzdialenosť v kilometroch od cieľa. (Teda napríklad v momente, keď je od cieľa bicykel vzdialený 55 km, tak sa k nemu približuje rýchlosťou 55 km/h; v momente, keď je od cieľa vzdialený 3 km, blíži sa k nemu rýchlosťou 3 km/h.)

1. Ako dlho bude bicyklu trvať dostať sa do cieľa, ak sa na začiatku cesty nachádza od cieľa vo vzdialenosti 100 km?

2. Ako dlho bude bicyklu trvať dostať sa z východzej vzdialenosti 100 km do vzdialenosti 1 km od cieľa?

2 sekundové rozostupy

2011-07-28T17:20:00.008+02:00

Pred časom som si na diaľnici všimol takéto pekné značky (vpravo). Pri jazde treba dodržovať rozostupy medzi autami aspoň 70 metrov. Podľa tohto článku by mal od septembra platiť vylepšený predpis - fixnú vzdialenosť odstupu nahradí pravidlo 2 sekúnd. Vodiči budú musieť dodržiavať odstup minimálne vo vzdialenosti, ktorú ich vozidlo prejde za 2 sekundy.

Je to určite super úprava, pretože ide správnym smerom - kým odstup 70 metrov je konštanta a nezávisí od rýchlosti (70 metrov je stále 70 metrov, či idete 80 alebo 130 km.h^-1, aj keď relativistická fyzika by o tom vedela niečo povedať :-), a teda musíte ho dodržovať či idete 80 alebo 130 km.h^-1. Na druhej strane, odstup 2 sekúnd je lineárnou funkciou rýchlosti, teda sa v závislosti od rýchlosti konkrétna hodnota odstupu mení:

odstup (v metroch) = 2.rýchlosť (v m.s^-1),

to znamená, že čím idete rýchlejšie, tým väčší odstup musíte udržovať.

Odborníci citovaní v dnešnom článku na sme.sk to ale s pravidlom 2 sekúnd potiahli ešte ďalej a 2 sekundové odstupy odporúčajú dodržiavať aj na mokrej vozovke. Dokonca pridali aj skvelý tip, ako si 2 sekundový odstup vymerať (niekedy si to za jazdy fakt skúste, len dajte bacha, aby ste pri tom niekoho nezrazili):

"Ľahko si to overíte tak, že keď pôjde vozidlo pred Vami a prejde okolo nejakej značky, odpočítajte si 2 sekundy, a ak za ten čas prejdete okolo značky aj vy, vzdialenosť je bezpečná," dodal Troška.

:-) Okrem trošku nešťastnej formulácie pána Trošku mi na mantre 2 sekúnd začína vadiť najmä to, že nezohľadňuje fakt, že brzdná dráha auta nie je lineárnou funkciou rýchlosti tak ako odstup 2 sekúnd. Od legislatívcov mi takýto malý nedostatok neprekáža, ale odborníci na šmyky by takto vravieť nemali. Veď už na stredoškolskej fyzike sa detičky učia o tom, že brzdná dráha auta je kvadratickou funkciou rýchlosti; teda tiež pre ňu platí, že čím je rýchlosť vyššia, tým je aj brzdná dráha dlhšia, akurát nie tak pekne trojčlenkovo, ale oveľa viac. Na tejto stránke som našiel súhrnný obrázok:

Aby tento článok neskončil len kecami a obrázkami, skúsme s pomocou tohto obrázku nájsť predpis kvadratickej funkcie, ktorá by vyjadrovala závislosť dĺžky brzdnej dráhy od rýchlosti auta. Vieme, že kvadra má vo všeobecnosti predpis

(i) y = ax² + bx + c,

kde a, b, c sú koeficienty, x je nezávislá a y je závislá premenná. V našom prípade x je rýchlosť auta a y je brzdná dráha. Z druháckej matiky vieme, že ak by sme do rovnice (i) dosadili za x a y hodnoty z tabuľky (napríklad x=30 a y=10,8 z prvého riadka), mohli by sme tak vytvoriť systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi a, b, c. Ten je ľahké vyriešiť - a tak by sme našli hľadaný predpis kvadratickej funkcie, ktorá by popisovala závislosť dĺžky brzdnej dráhy od rýchlosti auta. Keďže ale nie sme pri tabuli, ale pri počítači, necháme za nás počítať Wolfráma. Výsledkom je teda táto divoká kvadra:

y = 0.00590741x² + 0.188333x - 0.166667

Kvadru môžeme naťukať do excelu a pozrieť si brzdné dráhy detailnejšie, prípadne porovnať, aké bezpečné odstupy nám dáva pri konkrétnych rýchlostiach pravidlo dvoch sekúnd, a aké brzdné dráhy zodpovedajú daným rýchlostiam:

Na záver malé priznanie - v skutočnosti mi na otázke bezpečných odstupov až tak nezáleží. Bol som skôr zvedavý na ten predpis funkcie pre brzdnú dráhu :-)

Babinka

2011-07-18T14:47:00.005+02:00

Včera zomrela moja babka. Poznali a stretli ju takmer všetci moji kamaráti a priatelia, lebo som u nej nejaký čas býval. Takisto ju z rozprávania poznali moji študenti. Na rozlúčku a spomienku pripájam krátky úryvok z nahrávania, ktorým sme sa s babkou a s Miriam zabávali kedysi v roku 2006:

Kresťania (a najmä niektorí kresťanskí kazatelia na pohreboch) dosť často machrujú a rozprávajú o tom, ako je zosnulý už teraz šťastný s Bohom, alebo aký krásny večný život ho čaká. Život nasvecujú ako čosi dočasné a smrť interpretujú priam ako krásny vstup do večnej blaženosti. Rád by som sa tomuto vyhol a ozval sa za všetkých menej nadšených kresťanov - samozrejme, aj ja v kútiku duše dúfam a túžim, aby sa fyzickou smrťou všetko nekončilo. Ale smrť pokladám za strašne smutný, nepochopiteľný jav. Či už beriete smrť ako užitočný nástroj evolúcie alebo triumfálny vstup do večnosti (obidva prístupy vedia z nadhľadu vyznievať veľmi pekne a vzletne), smrť individuálnych, konkrétnych blízkych ľudí je vždy nechutný okamih; okamih, v ktorom nie je ťažké predstaviť si cynického Boha.

Svetlo a Kofola

2011-07-09T20:26:00.008+02:00

Ako som tak nedávno popíjal Kofolu, všimol som si dosť besne vyzerajúce odrazy nápisu Kofola na stenách pohára:

Chvíľu mi trvalo, kým som si spomenul, že sme sa kedysi učili na fyzike o tom, že svetlo sa pri prechode rozhraním rôznych prostredí nielen láme ale čiastočne aj odráža. To, že sa láme má zažité asi každý celkom dobre - stačí keď niekto vedľa vás napríklad vojde do vody (rozhranie voda-vzduch), alebo keď pijete priehľadný nápoj zo skleného pohára so slamkou alebo lyžičkou (rozhrania voda-sklo a sklo-vzduch).

To, že sa časť svetla pri prechode rozhraním dvoch prostredí aj odráža vidno najlepšie večer, keď sa za oknami zotmie. Keď je vonku tma a vy v izbe svietite, tak môžete na okne vidieť svoj odraz. Je to odraz, ktorý vznikne, keď svetlo od vás narazí na sklo okna. Časť svetla prejde von, malá časť sa odrazí naspäť. (Asi je to trochu zložiťejšie, sú tam totiž dve rozhrania, najprv vzduch-okno a potom okno-vzduch, čiže možno by ste mali vidieť až dva odrazy, blízko vedľa seba...)

To by vysvetlilo tak jeden odraz nápisu Kofola. Prečo je ich tam ale toľko? Napadli mi dve vysvetlenia - odrazené svetlo putujúce sklom pohára je stále iba svetlo a tak sa pri ďalšom kontakte s rozrhaním skla so vzduchom znovu čiastočne láme a čiastočne odráža, atď... Iná možnosť by bola, že steny pohára nie sú celkom rovné, ale sú zvlnené, a viaceré nápisy Kofola by zodpovedali odrazom z rôznych "plôšok" jednotlivých "zvlnení" skla, ktoré sú natočené pod správnym uhlom vzhľadom na oko pozorovateľa.

Tak som si to vysvetlil. Potom som zaplatil a odišiel. Keby išlo o nejakú matematickú hádanku, tak by som namiesto týchto intuitívnych popisov mohol rovno napísať nejaký sled implikácií alebo inú dobrú úvahu a spokojne by som povedal quod erat demonstrandum. Pri fyzike však človek nikdy celkom nevie - samá intuícia, čosi sa dá experimentálne overiť... ale nakoniec - prečo sa vlastne to svetlo prechodom rozhraní láme? A prečo sa časť odráža? A prečo by mal byť pohár zvlnený?

Chránime vám a pomáhame vás

2011-07-01T14:17:00.003+02:00

Miriam mi včera povedala, že policajti budú nosiť po novom nejaké vtipné heslá, ktoré znejú takmer ako vesmírni ľudia s ich milujeme vám a pomáhame vás. Tak som si skúsil predstaviť, ako by mohla vyzerať aštara šeron v policajnej uniforme.

Ale inak je to pekné heslo.

Nové tričko

2011-07-01T09:29:00.004+02:00

Keď som bol malý, fascinovalo ma, koľko kvetov a čokolády dostávajú na konci školského roka triedni učitelia. No a včera ma to fascinovalo znovu:-)

Moja trieda ale nie je len taká bežná trieda, takže som včera zo školy odchádzal nielen obťažkaný najlahodnejšími produktmi potravinárskeho priemyslu, ale aj v novom tričku. Mám skvelú triedu!

Záruby

2011-06-15T13:37:00.009+02:00

Minulý víkend sme boli s mojimi študentami na Zárubách. ...lebo až keď si človek prejde najvyšší vrch Malých Karpát, má plné právo vychutnávať si príjemné prechádzky po ich mäkkých nižších svahoch
:-)

Moja obľúbená kniha o odhadoch predo mňa postavila túto otázku: O koľko sa zmenila moja potenciálna energia tým, že som sa vyštveral na tento kopec? A k čomu by sa táto energia dala prirovnať?

E_p = m.g.h

V tomto konkrétnom prípade m=75kg, g=10 m.s^-2, h=600m. Záruby sú síce trochu vyššie, ale nezačínali sme od nuly. 600 m bolo celkové stúpanie počas nášho výletu (parádny plánovač cesty nájdete tu). Teraz stačí dosadiť do vzorca a dorátať:

E_p = 75.10.600 = 450 000 J, tj 450 kJ.

Koľko to je? Je to veľa alebo málo? Nuž, na bežnej Horalke zo Sedity sa dočítame, že 100 g obsahuje 2190 kJ. Nárast potenciálnej energie pri vylezení na Záruby teda v mojom prípade bol menší než je nutričná energetická hodnota obsiahnutá v polovici 50 gramovej Horalky. To vyzerá byť strašne málo.

Alebo inak, J=W.s, a teda by sme mohli túto energiu prirovnať k svieteniu žiarovky. Z tohto uhlu pohľadu 450 kJ je energia, ktorú "spáli" 60 Wattová žiarovka asi za 2 hodiny.

Blíži sa koniec školského roka

2011-05-27T14:52:00.008+02:00

Ku koncu roka prichádza u niektorých rodičov k zvláštnemu zlomu vnímania školy: z inštitúcie, ktorú väčšinu roka brali ako Bezúdržbovú bejbisitingovú agentúru sa odrazu stáva Známkovacia spoločnosť, s hodnoteniami neuveriteľnej váhy a celoživotným dopadom na ich deti, ktoré sú však v tom celom nespravodlivo podhodnocované a "niečo sa s tým určite musí dať urobiť".

Veta o výškach a stranách v trojuholníku

2011-05-22T11:25:00.004+02:00

Včera mi jeden študent poslal mejlom takéto tvrdenie:

V ľubovoľnom trojuholníku ABC platí:

kde a, b, c, v_a, v_b, v_c sú dĺžky strán a k nim prislúchajúcich výšok.

Tvrdenie sa dá úplne triviálne priamo dokázať s využitím elementárnej aritmetiky a geometrie. Vedeli by ste tvrdenie dokázať aj nejako krajšie - napríklad obrázkom?

Kam sa pohne loďka?

2011-05-09T12:54:00.005+02:00

Na Zero seminari sme sa minulý týždeň okrem iného rozprávali o rôznych možnostiach, ako sa dá zostrojiť jednoduché plavidlo. Keď sme brainstormovali o možnom type pohodnu, napadla komusi šialená myšlienka postaviť na kormu jednoplachtovej lode ventilátor:

Čo by sa stalo s takouto loďkou na pokojnej hladine za bezveterného dňa po zapnutí ventilátora? (Šípka naznačuje, že ventilátor fúka vzduch smerom k plachte.) Nie je to také triviálne, tak si pre istotu uveďme možnosti:

a. loďka sa pohne v smere šípky
b. loďka sa pohne smerom opačným ako naznačuje šípka
c. loďka sa nepohne, ostane na mieste.

No, čo myslíte? :-)

Je to spravodlivé?

2011-05-04T15:36:00.013+02:00

Každý učiteľ občas musí vyvolať študenta, ktorý bude odpovedať. Niekedy má rozumné dôvody nevyberať náhodne>:-) Častokrát sa však náhodne vyberať snažíme. Rôzni učitelia k tomuto problému pristupujú rôzne. Ja si zvyčajne študentov očíslujem a potom nechám pracovať náhodu zo stránky random.org. Niektorí k tomu pristupujú inak, radšej pomlčím o mojej učiteľke zo ZŠ, ktorá hádzala z výšky na katedru pero - na katedre ležal otvorený menný zoznam študentov a na koho to pero padlo, ten išiel odpovedať (jej postup mal trochu bližšie k hľadaniu aproximácie π než k spravodlivému výberu študenta:-).

Široko-ďaleko najzaujímavejší spôsob však používa naša americká kolegyňa. Dozvedel som sa o ňom preto, lebo študentom sa nezdal byť spravodlivý (a na prvý pohľad ani mne). Pani angličtinárka vyberá študentov takto: Žiakov je v triede 17. Na začiatku hodiny si pani učiteľka zvolí ľubovoľné nešťastné číslo od 1 do 17. Potom vytiahne klobúk s kartičkami, na ktorých sú čísla 1-17. Následne sa začne prechádzať pomedzi študentov a ponúka ich kartičkami. Študent, ktorý je na rade, si naslepo vytiahne kartičku - ak je na nej nešťastné číslo, ide odpovedať. Ak nie, kartičku si necháva a zo zvyšných kartičiek v klobúku si naslepo vyberajú ďalší.

Je takýto systém spravodlivý? Intuícia mi našepkáva, že by som si ťahal z klobúka radšej neskôr ako skôr. Keď si to však prepočítame, zistíme, že intuícia zase raz zradila:

Aká je pravdepodobnosť, že pôjde odpovedať študent, ktorý ťahal z klobúka ako prvý? Nuž, v klobúku je 17 čísel, iba jedno je nešťastné, teda pravdepodobnosť, že si to zlízne prvý je:

OK, a čo druhý ťahajúci v poradí? Odpovedať by išiel, ak by si vytiahol ono jedno nešťastné číslo spomedzi ostávajúcich 16. To celé však je možné len za podmienky, že si nešťastné číslo už nevytiahol prvý študent:

Tretí študent ide odpovedať iba ak si vytiahli niečo iné ako nešťastné číslo prví dvaja. On ťahá už iba z 15 kartičiek. Keď však súčin zlomkov upravíme (krásne sa tam vykrátia čitatele s menovateľmi nasledujúcich zlomkov), opäť nám vyjde rovnaká pravdepodobnosť, ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch!

Takto to ide až po posledného:

Tak kontraintuitívne, ako sa to len môže zdať - naozaj je teda jedno, či si ťaháte ako prvý alebo ako posledný, šanca, že pôjdete odpovedať je stále rovnaká. Kto ale pozná naše americké lektorky, ten tuší, že by sa neuchyľovali k fintičkám, ktoré nie su metodicky v poriadku a až taký prekvapený nie je:-)

Poznámka: Keď už sme tu spomenuli konštantu π, prečo nespomenúť aj inú konštantu, e. Keby si zakaždým ťahali čísla všetci študenti, bolo by nesmierne zaujímavé sledovať, koľkým študentom sa úspešne podarilo vytiahnuť číslo, ktoré sa rovná ich poradovému číslu pri vyťahovaní kartičiek z klobúka. Teda, prvý by bol úspešný, ak by si vytiahol jednotku, siedmy by bol úspešný, ak by si vytiahol sedmičku, a podobne. Smutným pokusom by sme nazvali také ťahanie z klobúka, v ktorom sa nikomu zo všetkých 17 študentov nepodarilo vytiahnuť si svoje poradové číslo. Pri veľkom počte opakovaní tohto pokusu by sa relatívna početnosť smutných pokusov blížila k hodnote 1/e.

Autom alebo na bicykli?

2011-05-03T13:35:00.011+02:00

Inšpirovaní knižkou Guesstimations sme sa na Zero Seminari venovali tomuto:

Cesta do práce trvá na bicykli hodinu. Na aute trvá 30 minút. Auto sa teda javí byť efektívnejším dopravným prostriedkom ako bicykel. Čo ak ale pripočítame k času cestovania autom aj čas, ktorý strávime zarábaním na náklady spojené s touto cestou? Samotný čas skutočného fyzického cestovania sa tým nezmení, ale "efektívna priemerná rýchlosť" cestovania áno. Ak by malo zarábanie na túto polhodinovú cestu autom trvať viac ako 30 minút, malo by v tomto konkrétnom príklade zmysel začať uvažovať o výmene auta za bicykel :-)

Pokúsme sa teda vypočítať skutočnú efektívnu priemernú rýchlosť auta, berúc do úvahy nielen čas cestovania, ale aj čas strávený zarábaním na toto cestovanie (ktorý je vlastne venovaný cestovaniu).

Priemerná rýchlosť v = celková dráha s / (celkový čas cestovania t_c + celkový čas zarábania na cestovanie t_z)

Celkovú dráhu sme odhadli na 300 000 km - toľko zhruba môže mať najazdené auto, ktorého sa už bežne ľudia zbavujú. Celkový čas cestovania sa dá dorátať, ak odhadneme priemernú rýchlosť auta v premávke. Zohľadňujúc mestské aj medzimestské cestovanie sme túto priemernú rýchlosť odhadli na 50 km/h. Najazdiť 300 000 km teda zoberie 300 000 / 50 = 6 000 hodín cestovania. Teda t_c = 6 000 hodín.

Dorátať čas zarábania na cestovanie je komplikovanejšie, my sme sa pokúsili na to ísť cez odhad celkových nákladov, pričom sme v úvahách rátali s tým, že kupujeme nové auto a tých 300 000 na ňom najazdíme za 8 rokov:

Nové auto = 15 000 e,
Povinné poistenie = 150 e/rok, teda za osem rokov 1 200 e,
Havarijné poistenie prvé tri roky = spolu 1 500 e,
Benzín: 8 l/100 km, cena benzínu 1,5 e / l, teda celkové náklady na benzín sú 3 000 . 8 . 1,5 = 36 000 e,
Údržba: ročne aspoň 500 e = 4 000 e

Určite sme na kopec vecí zabudli a iste sme neodhadli niektoré položky veľmi presne, takisto sme nerátali s pokutami, lebo my sme slušáci - celkové náklady na auto sú teda zhruba 60 000 eur. Koľko čistého času práce si vyžaduje takýto mastný zárobok? Čistý hodinový zárobok sme odhadli na 5 eur (t.j. okolo 800-900 e čistý mesačný plat). To znamená, že na používanie nášho auta sme potrebovali v práci stráviť t_z = 12 000 hodín, čo je dva-krát viac než sme strávili samotnou jazdou autom! To je celkom sila, na hodinu jazdy autom teda treba dve hodiny pracovať.

Celková "efektívna priemerná rýchlosť" auta teda je v = s / (t_c + t_z) = 300 000 / 18 000 = 16,7 km/h, čo je úplne pohodová rýchlosť bicykla, hoci aj s piknikovým košom plným vecí na kormane :-)

Švagor Samo ma upozornil, že podobnú úvahu len s iným dopravným prostriedkom a pešou chôdzou namiesto bicykla už pred asi 150 rokmi riešil H. D. Thoreau:

One says to me, "I wonder that you do not lay up money; you love to
travel; you might take the cars and go to Fitchburg today and see the
country." But I am wiser than that. I have learned that the swiftest
traveller is he that goes afoot. I say to my friend, Suppose we try
who will get there first. The distance is thirty miles; the fare ninety
cents. That is almost a day's wages. I remember when wages were sixty
cents a day for laborers on this very road. Well, I start now on foot,
and get there before night; I have travelled at that rate by the week
together. You will in the meanwhile have earned your fare, and arrive
there some time tomorrow, or possibly this evening, if you are lucky
enough to get a job in season. Instead of going to Fitchburg, you will
be working here the greater part of the day. And so, if the railroad
reached round the world, I think that I should keep ahead of you; and
as for seeing the country and getting experience of that kind, I should
have to cut your acquaintance altogether.

Je dobré zvážiť, či sa nám auto oplatí a možno začať viac používať bicykel. Na obhajobu auta zas treba povedať, že situácia sa výrazne mení, ak v aute necestujete sami, alebo ak do úvah pridáme situácie, keď v aute prevážame veľké náklady, alebo si jednoducho priznáme cenu pohodlia, ktorú sme ochotní zaplatiť. No a ešte jeden pohľad - auto síce naozaj nemá nejakú hrozne veľkú "efektívnu priemernú rýchlosť", ale umožňuje vám lepšie si rozmyslieť alebo určiť relatívne kratší čas samotného fyzického presunu. To môže byť veľmi užitočné napríklad keď veziete manželku do pôrodnice.

Poznámka: Tu som naďabil na zaujímavú štatistiku, v sekcii Cost počítajú "efektívnu priemernú rýchlosť" auta; odtiaľ som prevzal aj toto pomenovanie.

Do takéhoto televízora by som pozeral hodiny

2011-04-17T17:16:00.003+02:00

Nedávno som zavítal do UPCčka, konal sa tam Náboj. Kým študenti súťažili, čítal som si knižku a podchvíľou hľadel do telky, ktorú tam mali - do takej telky by som hľadel celé hodiny (aj keď trochu by to chcelo vyčistiť a vymeniť vodu):

Otázka za 2 body

2011-04-12T14:24:00.006+02:00

Dnes som dal tretiakom do písomky takúto hádanku:

Existuje taký trojuholník a taká osová súmernosť s osou neprechádzajúcou vrcholom tohto trojuholníka, v ktorej by sa dva vrcholy tohto trojuholníka zobrazili na tretí vrchol? Ak áno, načrtnite.

Ako sa ukázalo, najväčšou príťažou nebola ani tak samotná otázka, ako skôr fakt, že otázka bola za 2 body (18 bodová písomka). Niektorí si povedali: "Ak by bola odpoveď nie, nedával by za to 2 body...," a do konca písomky hľadali, kreslili a trápili sa.

Je to zaujímavá a poučná situácia z kategórie psychologických vplyvov na riešenie matematických problémov.

PS: Je správne alebo nesprávne, že študenti zapájajú takýto typ úvah pri riešení úloh? Niečo cenné na tom možno je, ale aj tieto úvahy treba používať rozumne a kriticky. A tak dám nabudúce do písomky otázku za 3 body: Vymenujte korene rovnice x²-4=0 alebo otázku za 4 body: popíšte všetky možné vzájomné polohy priamky a roviny v priestore :-)

Ako som do T-Comu volal...

2011-04-01T17:16:00.006+02:00

Potreboval som nedávno čosi vybaviť, tak som zavolal na service line spoločnosti, od ktorej máme doma pevnú linku:

Aby som T-Comu príliš nekrivdil, musím povedať, že ak nezvolíte žiadnu z možností, tak vás to po čase prepojí k živému operátorovi. Ale ten pocit frustrácie, keď vám milý ženský hlas neúprosne opakuje, čo máte postláčať a vy len zúfalo vytáčate...

Fotky z Írska

2011-03-17T18:44:00.015+01:00

Dnes je Saint's Patrick day, ideálna chvíľa na zverejnenie pár fotiek z nášho výletu do Írska za naším priateľom Romanom (on je aj autor všetkých fotiek, kliknutím načítate v plnom rozlíšení).

Najmocnejšie zážitky boli na brehoch Atlantického oceánu. Vidieť, ako sa trieštia masy vody o ostré bralá vzbudzovalo bázeň. Pobehať si po piesku v studenej slanej vode bolo zas neskutočne príjemné.
Na Diamond hill v národnom parku Connemara fúkal príšerne silný vietor, bolo ťažké rovno stáť.
Ale kvôli fotke sa to dalo chvíľu vydržať aj bez budny.
Keďže Íri kvôli chovu oviec vyklčovali takmer všetky lesy, krajinu väčšinou pokrývajú rozsiahle pasienky a rašeliniská. Po rašeline sa dosť zle chodí, z diaľky vyzerá ako nevinná trávička, ale zabárajú sa do toho nohy. Roman nám rozprával pár svojich zážitkov ako sa brodil po kolená v rašeline. Na navštevovaných miestach sú preto vytvorené takéto spevnené chodníky.
Dramatické scény...
...zjemňovali všade prítomné čokoládové guličky. Nenápadní svedkovia rozšírenosti írskych ovečiek. Inak o tie ovce sa tam vraj ľudia veľmi nestarajú. Majitelia si ich označia a vypustia na svojich pozemkoch a o pol roka si prídu po mäso. Ovce pôsobia dojmom takých polodivokých zvierat. Typické sú asi skôr roztrúsené voľne žijúce ovečky, nie košiare ako na Slovensku.

IQ test: ktorá je slaná a ktorá sladká? :-)
The Giant's Causeway v Severnom Írsku je veľká atrakcia. Na brehu oceánu tam nájdete asi 4x10⁴ takýchto čadičových stĺpov a vyzerá to fakt pekne. Na wiki si môžete prečítať viac o mechanizme akým tieto zaujímavé lávové útvary vznikli.

Zvláštna náhodnosť vĺn. Pozeral som asi na 20 vĺn, ktoré dorážali k tomuto brehu, aby som odhadol, ako najnižšie a najbližšie sa dá posadiť k vode. A potom nás takmer spláchlo, lebo 21. vlna bola o kúsok vyššia:

Zadanie #2

2011-03-14T22:14:00.004+01:00

Príbeh s ružovou obálkou pokračuje. Ako dokumentuje obrázok, dostal som ďalšie zadanie spolu s odmenou (lahodný čierny čaj značky Julius Meinl :-).
Tu sú odpovede:
A. Nie
B. Keďže odpoveď na A. je "nie", otázka B. je teraz už irelevantná.

Podrobnejšia odpoveď:

Vysvetlime si, prečo nie je možné zostaviť rozvrh, ktorý by Radovana donútil sedieť v škole na všetkých hodinách, ktoré by mal navštevovať. Radovan navštevuje len hodiny, ktoré má rád (tých je 7), prípadne tie, ktoré musí (2 = jedna chémia a jedna biológia). V škole ostane, pokiaľ medzi dvoma hodinami, na ktoré beztak chodí sú prinajhoršom dve hodiny, ktoré sú mu ukradnuté.

Keby sme úlohu maximálne pritiahli za uši v prospech riešiteľnosti, mohli by sme si to celé zjednodušiť tak, že Radovan v škole ostane dokonca aj cez noc, pokiaľ medzi poslednou zaujímavou hodinou v jednom dni a prvou zaujímavou hodinou v druhom dni nie sú viac ako dve nezaujímavé hodiny. Tým sa trochu zjednodušia výpočty a zvýši šanca na zostavenie rozvrhu, ale, žiaľ, aj tak je to málo:

9 navštevovaných hodín Radovana donúti sedieť najviac na ďalších 8*2 nudných hodinách (vypĺňajúcich medzery medzi zaujímavými hodinami), prípadne 9*2, ak by v škole nocoval aj cez víkendy... To je prinajlepšom 9 + 18 = 27 vyučovacích hodín. Radovanovo kurikulum pozostáva z 32 hodín, teda nie je možné zostaviť rozvrh tak, aby ostal v škole celý čas.

Ďakujem za úlohu aj za čaj:-)

Bobby McFerrin

2011-03-10T14:40:00.004+01:00

Zajtrajší Zero Seminar bude venovaný oslave narodenín môjho obľúbeného speváka Bobbyho McFerrina. Oslavovať budeme najmä počúvaním ukážok z jeho tvorby.

Pre študentov, ktorí končia piatou hodinou bude čakanie na začiatok seminára spríjemňovať počítanie príkladov na tému zobrazení v rovine a dokončenie jedného minulotýždňového experimentu s peroxidom vodíka, takisto v miestnosti 24 od 13:10.

Peroxid vodíka

2011-03-05T18:27:00.010+01:00

Na ostatnom Zero Seminári sme sa hrali s peroxidom vodíka. Väčšina experimentov bola o tom, ako dostať z peroxidu kyslík rýchlo von a pritom sa s ním aj trochu zabaviť. Spravili sme si niekoľko klasických demonštrácií:

Duch vo fľaši (peroxid vodíka + manganistan draselný)

Pokus s modrou skalicou a peroxidom

Elephant's toothpaste, aj keď to v skutočnosti pripomínalo čosi iné, keďže sa z toho tak mierne parilo...

No a na záver sme vylepšovali už tradičnú raketu na etanolový pohon tým, že sme atmosféru vo fľaši vymenili za plynný kyslík, ktorý sme získali z peroxidu. Plameň nehorel namodro, ako zvyčajne, ale na červeno.

foto: Michelle Hanzelová,
video: Leila Belmechri

Ružová obálka

2011-02-28T16:21:00.001+01:00

Pred dvoma týždňami (14.2.) som si na dverách kabinetu našiel asi najružovejšiu obálku, akú som kedy dostal (pozri foto). Mierne som sa vydesil, ale keď som ju otvoril, musel som zaplesať nad skutočne potešiteľným obsahom - vnútri bola pôvodná tvorba s charakterom matematických hádaniek, venovaná mne. Nesmierne ma to potešilo a poctilo. Znenie hádaniek si tiež môžete pozrieť na fotke.

Moje odpovede:
A: Ak by som sa v stredu skutočne riadil iba rozvrhom a navštívil jedáleň len raz a staffroom práve trikrát, prešiel by som za ten deň v rámci školy presne 372 schodov. Podrobnejší rozpis: pri vchode 10, po D3 je ich 11, po staffroom 22, po kabinet 22. Trikrát z kabinetu do staffu a zodpovedá 44x3 schodom, jedáleň 55, späť znova 55, odchod z práce 65. Uvedomme si, že to naozaj nie je veľa, je to o pár schodov menej ako vyšľapať po schodoch na najvyššie poschodie petržalského paneláku a späť (192x2).

B: Učím iba v učebni 21, ktorá je hneď pri mojom kabinete, preto by som sa teoreticky mal nachodiť máličko: 70 krokov cez vstupnú halu a do kabinetu, 60x3 návštevy zborovne, 80 jedáleň, zhruba 100 krokov po jedálni, keď nemám dozor, 80 naspäť do kabinetu a potom 70 domov. Na vyučovacie hodiny by to bolo vždy zhruba po 15 krokov, učím 5 hodín, čiže 30x5. Spolu 640 krokov. Ak by každý môj krok meral meter nenachodil by som za deň ani trištvrte kilometra.

Toľko veľmi priamočiara odpoveď. Skutočnosť je však iná. Ráno niekedy omylom vchádzam do budovy cez bočný vchod. Vnútri ma však zastaví mreža a tak obchádzam cez podzemie (+50m, +22 schodov). Do zborovne nechodím 3 krát za deň ani v najlepšom prípade. Bežne navštívim staffroom tak 10, možno aj viackrát (+420m, +308 schodov). Asi v polovici prípadov návštevy staffroomu cestou niečo zabudnem alebo niekoho stretnem a tak sa otočím a cestu absolvujem vlastne dvakrát (+300m, +220 schodov). V triede pri vyučovaní nesedím ani nestojím na mieste, ale sa sústavne pohybujem, pričom moja priemerná rýchlosť sa pohybuje od 0,5 km/hod (nultá hodina v piatok ráno) po 7 km/h (stavy vytrženia pri vysvetľovaní najvzrušujúcejších matematických poznatkov). Za päť vyučovacích hodín nachodím teda zhruba 1km/h x 5 hodín x 0,75 (45 minútovky) = 3,75 kilometra. Cestou domov ešte zvyčajne párkrát niečo zabudnem, ale pokladajme to už za zanedbateľné.

Celková bilancia: V priemerný školský deň teda v budove školy prejdem zhruba 922 schodov a nachodím okolo 5,16 kilometra.

A teraz mi ešte zostáva vyriešiť si otázku, na čo som viac zvedavý:
Dostanem odmenu?
Kto to celé vymyslel?
Aké budú ďaľšie úlohy?

Váha slov

2011-01-17T19:20:00.007+01:00

"Na každom kroku sa môžeme presvedčiť, ako vyslovené alebo napísané slovo už takmer nič neváži. Ako ľahko sa stáva iba zvukovou kulisou alebo stavebným kameňom lacných fráz. V dôsledku toho potom už neznamená nič ani dané slovo, ani daný sľub." Max Kašparů

Niekedy snívam o tom, aké by to bolo, keby váha slov nebola len vzletným pomenovaním kategórie popisujúcej ich závažnosť. Keby váha slov bola skutočnou fyzikálnou vlastnosťou, odvodenou napríklad od hustoty myšlienok.

Naše uši by tak boli odbremenené od počúvania výrokov nejedného politika, kazateľa, televíznej hlásateľky alebo stredoškolského učiteľa. Slová by vďaka svojej nízkej hmotnosti vyleteli kolmo nahor hneď ako by sa im odlepili od okraja hornej pery. Toto prudké súpanie by skončilo vo vrchných vrstvách atmosféry, v horších prípadoch až kdesi v medziplanetárnom vákuu.

Súčet kociek

2011-01-16T14:16:00.009+01:00

Na Vianoce sme dostali 216 malých neodýmových (neodymium) guličiek. V originálnom balení sú guličky uložené v tvare kocky 6x6x6 guličiek. Miriam sa z nich podarilo poskladať tri menšie kocky so stranami 3, 4 a 5, no a keďže 3³+4³+5³ = 6³, tak žiadna gulička nezvýšila. Prirodzene z toho vzniká hádanka:

Koľko existuje takých štvoríc po sebe idúcich prirodzených čísel, že súčet tretích mocnín (kociek) troch menších z nich sa rovná tretej mocnine najväčšieho? Svoje tvrdenie dokážte.

2010-12-23T12:11:00.002+01:00

Sto čísel v obálke

2010-12-22T21:01:00.004+01:00

Mali sme dnes v škole takú súťaž na štýl Jeopardy. Pri jednej z otázok z matiky nebolo dosť času precítiť správnu odpoveď, preto ju pre prípadných záujemcov uvádzam tu:

V obálke je sto lístočkov. Na každom lístočku je jedno prirodzené číslo od 1 do 100, každé práve raz. Koľko lístočkov musíme prinajmenšom z obálky naslepo vytiahnuť, aby sme mali úplnú istotu, že sme medzi nimi vytiahli aj dve také čísla, ktorých rozdiel je deliteľný 7?

K správnej odpovedi sa dá dopracovať napríklad takto: Predstavme si, že slepá náhoda nie je vôbec slepá, ale že je naopak, veľmi manipulatívna a zákerná. Vašu ruku šikovne navádza tak, aby čo najviac oddialila moment, v ktorom si vytiahnete číslo, ktoré s niektorým už vytiahnutým tvorí rozdiel deliteľný 7. Ako by to prebiehalo? Predstavme si, že ako prvé si vytiahnete číslo, ktoré po delení 7 dáva zvyšok 1. Z rozumných dôvodov ho pomenujme 7a+1. Teraz náhoda nesmie dovoliť, aby druhé číslo bolo napr. 7b+1, pretože (7b+1) - (7a+1) = 7(b-a). V skutočnosti je to naozaj tak, že ak má byť rozdiel dvoch čísel deliteľný 7, musia tieto dve čísla samé o sebe dávať rovnaký zvyšok po delení 7. Nech je teda druhé číslo rovné napr. 7b+2. Tretie 7c+3. Ďalšie by mohli byť 7d+4, 7e+5, 7f+6, 7g. Z týchto siedmich sa naozaj nedá vybrať dvojica, ktorej rozdiel by bol deliteľný 7, vždy ostane nejaký zvyšok. Ak však teraz vytiahneme ôsme číslo, zákerná náhoda už nemá šancu - číslo s ľubovoľným zvyškom po delení 7 totiž môžeme dať do páru s príslušným číslom s rovnakým zvyškom z už vybraných siedmich - zvyšky sa odrátajú a je to.

Samozrejme, skutočná náhoda nie je zákerná, ale ľahostajná a preto - keby sme pokus robili naživo, zrejme by sa nám vo väčšine opakovaní pokusu podarilo vytiahnuť dvojicu skôr, než v ôsmom ťahu. Po ôsmom ťahaní však budeme mať dvojicu čísel s rozdielom deliteľným 7 zaručene vždy, v každom prípade.

Pravda o existencii Santa Clausa

2010-12-06T15:47:00.005+01:00

Dnes taký už trochu vianočný príspevok. Text o existencii Santa Clausa napísal môj žiak a poprosil ma, aby som ho sem zavesil:-)

Program Zero Seminar na december

2010-12-02T07:29:00.005+01:00

Toto nás čaká do Vianoc:

Pripájam zopár fotiek z dneška - takéto skvelé veci sme dnes videli (Aspergillus):

Koľko asi tak váži slon?

2010-12-01T16:34:00.003+01:00

V prvom balíčku adventného kalendára, ktorý mi Miriam nachystala som si našiel okrem sušeného ovocia aj malý lístoček. Nebolo na ňom žiadne vianočné zamyslenie, ani biblický veršík, ale asi 7 odhadových úloh (a keďže mám rád odhady, veľmi ma to potešilo). Do práce som odchádzal síce polohladný, ale s príjemným uvedomením, že ročne je moje telo prepláchané zvnútra asi desiatimi hektolitrami vody a že v živote som určite nevidel viac ako pol milióna rôznych ľudí...

Nestálo by to za zmienku (veď, koho už len trápi, čo som mal na raňajky...), keby som sa k odhadom dnes zhodou náhod nedostal znova - piataci sa pred seminárom sporili, aký ťažký môže byť taký priemerný slon. Druhá priama výzva k odhadom v jeden deň, to je fakt šťastie.

Nie je to ťažká úloha, ak máte chuť, skúste si to!

(Môžete skúsiť napríklad najprv odhadnúť rozmery slona, pomôže vám ak si ho načrtnete, aby ste mali tie odhady proporčné... potom zvážte priemernú hustotu slona - podobne ako človek je asi hlavne z vody, čiže kilogram na liter, no a potom ho aproximujte napríklad vhodným kvádrom alebo valcom...) Nám odhad vyšiel na 4,8 tony. To bolo radosti, keď sme na answers.com našli vetu : "It is mostly dependent upon the species of elephant that your are referring, however the average weight of an adult African Elephant is 4.6 Tons."

Sodík, chlorečnan draselný a parafín

2010-11-26T11:02:00.004+01:00

Včera som mal veľkú radosť - na Zero Seminari rozprával kolega M. Košuth o rôznych spôsoboch ako sa dá vyrobiť oheň. V tomto krátkom videu je zostrih rôznych experimentov, ktorými sme sa včera zabávali.

Len stručne: part I., sodík je alkalický kov, v čistej forme veľmi reaktívny napríklad aj s vodou - z molekuly vody vytlačí jeden vodík a s OH skupinou vytvorí super žieravú zásadu hydroxid sodný (výborne tým vyčistíte napríklad upchatý sifón a odpadové potrubia, lebo rozkladá mastnotu). Keď hodíte kus sodíka do zohriatej vody, odchádzajúci vodík dokáže vzplanúť. Zaujímavá je otázka, prečo sa ten vodík sám zapáli (bez škrtnutia zápalky)?

part II., chlorečnan draselný sa rozpadá na chlorid draselný (neškodná soľ, používa sa aj v liečivách alebo potravinách) a čistý kyslík. Čistý kyslík výborne horí. Keď do skúmavky, ktorej atmosféra je plná kyslíka vložíte tlejúcu špajlu, znovu sa rozhorí. Keď to preženiete, dá sa roztopiť skúmavka :-)

part III., parafín. Najnepochopiteľnejší z včerajších experimentov a pri tom najjednoduchší z hľadiska použitého materiálu - obyčajná sviečka. Skúmavka s vriacim voskom pri ponorení do studenej vody praskne a zo skúmavky vyletí horúci obsah, ktorý vo vzduchu zhorí. Zaujímavé otázky: Prečo sa parafín vo vzduchu opäť sám vznieti? Prečo vyletí do vzduchu?

x^(1/x)

2010-11-16T18:05:00.004+01:00

Minulý piatok sme sa s priateľom Lukášom a bratom Radom dostali k veľmi peknému problému. Rozmýšľali sme o funkcii x tej odmocniny z x. Vedel som, ako približne vyzerá jej graf. Pomerne ľahké je ukázať, že maximum funkcia naozaj nadobúda pre e. Zaujímavá je otázka, kam by klesala krivka, keby sme sa pozreli trochu "viac doprava". Pomerne rýchlo sa dá uveriť, že limita tejto funkcie pre x idúce do nekonečna bude 1 (skúste si na kalkulačke zrátať napríklad tísícu odmocninu z tisíc...).

Zvyšok večera nám vyplnilo šialené hľadanie inflexných bodov. Keďže v okolí nuly vyzerá krivka konkávne a v maxime konvexne, nejaký inflexný bod musí ležať medzi nulou a e. No a keďže v limite nesklesá k mínus nekonečnu, ale k jednotke, tak ďaľší inflexný bod musí ležať aj napravo od e. Rovnice, ktoré sme dostávali po druhom zderivovaní sme proste nevedeli vyriešiť. Inflexné body našiel Rado s pomocou výpočtovej sily svojho laptopu, ale analyticky sme riešenie vyjadriť nedokázali.Otázka pre vyspelejších matematikov: Viete sa k tým inflexným bodom nejako vyjadriť? Dá sa rovnica f''(x) = 0 nejako analyticky vyriešiť, alebo sa treba uspokojiť s tými numerickými riešeniami?

Na záver ešte jedna filozoficko matematická hádanka pre vyspelých matematikov: Keď sme sa snažili nájsť to analytické vyjadrenie inflexných bodov, môj brat intuitívne tipol e+e^1/2, čo sa od jedného z inflexných bodov líši len o maličký kúsok. To je len náhoda, alebo sa ten inflexný bod dá nejako tak podobne vyjadriť?

Suchý ľad

2010-11-11T22:09:00.008+01:00

Neviem ako vám, ale mne "oxid uhličitý" znie tak trochu ako "teroristický útok" alebo "tragická udalosť". Oxid uhličitý (chudáčik) je totiž skleníkový plyn a tak sa na jeho adresu môžete dopočuť veľa kritiky. My sme sa na Zero seminari skúšali zamýšľať nad tým, či je CO₂ aj na niečo dobrý. Nuž, keby ho odrazu nebolo, tak príroda nemá ako ukladať do našich potravín teplé slnečné lúče, z ktorých máme energiu, keď sa najeme (fotosyntéza a dýchanie), takže na niečo dobrý asi predsa len bude. A ešte sme sa rozprávali o stromoch "zakorenených" do vzduchu, naučili sme sa, ako sa zlepšiť v zadržiavaní dychu až na 200% bežného výkonu (hrozí pritom odpadnutie... z toho dôvodu sme nezadržiavali dych všetci na seminári, ale len niektorí), a o iných magických veciach.

S tuhým oxidom uhličitým je navyše úžasná zábava. Teplota -78°C je hrozivá, ale nikomu sa nič nestalo, dalo sa s ním pracovať celkom smelo - suchý ľad v podobe malých peliet je celkom bezpečný. Ak sa dostane k pokožke, veľmi rýchlo sa vplyvom vlhka a tepla okolo studenej pelety nasublimuje vankúšik, ktorý vás spoľahlivo odizoluje. Napriek tomu, jesť by som ho neodporúčal.

Hra Logik a jej rôzne modality

2010-11-09T19:09:00.006+01:00

Klasická dosková hra pre dvoch. Na západe sa volala Super Mastermind, v Československu sa vyrábala zo škaredého šedého plastu a mala názov LOGIK. Pravidlá sú na wikipédii uvedené takto:

"Na začátku hry jeden z hráčů skrytě umístí pod stříšku libovolnou kombinaci pěti barevných kolíčků, přičemž stejná barva se může opakovat vícekrát. Druhý hráč se tuto kombinaci snaží uhodnout tím, že vytváří kombinaci pěti kolíčků na hádacích řadách na hrací desce. První hráč každý jeho pokus vyhodnotí pomocí hodnotících kolíčků následovně:

* za každý hrací kolíček, který hádající hráč umístil ve správné barvě na správné místo, přidá černý kolíček;
* za každý hrací kolíček, který hádající hráč umístil ve správné barvě, ale na špatné místo, přidá bílý kolíček.

Hádající hráč neví, za který hrací kolíček byly přiděleny hodnotící kolíčky.

Hra končí, když hádající hráč uhodne kombinaci (vítězný pokus je tedy ohodnocen plným počtem černých kolíčků, počet se může lišit podle verze hry), popř. když spotřebuje všechny řady na hrací desce, aniž by kombinaci uhodl.

Hráči si pak vymění role a hra pokračuje. Vítězem se stane hráč, který k uhodnutí potřeboval méně pokusů."

My jednu starú súpravu LOGIKa doma máme a tak sa ho občas s Miriam hráme. Keď mi Miriam asi pred mesiacom kúpila nové LEGO, tak sme namiesto tej starej československej súpravy hrali s LEGOvými kockami.

Mňa na hre LOGIK fascinujú rôzne modality v akých sa dá hrať. Moja žena dobre rozumie farbám a občas aj abstraktným konceptom nejakým spôsobom priraďuje farby, proste myslí farebne. Vždy ma v klasickom LOGIKovi nabije, väčšinou uhádne moju kombináciu na 4 ťahy (hráme s 5 kolíčkami z 8 farieb bez opakovania). Ja farbám nerozumiem, nemyslím farebne a s klasickým LOGIKom sa trápim vždy aspoň 7 ťahov. Tento týždeň sme skúsili plasty vymeniť za pero a papier a farby za číslice. Konečne som vyhral na 4 ťahy aj ja. A pritom z hľadiska zložitosti problému to bola rovnaká úloha ako vo farbách (použili sme päťčíslia z číslic 0-7)! Ponaučenie: moja žena má rada farby, ja mám rád čísla. Preto sa ona venuje arteterapii a ja učeniu matematiky :-)

Veľmi zaujímavá je verzia, ktorú zas vymyslel môj brat. Namiesto kombinácie číslic, či farieb si prvý hráč vyberie nejaké päťpísmenové podstatné meno. Druhý hráč potom háda - tiež s pomocou platných podstatných mien. V tejto modalite je LOGIK ideálnou hrou na dlhú cestu vlakom, pretože sa dá hrať celkom dobre z hlavy. K tejto verzii moja Miriam vymyslela zaujímavú hádanku: "Vymyslite takú kombináciu slovenských nevlastných päťpísmenkových podstatných mien, aby vám vyhodnotenie tejto kombinácie slov stačilo na uhádnutie akéhokoľvek hádaného slova v slovnej verzii hry LOGIK."

Ešte sa popýšim, že jej sa podarilo vymyslieť takú 13 slovnú kombináciu.

Poznámky.
Na mathworlde je o hre pekne napísané.

Naše štvorťahové výherné partie sú tie šťastnejšie, určite to nie je naša priemerná dĺžka hry, to by sme s tým inde machrovali:-) Neviem, aké sú momentálne najlepšie algoritmy na 5-kombinácie z 8, každopádne pre jednoduchšiu verziu 4-kombinácií zo 6 je to niečo okolo 4,5 ťahu.

The Zero Seminar

2010-11-05T22:27:00.004+01:00

Toto je pozvánka pre študentov bilgymu:

Hádanka o výťahu

2010-10-18T15:38:00.004+02:00

Často k nám príjdu na návštevu priatelia. Vchod do domu sa nedá otvoriť z bytu, preto musíme ísť každého návštevníka vpustiť a potom zas vypustiť. To sa človek načaká na výťah...

Hádanka o výťahu
V Petržalke je veľa vysokých bytoviek. Predpokladajme, že žijete v osemposchodovom paneláku. Všetci susedia, okrem tých z prvého používajú výťah vždy keď niekam idú, aj keď sa vracajú domov. Susedia sú taký generický šedý priemer a všetci chodievajú von zhruba rovnako často. Výťah sa pohybuje rýchlosťou jedného poschodia za štyri sekundy. Obyvatelia ktorého poschodia sa v priemere načakajú najmenej? Koľko sekúnd?

Zaujímavé by mohlo byť vyriešiť úlohu aj vo všeobecnosti - pre n poschodí.

Samozrejme, ten úvodný problém s otváraním vstupnej brány pre návštevy sme vyriešili inak...

Butánový sušič riadov

2010-10-02T17:54:00.001+02:00

Sign in to like this photo.

2010-10-01T15:44:00.010+02:00

Dnes som bol chvíľu na pochybách. Keď som si prezeral fotky na Picasse, všimol som si pod každým obrázkom prilepenú túto správu:

Po slovensky: "Prihláste sa, aby sa vám páčila táto fotka." Rozmýšľal som chvíľu o tom, prečo by som sa mal prihlasovať do nejakej Picassy na to, aby sa mi páčila fotka... vždy som to chápal nejak tak, že "páčiť sa" je vnútorné prežívanie krásy alebo príjemnosti ako odpovede na vonkajší podnet, či myšlienku - teda jav dosť nezávislý od toho, či je človek prihlásený v nejakej internetovej službe alebo nie.

Potom som si uvedomil, že išlo iba o príliš konzervatívne vnímanie jazyka z mojej strany. Menej zastaralý preklad by mal znieť: "Prihláste sa, ak chcete olajkovať túto fotku."

Odľahlo mi.

Ak chcete olajkovať tento článok, prosím, vypnite cez víkend počítač a choďte aspoň na chvíľu do prírody.

Tri ľahké hádanky s bicyklami

2010-09-26T18:30:00.003+02:00

Pár hádaniek o bicykloch. Prvé dve sú voľne prerozprávané z knihy The Moscow Puzzles. Tretia je odhadovka, cieľom je nájsť rádovo presný odhad.

Hádanka č.1: "Cestou z práce dostal cyklista v dvoch tretinách svojej cesty defekt. Zvyšok cesty bicykel tlačil. Kráčaním strávil dvakrát toľko času ako na bicykli. Koľkokrát rýchlejšie bicykloval ako kráčal?"

Hádanka č.2: "Adam a Braňo sa vydali na bicyklový výlet. Adam dostal po chvíli defekt. Keď ho opravil, zavolal Braňovi, ktorý medzitým pokračoval ďalej. Kamaráti po chvíli telefonovania vykoumali, že Adam má prejdenú ešte len polovicu z toho, čo Braňovi ostáva do konca, pričom Braňovi do konca cesty ostáva už iba polovica toho, čo už doteraz prešiel. Koľkokrát rýchlejšie ako Braňo bude musieť Adam bicyklovať, ak chce, aby dorazili do cieľa naraz? Má šancu Braňa dobehnúť?"

Hádanka č.3: "Koľko otáčiek musí spraviť koleso bicykla, aby sa z pneumatiky zodrala jedna atómová vrstva materiálu?"

Špeciálna ponuka pre študentov z bilgymu: Ak sa vám podarí napísať presvedčivý odhad tretieho príkladu skôr ako to vyrieši niekto iný, máte u mňa liter chladenej kofoly!

Steve Jobs: How to live before you die

2010-09-25T15:17:00.003+02:00

Dnes som narazil na inšpiratívne video.

Ako stávkovať v Lote?

2010-09-07T18:54:00.008+02:00

Dnes sme na úvodnej hodine z matematiky rozmýšľali nad chúlostivou témou peňazí. Konkrétne sme si položili otázku, aký veľký musí byť jackpot v Lote, aby výhra bola vyššia ako náklady na nákup losov so všetkými možnými kombináciami 6 čísel zo 49. Potom sme si položili ešte jednu otázku - aká veľká a aká ťažká by asi bola tá kopa lístkov?

Počet všetkých možných šestíc spomedzi 49 čísel vypočítajú starší žiaci ľahko (naťukajú do kalkulačky "49 nCr 6", čiže kombinačné číslo 49 nad 6timi). S mladšími sme sa museli tuho zamyslieť. Ak by sme čísla losovali postupne tak, ako sa kedysi losovala Športka (také tie tancujúce pingpongové loptičky s číselkami) tak môžeme uvažovať nasledovne: najprv vyberáme prvé číslo. Na výber máme 49 možností. Keď ho máme, vyberáme ďalšie - spomedzi 48 zvyšných čísel, atď. Láka to k odpovedi, že šestica čísel sa dá vybrať 49.48.47.46.45.44 = 10 068 347 520 spôsobmi. V tomto obrovskom čísle však každú vytiahnutú šesticu započítavame veľa krát - zahŕňa totiž každé možné poradie vytiahnutia danej šestice (teda napríklad okrem šestice 3, 4, 5, 6, 7, 8 započítava aj šesticu 8, 7, 5, 3, 6, 4 atď.) Preto ho treba predeliť číslom, ktoré by vyjadrovalo, koľkými spôsobmi sa dá zoradiť šesť konkrétnych čísel, aby sme zaratúvali len originálne, rôzne šestice a vyhodili ich rôzne preusporiadania, ktoré sú z hľadiska výhry v Lote to isté. Napríklad trojica čísel sa dá zoradiť šiestimi spôsobmi (123, 132, 213, 231, 312, 321). So šesticou by bolo vypisovanie náročnejšie, ale môžeme použiť rovnakú úvahu ako na začiatku a dostaneme súčin 6.5.4.3.2.1 = 720. Počet všetkých možných výsledkov žrebovania v Lote teda je 13 983 816. Pri cene 65 centov za jeden žreb by sme na vykúpenie všetkých možností potrebovali niečo vyše 9 miliónov eur. Že vraj minulý rok bol jackpot vyše 10 miliónov, to keby som vedel...

Keby som si chcel tých 14 miliónov lístkov fyzicky kúpiť, ako by som si ich odniesol domov? Skúsme odhadnúť objem jedného tipovacieho ticketu. Môže to byť papierik tak asi 15 cm dlhý, 7 cm široký a hrubý možno 0,1 mm (Balík 500 ks kancelárskych papierov je hrubý asi 7 cm, tie žreby sú o kúsok tenšie). Objem jedného lístku je teda 1,5.10^-1.7.10^-2.1.10^-4 = 1,05.10^-6 m³ (teda asi jedna milióntina kubíka). Ak by každé šesťčíslie bolo vyznačené na jednom lístku, tak by celkový objem lístkov bol zhruba 1,4.10⁷.10^-6 m³, teda 14 m³. Koľko to je? Nákladné auto TATRA (dá sa kúpiť napríklad tu) má prepravný objem 12 m³. Takže jedna tatrovka by vám nestačila.

Odhadnúť hmotnosť takej kopy už nie je veľký problém - papier vo vode pláva, kým sa nenapije, teda bude mať hustotu o kúsok menšiu než voda. Meter kubický vody váži tonu, tak nech kubík papiera váži trebárs 900 kg. Naše stávkovanie teda bude vážiť niečo cez 12 ton.

True Story na záver

Všetkým študentom hovorím, aby sa nevenovali stávkovaniu (jedine ak by sami mali vlastnú herňu alebo kasíno, vtedy sa to naozaj stáva výhodným...). Hovorím to napriek úplne skvelému príbehu môjho starého otca. Bol to taký slušný a dobrý človek. Napriek tomu si vždy raz za čas zvykol kúpiť žreb Športky (alebo "Sazky" alebo čosi podobné). Ako správny skeptik však žreb hneď po príchode domov hodil do koša. Raz takto išiel cestou z kostola okolo výkladu s uverejnenými vyžrebovanými číslami. Všimol si, že to sú také jeho typické číselká. Tak sa ponáhľal domov, vytiahol žreb z koša a... vyhral 1. cenu. V tom čase to nebola finančná výhra ale automobil Škoda 100. V živote nešoféroval auto, tak si kvôli tomu musel dokonca spraviť vodičák.

Preklep a pokus

2010-09-07T18:43:00.002+02:00

Práve som na titulnej stránke sme.sk objavil preklep. Napísali, že dánsky karikaturista nakreslil Mohameda s turbanom namiesto bomby. Tak im idem hneď napísať, a som zvedavý, ako rýchlo to opravia. Stopujem čas: tri-šty-ri!

Teambuilding

2010-08-20T23:50:00.004+02:00

Dnes sme mali s kolegami učiteľmi závideniahodnú grilovačku. Ako by mal vyzerať správny školský gril? No predsa takto:

Dobré, čo? Zo starej školskej lavice!

Ostrá úloha

2010-08-17T23:08:00.004+02:00

V tábore, ktorý som spomínal v minulom príspevku som stretol rodičov dvoch našich študentiek. Rozhovor s otcom bol zaujímavý (a milý súčasne):

- A čo ich budete učiť?
- Matematiku.
- Aha, matematiku. (pauza) A mohol by som vám dať hádanku?
- Budem rád.
- Rozdeľte štvorec na ostrouhlé trojuholníky. Skúste tak, aby ich bolo čo najmenej.

Ak vás v tieto daždivé dni niekedy prikvačí nuda, skúste si vytiahnuť kus papiera a ceruzku a pustite sa do toho, vôbec to nie je také jednoduché, ako sa na prvý pohľad môže zdať! Pre istotu doplním, že ostrouhlý trojuholník je taký, ktorého všetky vnútorné uhly sú ostro menšie ako 90°. "Rozdelením" sa myslí matematický ekvivalent rozstrihania papiera (presne: Nájdite najmenší systém ostrouhlých trojuholníkov, ktorých vnútra sú disjunktné a ktorých zjednotením je daný štvorec.).

Inak, neskôr som zistil, že tento chlapík je slovenská jednotk a v kompozičnom šachu.

Gejzír

2010-08-15T00:28:00.006+02:00

S Miriam sme boli na detskom tábore so Scripture Union. Mojou úlohou bolo zabávať (hlavne deti) rôznymi experimentami, sem-tam aj s nejakou fyzikálnou zápletkou.

Viem, že videí "diet coke + mentos" je plný jutjub, ale bol to náš vizuálne najatraktívnejší pokus, tak teda jedno video pridám aj ja.

Okrem tohto gejzíra sme vyrábali umelý oblak, hasili oheň neviditeľným oxidom uhličitým, roztáčali tornádo vo fľašiach, zostrojovali raketu na pohon 85% alkoholom a všeličo iné.

Aj keď som mal na začiatku prázdnin po prvom roku učenia "detí plné zuby", musím konštatovať, že niet nad dobrý detský tábor :-)

PS: Naši mladší vedúci (bolo tam aj niekoľko bilgymákov) sa jedno popoludnie bavili natáčaním nasledujúceho klipu. Trvalo im to len pár hodín, ale je to výborne zostrihané a synchronizované, tak to sem celkom nadšene pripájam aj ja:

Pri jazere - zvuková hádanka

2010-08-04T14:26:00.003+02:00

Bol u nás náš kamarát Roman, ktorý sa v Írsku venuje výskumu. Okrem toho, že počítačovo modeluje a skúma látky na časticovej úrovni (ich tím sa snaží vyvinúť látku, ktorá by mala magnetické a elektrické vlastnosti také, že by sa z nej dala vyrobiť pamäť rýchla ako pamäte typu RAM, ale zároveň by dáta uskladňovala aj po vypnutí elektriny. Inými slovami, chcú vyrobiť super-harddisk:-), chodí rád a často do prírody.

Keď raz bivakoval pri tomto jazierku na juhu Írska, podarilo sa mu nahrať čudesný zvuk, ktorý sa ozýval z náprotivných brál (trochu si to oddiaľte).

Zobraziť zvukova hadanka na väčšej mape

Nahrávku si môžete stiahnuť tu, alebo trošíčku modifikovanú tu (trochu menej hlbokého šumu). Hádankou je, čo je pôvodcom týchto zvukov. Skúste hádať. (Ja odpoveď nepoznám, ale pevne verím, že sa snáď k niečomu dopracujeme, ideálne k presnému vedeckému názvu nejakého konkrétneho druhu :-)

Neusiedler See

2010-07-16T19:33:00.005+02:00

Boli sme s Miriam na skvelom bicyklovom výlete pri Neusiedler See (Neziderské jazero, na wikipédii je o ňom zaujímavý článok). K tomuto celkom peknému jazeru sa dá dostať z Bratislavy na bicykloch pohodovým tempom za tri až štyri hodiny po príjemných cyklocestách. Okola jazera je plno kempingov, takže sa to dá spraviť ako viac-denný výlet.

Ak vás tieto vety inšpirovali, na oficiálnej stránke si môžete objednať cyklomapu, zadarmo vám ju pošlú. Už len premazať reťaz, zbaliť plavky a vyraziť :-)

Zaokrúhľovanie

2010-07-12T12:22:00.005+02:00

V rámci boja za zrovnoprávnenie iracionálnych čísel s racionálnymi občas strhávam body na písomke. Viem, že 0,02 bodu pri 4 bodovej úlohe nie je veľa, ale aspoň to udrie do očí viac ako keby som strhol 1 bod alebo pol bodu. Je to taká zbytočná strata, rovnako ako je zbytočná odchýlka výsledku 71,8 namiesto 72.

Takže. Milí študenti, do budúcnosti si zapamätajte, že 2 krát odmocnina z 3 je pekné číslo a jeho hodnota nie je 3,46. Dokonca sa nerovná ani 3,4641016151377545870548926830117. Je to iracionálne číslo, a jednoducho sa nedá napísať ako zlomok ani ako desatinné číslo (bolo by treba napísať nekonečne veľa cifier za desatinnou čiarkou, aby sme ho presne vystihli, pretože sa tam nič nezačne opakovať, má nekonečný neperiodický desatinný rozvoj). Najkrajšie, najpresnejšie a najvýstižnejšie ho zapíšete takto:

Pri tom si, v duchu môžete povedať, že je to niečo okolo 3,46. Človeku to dodá taký pocit bezpečia. Ale ak vás zaujíma presný výsledok, tak ostaňte pri odmocninách.

Ale samozrejme, ide o to, o čo nám ide :-) Niekedy je na mieste veľká presnosť, napríklad už len preto, že sa snažíme pochopiť princíp práce s nejakým typom výrazov, alebo keď niekto konštruuje nejakú presnú súčiastočku... ale keď len tak zhruba počítame nejakú vec v bežnom živote - napríklad ja úplne bežne nahrádzam hodnotu čísla pí jeho biblickou aproximáciou = 3.

Ďakujem!

2010-07-06T13:41:00.009+02:00

V júni som obhájil diplomovku a mal som štátnice, ktoré znamenali koniec môjho magisterského štúdia na matfyze. Bolo mi na tej škole veľmi dobre (niekedy až príliš), preto by som sa chcel na tomto mieste všetkým mojim učiteľom poďakovať:

Ďakujem!

Počas celého štúdia na matfyze ma viedli mnohí skvelí ľudia. Aby bola moja vďaka adresnejšia, tak aspoň trochu konkrétnejšie spomeniem ľudí, na ktorých asi tak skoro nezabudnem: doc. Ferko - prispel k môjmu presvedčeniu, že matfyz sa dá študovať tvorivo, že všetko so všetkým súvisí a svojím úžasným rečovým prejavom nám veľmi obohatil kultúrny život aj slovnú zásobu. Doktor Chalmovianský nás učil viaceré ťažké predmety a vďaka nemu som objavil niečo, čo som nazval "hranica chápania" - niekoľkokrát sa mi na jeho prednáškach stalo, že sme dospeli k takým myšlienkam, ktoré boli jednoducho za hranicou môjho chápania. Dalo by sa namietať, že proste na isté koncepty treba trochu viac času a sústredenia, ale mne sa zdá, že niektoré myšlienky proste presahujú moju schopnosť ich poňať - na psychológii sme sa kedysi učili, že kapacita pracovnej pamäte je okolo 7 jednotiek, a mám podozrenie, že práve na matfyze som si na vlastnej koži odskúšal toto kapacitné obmedzenie :-)

No a na záver ešte musím špeciálne spomenúť doc. Božeka, ktorý ma viedol pri písaní doplomovky. Vďaka jeho povzbudeniam, nasmerovaniu a radám som zažil úžasný pocit - radosť z toho, že sa mi podarilo presne naformulovať a dokázať matematické tvrdenia. Bolo príjemné dlhodobo sústredene "matematicky" premýšľať. Okrem vedenia diplomovky však tento človek kultivoval naše myslenie aj na prednáškach z geometrie. Okrem matematického obsahu sme si tu mohli vychutnať príjemný zmysel pre humor nášho prednášajúceho, množstvo historických poznámok a občas aj životných múdrostí. Doc. Božek je navyše ambidexter, a jeho prednášky pôsobnia fantastickým dojmom, keď píše striedavo ľavou a pravou rukou, podľa toho, na ktorej strane tabule práve stojí a ako je priklonený k poslucháčom (aj keď poväčšinou je to tak, že ľavou hlavne rukou kreslí a pravou rukou hlavne píše). Na jeho prednáškach proste nemáte pocit, že ste v škole, kde vás niekto niečo učí, ale že ste v jednej miestnosti s majstrom, ktorý vám odovzdáva vzácne tajomstvá a máte chuť zatajiť dych a počúvať...

Visiace lano

2010-06-01T15:49:00.004+02:00

Začal sa jún. Pre mnohých to znamená uzatváranie známok, skúšky, štátnice a tak. Do tohto obdobia mi tematicky pekne zapadá hádanka o lane visiacom zo stropu (voľne podľa tejto knižky):

Zo stredu stropu miestnosti v tvare kocky voľne visí (statické) lano. Keďže lano je dlhšie ako výška miestnosti, na zemi ležia presahujúce dve stopy lana. Ak voľný koniec lana potiahneme po zemi a lano maximálne natiahneme, jeho voľný koniec bude vzdialený od stredu podlahy 8 stôp. Aké dlhé je lano?

S prvákmi sme práve dumali nad tým, čo to znamená riešiť rovnice a sústavy rovníc a ako sa to dá, takže by (aspoň tí šikovnejší) túto úlohu mali zvládnuť vyriešiť. Keď prváčikov alebo druhákov niekedy na hodine napomínam slovami: "Ale no tak, študenti, vy už ste normálne dospelí ľudia, čochvíľa pôjdete voliť, tak sa trochu upokojte a poďte počítať," zvyknú sa ohradiť, že oni sú ešte deti. No a keďže je dnes Deň detí, rozhodol som sa túto dnešnú úlohu venovať práve im. A nám ostatným navrhujem, aby sme tentokrát riešenie prenechali neplnoletým "deťom".

Poznámka pre špekulantov: Áno, lano sa nikdy nevystrie absolútne. Ale to nech nás v dnes netrápi. Dnes myslime proste iba na obyčajné úsečky a pravouhlé trojuholníky.

Pravidelné mnohosteny

2010-05-25T15:49:00.007+02:00

S druhákmi sa venujeme stereometrii a padla reč aj na pravidelné konvexné mnohosteny. V skratke povedané - mnohosten je teleso, ktoré je ohraničené rovinnými mnohouholníkmi - teda je to také "hranaté" teleso, nemá žiadne "vyguľateniny", ale samé pekné rovné steny a "ostré" hrany.

Pravidelný mnohosten má navyše za všetky svoje steny zhodné pravidelné mnohouholníky a ešte je aj tak pekne symetricky usporiadaný, že keby ležal na stole, a ja by som ho vo chvíľke vašej nepozornosti vzal do rúk, pootáčal a potom položil naspäť na to isté miesto, nerozoznali by ste, že som mnohostenom točil.

Najbežnejší konvexný pravidelný mnohosten je kocka (tá finta s točením platí len na kockách s rovnako nafarbenými stranami a bez bodiek :). Konvexných pravidelných mnohostenov (niekedy sa nazývajú aj Platónske telesá) však existuje viac. Čo je však zaujímavé, neexistuje ich neobmedzene veľa, ako je to napríklad pri pravidelných mnohouholníkoch. Platónskych telies existuje len 5 typov (viď obrázok).

Prečo je to tak a ako sa to dá dokázať? O tom bude najbližší seminár pre študentov bilgymu, už tento štvrtok.

SOOZVUK

2010-05-17T21:12:00.003+02:00

Potešil som sa, keď som si dnes v mejli našiel pozvánku na tri koncerty, ktoré pripravil SOOZVUK. Ak vás zaujíma, ako znie silná súčasná slovenská hudba, príďte si vypočuť...

Diera v kocke

2010-05-14T10:13:00.002+02:00

V mojej obľúbenej českej učebnici som dnes natrafil na peknú hádanku:

Je možné vytvoriť v kocke taký otvor, ktorým by prešla kocka s hranou rovnakej dĺžky?

Je celkom zábavné skúšať si to predstaviť, a ešte zábavnejšie skúšať to nakresliť.

Bobby McFerrin v Ostrave

2010-05-10T18:22:00.007+02:00

Cez víkend sme s Miriam navštívili Ostravu. Boli sme sa pozrieť na koncert Bobbyho McFerrina.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/Bobby_McFerrin_photo_by_Szaniszlo_Ivor.jpg

Bol to fantastický zážitok. Nebolo to pre nás už také magické, ako keď sme Bobbyho zažili na koncerte v Bratislave prvý raz, to kúzlo tajomného šamana sme tentokrát asi až tak neprežívali. Skôr to bol taký priam domácky pocit - aha, živý Bobby McFerrin na pódiu, to je páradička, znova!

Veľmi sa mi páčilo vystúpenie Bobbyho spolu s Danom Bártom, ktorý na chvíľu prišiel na pódium. Na druhej strane, trochu nás otravovalo, že prišiel aj Roger Treece a spolu so zborom a McFerrinom spievali pesničky z nového albumu VOCAbuLarieS. Spievali to totiž celé z nôt a nemalo to ten nádych spontánnosti a improvizácie, kvôli ktorej sa predsa na McFerrinove koncerty chodí:-)

Nemá zmysel veľa o Bobby McFerrinovi rozprávať. Treba ho proste počúvať. Pre inšpiráciu teda pridám pár videí:

Alebo toto:

A keby ste sa niečo podobné chceli naučiť robiť aj vy, tu je pár tipov:-)

Ako urobiť dobrý odhad?

2010-05-06T14:13:00.007+02:00

Budúci štvrtok sa budeme na seminári zaoberať dobrým odhadovaním. Je to úžasná téma, a myslím si, že sa dá osvojiť si zopár trikov a myšlienok, s ktorými budeme schopní mnohé problémy odhadnúť oveľa lepšie ako keby sme odhad len tak "cucali z prsta".

K tejto téme som sa dostal tak, že som sa snažil pochopiť, čo je vtipné na tomto xkcd komixe. To ma priviedlo k fyzikovi menom Enrico Fermi, no a teraz nadšene čítam knižku Guesstimation. Moja drahá Miriam to ešte celkom dobre znáša, ale dávam jej zabrať: väčšinou keď mi v ostatných dňoch niečo rozpráva, môj rozostretý pohľad smeruje 10 cm severozápadne za jej hlavu a premýšľam, že aká dlhá línia by sa dala vytvoriť, keby sa pospájali všetky jej vlasy...

Rezy kocky

2010-05-05T16:07:00.017+02:00

Dnešný príspevok je venovaný hlavne mojim druhákom z bilgymu.

Rezom kocky je zvyčajne mnohouholník, ktorý je prienikom danej roviny a danej kocky. Na tomto mnohouholníku sú najzaujímavejšie jeho strany. Tie totiž zviditeľnujú, kde presne daná rovina kocku "rozrezala". Čiže, keď študujeme rezy kocky, tak sa zaoberáme hlavne prienikom nejakej (danej) roviny a stien kocky.

Samozrejme, rezom kocky môže byť v špeciálnych prípadoch aj niečo iné ako mnohouholník - napríklad úsečka alebo bod. (Úloha pre mojich študentov: no vážne, skúste sa nad tým zamyslieť a vymyslieť také zadanie, aby nastala takáto situácia!)

Nasledujúce tri vyriešené príklady by mali pokrývať všetky triky, ktoré sme sa pri rezoch naučili:

V prvom príklade sa "nič zvláštne" nedeje. V prvých dvoch krokoch sme pospájali dané body určujúce rezovú rovinu. Úsečky, ktoré tak vznikli ležia v stenách kocky, a teda sú stranami rezu. V treťom a v piatom kroku sme využili vetu o tom, že dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina v dvoch rovnobežných priesečniciach. Toto je veľmi užitočná veta pri hľadaní rezov - strany rezu ležiace v protiľahlých stenách kocky sú vždy rovnobežné.

Druhý príklad je o kúsok ťažší a okrem finty s rovnobežnosťou strán rezu (kroky 6 a 9) sme využili vetu, ktorá tvrdí, že ak máme dané tri roviny, z ktorých sú každé dve rôznobežné a všetky tri roviny majú spoločný bod, tak potom sa v tomto bode pretínajú aj všetky tri priesečnice týchto rovín.

Pre istotu to doplním. Priamka KL leží v rovine spodnej podstavy kocky. Každý bod na priamke KL je bodom rezovej roviny a zároveň roviny spodnej podstavy kocky. Čiže je ich priesečnicou. Priamka CB je zas priesečnicou roviny spodnej podstavy a roviny pravej steny kocky. Pretože obidve priesečnice ležia v rovine podstavy, tak vzniknutý priesečník R1 nie je len fiktívny "akože-priesečník" dvoch mimobežiek premietnutých do 2D, ale je to naozajstný priesečník dvoch rôznobežných priamok. No a keďže je to priesečník priamok KL a BC, tak tento priesečník má okrem iného aj dve krásne vlastnosti: leží v rovine pravej steny kocky a leží v rovine rezu. Preto ho môžeme spojiť s bodom M a pokračovať...

Posledný príklad sa síce tvári zložito, ale nie je to nič hrozné. Problém, ktorý môže nepripraveného bežného občana vydesiť je v tom, že žiadne dva body určujúce rezovú rovinu neležia v jednej rovine určenej niektorou zo stien kocky.

Keď spojíme body R a Q, vznikne nám priamka, ktorá kocku "prepichne", zďaleka však nebude obsahovať niektorú zo strán rezu. Ak sa nám však podarí zistiť, kde má táto priamka prienik s rovinou podstavy kocky, tak tento bod (S) budeme môcť spojiť s bodom P, ktorý tiež leží v podstave.

Priesečník roviny a priamky (s ňou rôznobežnej) sa hľadá tak, že najprv priamku vnoríme do nejakej vhodnej roviny, nájdeme priesečnicu týchto dvoch rovín. Tá bude iste rôznobežná s danou priamkou a ich priesečník je hľadaným priesečníkom danej roviny a priamky.

V našej kocke sme priamku RQ preložili rovinou RQQ'. Je to rovina kolmá na podstavu. (Áno, Slnko nám zasvietilo zhora na kocku, ktorú sme položili na rovník...) Kolmými rovinami sa priamky v kocke prekladajú dobre, keďže v kocke sú pravé uhly doslova "na každom rohu"... :-)

Veterné turbíny

2010-04-27T12:47:00.018+02:00

Sčasu-načas si cestou z práce odbočím do rakúskeho Kittsee. Moja cesta vedie priamo popod veterné turbíny.

V pondelok fúkal celkom slušný vietor (cez 12 metrov za sekundu), takže sa točili ako divé. Čo presne znamená "ako divé"? Tiež ma to trápilo, tak som si spravil taký hrubý výpočet. Z diaľky vyzerajú veterné turbíny pokojne a štíhlo, pomaly a dôstojne sa otáčajú:

Keď však podídete k týmto skvostom rakúskej architektúry trocha bližšie, zbadáte, že sú to obrovské stavby. Tak napríklad, pozrite si túto fotku - keď si ju zväčšíte a prescrollujete naspodok, zbadáte, aký maličký je môj bicyklík...

Vráťme sa k tej rýchlosti. Vrtule, ktoré sa vrtia medzi Petržalkou a Kittsee majú priemer zhruba 66 metrov (preto sa ten typ aj tak volá: E-66). To znamená, že dráha, ktorú prejde koniec vrtule za jednu otáčku sa rovná obvodu kružnice s priemerom 66 metrov = 66.pí metrov, t.j. približne 207,35 metra. Podľa videa sa dá odmerať čas jednej otáčky - najlepšie je odstopovať niekoľko otáčok a potom vypočítať priemer, trochu tým zmiernime vlastnú nepresnosť pri spúšťaní a zastavovaní merania. Mne to vyšlo zhruba na nejaké 3,1 sekundy.

Rýchlosť konca listu vrtule získame ako podiel dráhy a času, teda 207,35 metra za 3,1 sekundy = 66,89 m/s = a to je neuveriteľných 240,8 km/h! Je to riadna rýchlosť, ale dá sa tomu uveriť, keď stojíte priamo pod vrtuľou a snažíte sa sledovať winglety na koncoch listov vrtule:

Na záver pár komentárov:
1. Hluk vrtúľ dosť pripomína štartujúce lietadlo.
2. V zime sa neodporúča chodiť príliš blízko k veterným turbínam, aby vás nezasiahol nejaký cencúľ, ktorý by z listov vrtule mohol odletieť.
3. V blízkosti veterných elektrární sa dajú na zemi nájsť kusy rozsekaných vtákov, ktoré vleteli do dráhy listom vrtulí.
4. V blízkosti veterných elektrární sa darí poľným zajacom, ktoré sa tam krásne vyhrievajú na slnku. Asi tam nelieta veľa dravcov:-)

Roztočený Geomag

2010-04-17T09:12:00.004+02:00

Pán učiteľ fyziky Peťo Horváth nám do kabinetu matematiky požičal hračku, o ktorej sa už písalo na Q.E.D. aj predbará.com. Poskladal som si z Geomagu 20-sten. Váži 240 gramov a asi by sa zmestil do gule s priemerom 8-10 cm. Ako som sa s ním tak hral, napadlo mi "zavesiť" ho pomocou ďalšej guličky a magnetu z tejto súpravy, a potom ho taký zavesený roztočiť:

Prekvapilo ma, že sa ten 20-sten točil pomerne dlho. Včera som si teda do školy zobral stopky a kameru... aby som vám dnes ponúkol takúto odhadovo-tipovaciu hádanku:

Ako dlho sa točil zavesený 20-sten z Geomagu? (Roztočil som ho len rukou.)

Hádať a tipovať môžete do štvrtkového (22.4.) večera - do polnoci. Kto tipne najpresnejšie, vyhráva litrovú Kofolu! Po vyhodnotení sem zavesím aj dôkazové video:-)

Priečka alebo os?

2010-04-11T20:27:00.004+02:00

S druhákmi sa teraz venujeme geometrii v priestore - stereometrii. Vzniká tu mnoho nových situácií, ktoré v rovine nepoznáme. Pre mnohých sú veľmi príťažlivou myšlienkou mimobežky - priamky, ktoré nemajú spoločný žiaden bod a pritom nie sú rovnobežné.

V súvislosti s mimobežkami sa definujú dva podobné pojmy - priečka mimobežiek a os mimobežiek. Priečka mimobežiek je ľubovoľná priamka (resp. úsečka), ktorá pretína obidve mimobežky. Je jasné, že k dvojici mimobežných priamok existuje nepreberne veľa priečok. Existuje však len jedna špeciálna priečka, ktorá je kolmá na obidve mimobežky. Táto sa nazýva os mimobežiek, a dĺžka úsečky, ktorú na osi tieto dve mimobežky vytínajú, sa rovná vzdialenosti mimobežiek.

Ja som si tieto dva pojmy hrozne dlho plietol, dokonca som raz kvôli priečke mimobežiek vyletel zo skúšky:-) Dôvod, prečo som si ich plietol by mal byť jasný z obrázku. Úplne vľavo je zobrazený rebrík. Nuž, rebrík má priečky. A priečky na rebríku zväčša určujú najkratšiu vzdialenosť medzi tými dvoma dlhými priamymi latkami rebríka. A navyše na slušných rebríkoch zvyknú tieto priečky byť kolmé na obidve tieto latky. To ma plietlo a stále ma to vracalo k presvedčeniu, že najkratšia úsečka spájajúca dve mimobežky sa tiež volá priečka...

Navždy si to správne zapamätať mi pomohol až vedúci mojej diplomovky, doc. Božek, ktorý mi vysvetlil, prečo sa os mimobežiek volá tak, ako sa volá. V skratke: "Volá sa to os mimobežiek preto, lebo je to os mimobežiek." :-) Os je priamka, podľa ktorej je nejaký objekt symetrický. Napríklad taká tvár môže byť symetrická (aj keď u naozajstných ľudí zvyčajne nie je). Spojnica stredu podstavy a vrcholu je napríklad osou symetrie kužeľa.

No a presne tak je to aj s osou mimobežiek. Keď sa na dve mimobežky pozrieme ako na jednu množinu bodov priestoru, tak táto množina je symetrická a jednou z osí jej symetrie je priamka, ktorú voláme - os mimobežiek:-) Navyše táto os je špeciálna ešte tým, že keby sme podľa nej mimobežky osovo zobrazili, zobrazila by sa každá z nich sama na seba.

Na záver hádanka pre predstavivosť: Majú ľubovoľné dve mimobežky ešte nejakú ďalšiu os symetrie? Viete popísať jej polohu?

Poznámka 12.4: Pripájam obrázok ku kukovmu riešeniu hádanky, ktoré nájdete v komentároch.

VOCAbuLarieS

2010-04-10T18:57:00.007+02:00

Bobby McFerrin konečne po siedmich rokoch vydal nový album. Vocabularies pôsobia eklektickým dojmom, je to žánrovo nezaškatuľkovateľná hudba - od jazzu a R&B cez world (a ľudovku) a gospel až po také tie filmové orchestrálne motívy. Album aranžoval Roger Treece, a mal čo robiť, zvuk je neskutočne navrstvený a napriek tomu krásne priezračný. Obsahuje viacero prerobenín starších pesničiek. Keď tak počúvam ten megalomansky vystavaný zvuk tohto CD, premýšľam ako veľa z tejto hudby vlastne vytvoril McFerrin, a koľko z toho urobil Treece. Mne Bobby McFerrin pripadá totiž geniálny skôr svojou radosťou, jednoduchosťou a spontánnosťou, a to sa prejavuje asi hlavne na jeho koncertoch. Ale aj tak nádherný album. Pekný je aj obal:

Potešilo ma hlavne slovenské slovo "Slovníčky", aj keď vzhľadom na to, že sa to rovnako povie aj po česky a v Čechách vystupuje McFerrin 5-krát viac ako u nás, tak asi to je myslené po česky :-)

PS: Ak sa vám nechce čakať, kým sa bude dať album získať v našich obchodoch, a mp3 z ajtjúnz sa vám zdajú príliš drahé, tak kliknite na tieto tri bodky, tešte sa z tej skvelej hudby a spytujte si svedomie... :-)

School fun III.

2010-04-01T14:20:00.006+02:00

V škole sa udeje veľa vtipných vecí. Dnes krátky výber situácií za ostatné 3 mesiace, ktoré mi pomáhajú pochopiť, prečo je väčšina starších stredoškolských učiteľov tak... hmm, no nazvime to vtipne cynických až mierne zatrpknutých.

Jeden môj žiak mi pol roka do písomiek vždy na spodný okraj papiera zvykol napísať: "Ja sa to doučím..." V ostatnom teste som si našiel iný, rezignovanejší odkaz: "Pán učiteľ, škoda, že ma nemôžete zažiť na nejakom inom predmete ako matika..."

Iná študentka zas do písomky k jednému príkladu napísala toto: "To by bolo nadlho, ale tipnem výsledok: ..."

Medzi moje obľúbené patrí aj výrok piatačky Niny, ktorá už vie, ako to v živote chodí. Vždy keď zasvietim v triede svetlá, ozve sa tónom, ktorý by som zaradil niekam medzi rozhorčený, prosebný a pobúrený: "Pán učiteľ, zhasnite, nech nám zas nezvýšia školné!"

Dosť častá otázka, ktorá prichádza v extrémnych prípadoch (stalo sa mi dvakrát) už 45 minút po dopísaní veľkej písomky: "Pán učiteľ, už to máte opravené?"

Môj najobľúbenejší zo zážitkov tohto typu sa odohral v deň, keď mi prváci vymysleli epitaf:

V lese stojí malý pníček,
pod ním zakopaný - Rasťo Halamíček.

(ospravedlňujem sa, že dnešný príspevok končím tak seba-stredne)

Poznámka 7. 4. 2010: Včera večer som opravoval nejaké písomky, a pobavil ma istý nemenovaný prvák Matej, ktorý sa rozhodol na okraj písomky rozohrať partiu piškvoriek: Glum vs. Smejágol. Tak som rozmýšľal, či to len bolo len tak, z čírej kratochvíle, a či azda to bol takto pekne - umelecky štylizovaný prejav vnútorného zápasu dobra a zla v ňom po tom, ako dopísal tú zákernú päťminútovku (na ktorú som milosrdne daroval až 12 minút, lebo obsahovala 9 príkladov...)

Chcete sa pekne poďakovať?

2010-03-30T20:19:00.005+02:00

...tak doprajte svojim blízkym na chvíľu tento úžasný pocit:

Ak ste z bilgymu, pozrite si toto video:
http://en.tackfilm.se/?id=1269965912856RA40

Ak ste z matfyzu (najlepšie z grafiky), kliknite sem:
http://en.tackfilm.se/?id=1269965325872RA65

Alebo si rovno spravte svoje tu.
Skvelý projekt, nie?

Poznámka: Musím ešte poďakovať kolegom Radovi a Slavovi, vďaka ktorým som sa o tejto zábavke dozvedel: vďaka!

Úloha z prijímačiek

2010-03-25T15:48:00.009+01:00

Dnes sme mali na škole prijímačky. Prijímačkový test obsahoval množstvo pekných úloh. Prekvapilo ma, že aj dosť veľa otázok z jazykov (slovenčina a angličtina) boli v podstate otázkami veľmi logickými. Ako keby ten test bol tak niečo medzi vedomostným testom a IQ testom.

Jednu otázku z matiky nevyriešil správne nikto zo skupiny 20 uchádzačov, pri ktorých som mal dozor. Vyskúšajte si ju (máte na to zhruba 2 minúty):

Sekretárka v istej firme vytlačila 4 listy určené 4 rôznym adresátom. Pripravila si 4 obálky s adresami, a potom do nich náhodne povkladala vytlačené listy (do každej obálky jeden list). Aká je pravdepodobnosť, že práve 3 listy sa dostanú do rúk správnym adresátom?

Pre čitateľov, ktorí sa už na strednej cítia bezpečne prijatí, prípadne aj doštudovaní a úloha im nerobí žiadne ťažkosti, pripájam ešte krátky komentár:

Mne táto hádanka pripomína problém dismutácií (derangement). Dismutácia je taká permutácia (preusporiadanie prvkov nejakého súboru), pri ktorom žiaden prvok nezostane na svojom mieste. Problém znie takto: aká je pravdepodobnosť, že náhodná permutácia súboru je dismutáciou a k akej hodnote sa táto pravdepodobnosť blíži, ak sa počet prvkov súboru blíži k nekonečnu? Inými slovami: Ak by mala sekretárka veľmi veľa listov a obálok a náhodne by ich poskladala a poposielala, aká je pravdepodobnosť, že nikto nedostane správny list? Čuduj sa svete, táto pravdepodobnosť sa s rastúcim počtom obálok a listov blíži k hodnote 1/e.

Jar

2010-03-22T17:15:00.008+01:00

Včera mal J. S. Bach okrúhle narodeniny (325 rokov). Vonku je krásne slnečno. V sobotu bola rovnodennosť (os rotácie Zeme na moment ležala v rovine kolmej na smer slnečných lúčov dopadajúcich na Zem a na celej Zemi trvala noc a deň rovnako dlho). Mojej manželke Miriam na balkóne vyrástli tulipány, ktoré tam na jeseň zasadila.

Jednoducho... prepukla jar. Prajem vám teda všetkým pekné dni, vytiahnite päty z domu von a tešte sa z krásnej prírody.

Ak si chcete jar predsalen vychutnať doma a máte odvahu, tak si pustite Stravinského úžasné Svätenie jari - presne takto tú jar prežívam ja :-) Ak budete pozorne počúvať, zistíte, že Stravinskij vymyslel taký ten známy hip-hopový rytmus - na timpanoch a bez loopov, 6:37 a potom znova 6:50 :-)

Abesínske násobenie

2010-03-17T16:23:00.009+01:00

Mám taký zvyk, že ak sa sčasu-načas vyskytnem okolnosťami prikvačený na nudnejšej schôdzke alebo prednáške, namiesto daromného civenia do stropu radšej zaostrujem svoje vnútorné oko na rôzne zábavné logické hádanky alebo matematické problémy, ktoré už dlhšie nahlodávajú moje sebavedomie:-)

Dnes som robil dozor na maturitnej skúške dvom slušným študentkám, ktoré dlho a pokojne vypĺňali odpoveďové hárky svojich testov. Keď už som vyplnil všetky tlačivká do poslednej čiarky, premyslel som si plány na vyučovanie na najbližšie dni a v linoleu som pomaličky začínal vyšľapávať cestičku, spomenul som si na peknú úlohu, ktorú som nedávno čítal vo výbornej knižke (Novoveský-Križalkovič-Lečko: Zábavná matematika), dovolím si ju zhruba reprodukovať:
Abesínske kmene násobia veľmi zaujímavým spôsobom. Činitele súčinu si napíšu vedľa seba. Potom prvého vydelia dvoma a výsledok delenia napíšu pod neho. Ak prvý činiteľ nie je deliteľný dvoma, zvyšok zanedbávajú. Napríklad pod číslo 15 by napísali 7. Túto procedúru opakujú, až kým sa v stĺpiku pod prvým činiteľom nedopočítajú k 1.

Potom vedľa, pod druhého činiteľa napíšu jeho dvojnásobok, dvojnásobok jeho dvojnásobku a tak ďalej, až kým pravý stĺpček nemá rovnako veľa riadkov ako ľavý stĺpček. Následne vyškrtajú všetky riadky, ktoré majú v ľavom stĺpci párne číslo. Nakoniec spočítajú nevyškrtané čísla z pravého stĺpca. Tento súčet je výsledkom pôvodného násobenia.

Vedeli by ste vysvetliť, prečo to funguje, prípadne dokázať, že takýto postup dá správny výsledok pre ľubovoľné dve prirodzené čísla?

PS: Na obrázku je ukážka, ako by Abesínci vypočítali, že 37 . 13 = 481
Mimochodom, neviete niekto, kto to vlastne tí Abesínci sú? Mohli by to byť možno Habesha people?

Magnetofónový pás

2010-03-08T20:28:00.009+01:00

Mám pocit, že je správne, aby som tu zverejnil malé svedectvo o minulosti. Hlavne pre mojich študentov, ktorí sa narodili už do viac-menej digitálnych čias. Toto je magnetofón:

(rozmery tej krabice sú asi 40x60 cm, priemer jedného kotúča asi 16 cm)

Takáto technika bola kedysi veľmi drahá a pre mnohých nedostupná. Zvuk bol nádherne zašumený a každým počúvaním sa kvalita zvuku zhoršovala, pretože sa mechanicky ošúchavala páska, na ktorej bol zvuk nahratý. Podobne aj platne sa časom drali, pretože sa z nich zvuk mechanicky "vyťahoval" pomocou ihly a tým ich zošúchaval.

Tá hnedá páska je nejaký jednoduchý materiál, ktorý je v podstate len akýmsi nosičom pre dôležitú tenučkú vrstvičku, ktorá sa dala zmagnetizovať. Z fyziky možno viete, že zmena elektrického poľa indukuje zmenu magnetického poľa a opačne. To znamená, že okolo kábla, v ktorom tečie prúd vzniká magnetické pole. Ale aj opačne - ak hýbeme magnetom okolo kábla, tak v ňom indukujeme elektrický potenciál. Na tom je založené dynamo na bicykli (ja viem, to už tiež dneska skoro nikto nepoužíva), alternátor v autách, veterné elektrárne a podobne.

Keď teda táto zmagnetizovaná páska prechádza okolo čítacej hlavy v magnetofóne, indukuje tam elektrický potenciál. Ten sa potom (samozrejme, nie je to také priamočiare :-) prenesie až k reproduktoru, kde zase zmena elektrického poľa indukuje zmenu magnetického poľa a tým rozkmitáva magnet, ktorý je pripevnený k membráne reproduktora. Membrána reproduktora sa potom podľa toho rozkmitá a to už je zvuk. Kmitanie vzduhu sa šíri ako kruhy na hladine, keď do jazera šupnete kameň, až kým tie kmity nedorazia k membráne vo vašom uchu (bubienok). Tam sa zase kmitanie membrány bubienka transformuje na elektrické potenciály, ktoré už mozog interpretuje ako zvuk a vy zrazu počujete.

Môže to znieť napríklad takto:

Pár slov k tomu, ako toto video vzniklo: Boli sme na návšteve Miriamkiných rodičov. Otec mojej manželky je technicky najzručnejší človek akého poznám a práve nedávno dokončil opravu tohto starého magnetofónu. Povymieňal v ňom všetky gumičky, ktoré prenášajú otáčky motorčekov vo vnútri a vymenil vypálený tranzistor. Nechápal som, ako vôbec zistil, ktorý tranzistor bol zlý - dozvedel som sa, že si študoval schémy a podľa príznakov poruchy to "vykoumal".

Tá stará nahrávka, to je koncert bigbítovej kresťanskej kapely, v ktorej on kedysi hral na gitare a spieval. Gitarové sólo, ktorým sa začína pesnička v 17. sekunde hrá on :-) Ešte sa trochu idem chváliť šikovnosťou môjho svokra: aj ten efekt na gitaru si vyrobil sám!

Vráťme sa ešte k magnetofónu. Dnes, keď si chcete pustiť nejakú pesničku, tak proste kliknete mp3 alebo zapnete CD a nastavíte stopu, ktorá vás zaujíma. S magnetofónovým pásom to bolo zložitejšie. Na takýto kotúč sa zmestilo dosť veľa hudby, ale keď ste si chceli pustiť tú vašu, nedalo sa to jednoducho "prekliknúť" - bolo treba pásku pretočiť. Na to slúžilo takéto počítadlo:

Keď bol pás na začiatku, počítadlo sa vynulovalo. Potom ste počúvali hudbu, a vždy ste si zapísali, pri akom čísle začína ďaľšia "stopa", pesnička. Keď ste si potom chceli pustiť niektorú konkrétnu nahrávku, pretočili ste pás pomocou tohto počítadla na potrebné miesto.

Ešte jednou zaujímavosťou je stereo. Na takýto pás sa dalo nahrávať stereo. Páska bola pozdĺžne rozdelená na dve stopy. Na jednu stopu ste nahrali jeden kanál, na druhú druhý. Pásy však boli drahé a tak bolo treba šetriť, preto sa dalo nastaviť, či sa nahráva a prehráva na obe stopy alebo len jednu. Keď ste nahrávali len na jednu stopu, tak to bolo, samozrejme, mono. Na tejto fotke vidíte, že sa prehráva len ľavý kanál, je to mono nahrávka.

To akú úžasnú kvalitu zvukového záznamu si dnes môže hocikto dopriať trebárs cez prestávku z mobilu na slúchadielka je neuveriteľné. Je to trochu zázrak, aká je reprodukovaná hudba v dnešných časoch dostupná.

Čo sa týka obsahovej kvality nahrávok, tak až o takom veľkom pokroku sa hovoriť, žiaľ, asi nedá :-)

Ďalšia bicyklová hádanka

2010-03-04T22:38:00.005+01:00

Mám rád bicykle (červené úplne najviac :-). Keď idete na bicykli v zákrute, pôsobí na vás odstredivá sila. Ak idete zákrutou rýchlo, musíte sa nakláňať dovnútra zákruty tak, aby výslednica tiažovej a odstredivej sily smerovala niekam pod vaše kolesá a nie mimo nich - to by ste sa "preklopili" a zleteli na zem. V tejto súvislosti mi napadla takáto fyzikálna hádanka:

Ako závisí veľkosť náklonu pri prejazde zákrutou od hmotnosti cyklistu?

Už to len upresním - náklon závisí od viacerých vecí - napríklad rýchlosti, sklonu cesty, ostrosti zákruty... Mňa nezaujíma nič iné, len závislosť náklonu od hmotnosti cyklistu. Predpokladajme, že cesta je vodorovná.

Takto to lieta

2010-02-22T19:45:00.003+01:00

Včera sme s bratom a s manželkou boli lietať. Miriam natočila toto videjko:

V lepšom rozlíšení to nájdete tu.

Logické spojky

2010-02-20T20:51:00.004+01:00

Tento týždeň sme mali na podnet druhákov seminár o logike.

Keďže ste ma mnohí veľmi pekne povzbudili ku komixom, tak som plagát s "reklamou" na tento seminár štylizoval tiež do komixovej podoby. Pomohol som si pritom jednou staršou úlohou, čo sa tu kedysi riešila. Toto z toho vzniklo:

Pod tým bol krátky text: "Pochopili ste vtip? Ak nie, ale chceli by ste, prídite na seminár o základoch matematickej logiky..."

Bystré otázky

2010-02-18T13:04:00.003+01:00

Mám rád, keď sa študenti na hodine pýtajú. Pokiaľ to nie sú zabité otázky typu "Kedy si môžem prísť dopísať písomku z minulého týždňa," uprostred riešenia nejakého zložitejšieho problému:-)

Za niektoré otázky v duchu študentom ďakujem, hlavne ak pohnú hodinu presne tým smerom, ktorým som zamýšľal ísť. Dodá to hodine viac spádu a motivácie.

Veľkú radosť urobia rôzne briskné otázky, hoci tie človeka vedia pekne zaskočiť. Napríklad, že prečo sa nepárna odmocnina nedefinuje aj pre záporné čísla. Prvák Maťo sa ma zas stále snaží presvedčiť, že delenie nulou je v poriadku, a že hocičo delené nulou dáva nekonečno. Argumentuje rôznymi fyzikálnymi vzorcami. Neviem ho presvedčiť ani grafom funkcie 1/x. Tento týždeň zabodovala aj študentka Saša - keď sme sa s prvákmi tak zľahka dotkli témy polynómov s jednou premennou, a ja som na tabuľu napísal klasickú všeobecnú definíciu, správne namietla, že to, čo som napísal predsa obsahuje oveľa viac, ako jednu premennú (je ich tam n+2).

Najviac ma ale v ostatnom čase potešila 7 ročná "Kikolína" z detskej družiny mojej manželky Miriam. Ako trieda boli spolu na vedeckej výstave. Najprv ich tam chlapík presviedčal, že na svete neexistujú dva rovnaké objekty. Že ani len tie matice, čo na páse vyrábajú v nejakej fabrike, nie sú rovnaké. Pretože všetky hmotné objekty sa skladajú z atómov a tie sú vždy trochu inak uložené a nikdy ich nie je rovnako veľa. O chvíľu mali deti priložiť ruku k trom predmetom (s rôznou vodivosťou tepla) a mali rozhodnúť, ktorý z objektov je teplejší/studenší. Sprievodca deti následne informoval, že všetky objekty majú presne 21°C. Na to sa ozvala Kika: "Ale veď ste vraveli, že žiadne dve veci nie sú rovnaké, ako teda môžu mať všetky tri rovnakú teplotu?".

Najčastejšie chibi

2010-02-15T17:16:00.006+01:00

Opravovanie rôznych písomiek ma cez víkend inšpirovalo k ďalšiemu komixu. Neberte to tak, že si robím srandu zo študentov, to vôbec nie. Skôr je to ponúknutá možnosť pozrieť si možné správne riešenia pre tých, ktorým sa tieto chyby stávajú často. Alebo to berte ako takú zábavku: "Nájdi aspoň štyri chyby v prvých štyroch obrázkoch." :-)

Ak sa Vám nedá obrázok v prehliadači otočiť, tak si môžete kliknúť aj na tento otočený obrázok:

Ak niekto náhodou vôbec netuší: to, čo má šedý okraj sú nesprávne postupy, tak to nerobte! To čo je hore nohami a má veselý zelený okraj, to je jeden z možných správnych postupov:-)

Hádanka o pneumatikách

2010-02-10T11:23:00.008+01:00

Nasledujúca bicyklová hádanka je adaptáciou jedného príkladu zo stredoškolskej zbierky úloh (Maxian, Hrdina, Burjan):

Na bicykli sa predná pneumatika zoderie po 3000 prejdených kilometroch. Zadný plášť sa ojazdí po 2000 kilometroch. Po koľkých kilometroch treba vymeniť predný plášť so zadným, ak chceme čo najviac oddialiť kúpu nových plášťov?

Svoje odpovede môžete zverejniť v komentároch. Hádanka pre malých súrodencov: Prečo sa zadná pneumatika zoderie skôr, dokonca aj keď brzdím rovnako veľa prednou ako zadnou brzdou?

Hello world!

2010-01-29T13:18:00.007+01:00

Od nedele máme doma tabuľu. Zohnal nám ju náš dobrý priateľ Lukáš. Mám z toho veľkú radosť, lebo už dávno som si prial mať doma bielu tabuľu. Jedna kolegyňa dokonca zapochybovala, či som do školstva nešiel iba kvôli láske k tabuliam.

S túžbou zvýrazniť slávnostnosť vovedenia tabule do našej obývačky som vyhlásil, že prvé slová na našej tabuli musia patriť Lukášovi. Aby som nemusel s inauguráciou čakať do jeho najbližšej návštevy, poslal mi takúto inštrukciu (mimochodom napísanú na jeho domácu tabuľu):

Dôkaz sporom

2010-01-13T17:21:00.001+01:00

Pri dôkaze iracionality druhej odmocniny z 2 sme opäť narazili na dôkaz sporom. Kliknite na obrázok, aby sa vám komix zobrazil v plnom rozlíšení:

Srnce a jelene

2010-01-04T14:12:00.008+01:00

Dnes sme boli s Miriam na prechádzke z Koliby na Železnú. Pri pohľade na popisy jeleňa a srnca na tabuľke náučného chodníka, ktorý tadiaľ vedie, mi napadla takáto hádanka:

Priemerný dospelý jeleň váži zhruba 200 kg. Priemerný dospelý srnec váži zhruba 21 kg. To znamená, že jeleň je asi tak 9,5-krát ťažší ako srnec. Ak srnec je v kohútiku vysoký približne 70 cm, aký vysoký by mal byť v kohútiku jeleň (predpokladajme, že majú podobnú stavbu tela)? Keďže je 9,5-krát ťažší, mal by snáď merať až okolo 665 cm? Prečo to tak nie je?

Inak, texty na tabuliach tohto náučného chodníka obsahujú dosť veľa prehreškov proti pravidlám slovenského pravopisu (o angličtine pomlčme a oceňme, že to tam je aspoň ako-tak). Tak schválne, skúste nájsť hrubku v texte o Bocianovi čiernom:

Hádanka o supertrampolíne

2009-12-29T23:09:00.010+01:00

Včera sme s manželkou navštívili našich milých známych. A keďže majú deti a záhradu, kúpili deťom do záhrady veľkú trampolínu. Tak som si prvýkrát v živote zaskákal na tomto zariadení. Bolo to skvelé.

Fungovanie trampolíny som si vysvetlil takto: keď vyskočím, a potom padám k zemi, mám určitú pohybovú energiu. Pri dopade na asfalt sa táto energia "rozplynie". Nezanikne, len sa premení na iné formy, najmä asi na teplo. Zohrejú sa moje svaly, ktorými brzdím dopad, deformujú sa tkanivá v mojom tele, zohreje sa trochu aj ten asfalt a moje topánky. Keď však dopadnem na trampolínu, energia môjho pohybu sa do trampolíny "uloží". To sa prejaví tým, že trampolína sa natiahne. Trampolína sa naťahuje a ja sa spomaľujem. V momente, keď je tramolína pekne vydutá smerom dolu a ja som zastavil, je všetka moja pohybová energia odovzdaná trampolíne. Na malý okamih sa svet zastaví.

Potom nasleduje druhá časť pohybu - trampolína mi začne odovzdávať späť energiu, ktorú som si do nej uložil, vytláča ma smerom hore, odkiaľ som na ňu pristál. Keď sa od trampolíny odlepím letiac hore, uložená energia sa mi vrátila. Letím smerom hore takou rýchlosťou, akou som na trampolínu pred chvíľkou dopadol! To znamená, že trampolína mi vlastne zadarmo pomohla otočiť smer môjho pohybu o 180°. Najlepšie na tom je, že z trampolíny sa nenechám len tak vymršťovať, ale pri každom odraze sa znovu a znovu odrážam aj nohami. Výsledok je taký, že sa dostávam stále vyššie a vyššie.

Samozrejme, v živote je máločo úplne zadarmo, a aj trampolína si za moju zábavu necháva zaplatiť. Trochu mojej energie si uchmatne pre seba. Je to spôsobené prinajmenšom dvomi obmedzeniami, ktoré má každá trampolína v našom fyzikálnom svete. Prvé: Časť energie trampolína pohltí. Keby som na trampolínu hodil kus dreva, po pár odrazoch nakoniec skákanie skončí a drevo bude ležať na zastavenej trampolíne. Neviem presne kam sa tá energia podeje, asi sa premení na teplo kvôli vnútornému treniu pri naťahovaní pružín. Druhé: Po niekoľkých odrazoch dosiahneme takú výšku, že pri dopade na trampolínu sa trampolína napne do svojej maximálnej efektívnej miery - viac energie už do svojich pružín uložiť nevie, už sú napnuté na maximum. To znamená, že vyššie sa už nebude dať vyskočiť. Keby sme na trampolínu dopadli predsalen z ešte väčšej výšky, asi by to bolelo, alebo by sa poškodila trampolína (prípadne by sme skončili dolámaní na pretrhnutej trampolíne). Toto si môžete ľahko overiť - naťahovaním pružinky z guličkového pera. Keď prekročíte určitú mieru, pružina sa už nevráti do pôvodnej polohy, ostane natiahnutá, "pokazená".

Napadla mi takáto hádanka: Predstavte si, že by výskumníci z NASA vyrobili supertrampolínu, ktorá by nemala ani jedno z týchto obmedzení. Teda by za každých okolností vracala presne 100% energie telesu, ktoré na ňu dopadlo. Ako vysoko by s takouto trampolínou dokázal vyskočiť bežne trénovaný človek (alebo hoci aj nejaký skvelý atlét)? Dalo by sa s jej pomocou vyskočiť vyššie ako 300 metrov? Dalo by sa vyskočiť až na Mesiac?

Som zvedavý, či objavíte nejaké horné obmedzenie.

Vianočné prianie

2009-12-22T12:07:00.000+01:00

Stredový a obvodový uhol

2009-12-12T18:06:00.011+01:00

Nestihli sme si na hodine dokázať vetu o vzťahu obvodového a stredového uhla. Týmto príspevkom by som chcel splatiť svoju podlžnosť. Aby nikto nebol na pochybách, pripomeňme si najmprv, o akých uhloch to hovorím.

Nech A a B sú ľubovoľné dva rôzne body ležiace na kružnici k. Tieto dva body rozdeľujú kružnicu na dva oblúky AB. Pokiaľ úsečka AB nie je priemerom kružnice, tak jeden oblúk AB je dlhší a druhý kratší. K ľubovoľnému z oblúkov AB prislúcha nekonečne veľa obvodových uhlov a jeden jediný stredový uhol.

Uhol AVB, ktorého vrchol V je bodom kružnice a jeho ramená prechádzajú krajnými bodmi oblúku AB nazývame obvodový uhol príslušný k tomu oblúku AB, ktorý v tomto uhle leží. (Na obrázku leží v uhle AVB kratší oblúk AB, preto je to o.u. príslušný ku kratšiemu oblúku AB.)

Ku každému oblúku AB prislúcha presne jeden stredový uhol ASB. Opäť hovoríme o uhle príslušnom k tomu oblúku AB, ktorý v tomto uhle leží. Vrchol S je stred kružnice.

Platí veta: Veľkosť stredového uhla je rovná dvojnásobku veľkosti obvodového uhla príslušného k tomu istému oblúku kružnice.

Dôkaz: Platnosť vety dokážeme pre uhly kratšieho oblúka AB (tak ako na obrázku). Obvodových uhlov príslušných k oblúku AB je nekonečne veľa. Ich vrcholy môžu ležať kdekoľvek na dlhšom oblúku AB. Rozmeňme si preto problém na drobné a dôkaz vyriešme pre tri rôzne možné typy pozícií vrcholu V.

i. Ak má vrchol V takú polohu na kružnici k, že stred S leží na jednom jeho ramene (na obrázku S leží na VA). Vtedy je dôkaz ľahký. Platí, že SV = SB, pretože obe úsečky sú polomery kružnice k. Trojuholník VSB je teda rovnoramenný. To znamená, že uhly pri jeho základni sú zhodné (na obr.: alfa). Stredový uhol ASB je vonkajší uhol trojuholníka VSB, a preto sa jeho veľkosť rovná súčtu uhlov pri zvyšných vrcholoch.ASB = 2.AVB

A to sme chceli dokázať. Stredový je dvojnásobok obvodového.

ii. Druhá situácia nastáva vtedy, ak je stred S vnútorným bodom obvodového uhlu AVB (ľavý obrázok). Vyzerá to zložitejšie, tu už žiadny rovnoramenný trojuholník na prvý pohľad nevidno. Ako to býva v matematických dôkazoch zvykom, stačí spraviť malý trik. Rozdeľme uhol AVB na dva menšie uhly AVS a SVB (pravý obrázok). Tým však vzniká situácia z bodu i., pretože tu máme dva obvodové uhly, pre ktoré platí, že stred S leží na ich ramenách. Takže podľa i. platí, že omega1=2.alfa1, omega2=2.alfa2. Sčítaním oboch vzťahov získame to, čo sme chceli. ASB = 2.AVB

iii. Najťažšia chvíľa príde vtedy, keď S leží mimo obvodového uhla AVB. Opäť spravíme fintu a doplníme si do obrázka ešte jednu polpriamku - VC. Vznikne nám tak ďaľší pár obvodových a stredových uhlov. K oblúku CB teraz prislúcha stredový uhol CSB, ktorý je dvakrát taký veľký ako obvodový uhol CVB, tiež podľa už dokázaného bodu i. Teda CSB = 2.CVB. Podobne pre oblúk CA platí CSA = 2.CVA. Odčítaním oboch vzťahov dostávame ASB = 2.AVB.

Ak ste sa cez tento text prehrýzli až sem, dôkaz pre uhly príslušné k dlhšiemu oblúku AB už zvládnete poľahky aj sami.

Poznámka: Dôkaz je spracovaný podľa vynikajúcej českej učebnice Matematika pro gymnázia: PLANIMETRIE, RNDr. E. Pomykalová, Prometheus 2008.

School fun II.

2009-12-09T15:13:00.004+01:00

Od septembra sa v škole udialo veľa vtipných vecí. Situačný humor sa síce nedá veľmi dobre zachytiť, ale aspoň pár dialógov, ktoré sa tu odohrali, napíšem:

Počas písomky sa jedna študentka spýtala na poradie riešenia úloh. Nestihol som zareagovať, lebo sa ozval niekto z chalanov:
- Musím začať od jednotky?
- Nie, len aby si neskončila s päťkou.

Keď sme preberali kritériá deliteľnosti a dostali sme sa k deliteľnosti číslom 11, nedalo mi, aby som nepredviedol čarovanie s rodnými číslami. Od určitého dátumu sa totiž na Slovensku (v Československu) vytvárajú štvorčíslia za lomítkom v rodnom čísle tak, aby celé r. č. ako jedno 10 miestne číslo bolo deliteľné 11. Pre niektorých prvákov to bol naozaj šok a boli priam ohúrení. Jedna prváčka svoje rodné číslo nepoznala, tak sme aspoň tých prvých šesť cifier jej r.č. "odvodili" z dátumu jej na rodenia a napísali na tabuľu. Tu zas niektorých chalanov prekvapilo, ako sa v dievčenských r. č. mení na tretej pozícii 0 na 5 a 1 na 6. Strhujúce pojednanie o rodných číslach nakoniec uzavrel jeden z chalanov, ktorý mi položil úprimne zadivenú otázku:
- Pán učiteľ, vy ste predtým ako ste začali učiť, robili v Sociálnej poisťovni?

Inak, neviete niekto náhodou, ako to celé s tou 11 a rodnými číslami vzniklo? Ja mám podozrenie, že to niekto vymyslel iba preto, aby učitelia matematiky mali v prvom ročníku na stredných školách čím zabávať svojich žiakov. Existuje takáto vec aj niekde mimo Slovenska a Čiech?

Kolegyňa bola tíšiť hluk v triede, kde meškal učiteľ:
- Čo máte mať za hodinu?
- Náboženstvo s Andrejom. Ale Boh vie, kedy ten príde.

Môj najobľúbenejší rozhovor sa odohral vo dverách do zborovne:
- Dobrý deň, je tam, prosím vás, pani učiteľka Troppová?
- Niet tu ani nohy.
- A nie sú tam ani nohy pani učiteľky Troppovej?

Zaujímavá bola tiež skúsenosť s reakciou na slovo "konečne". Človeku po matfyze toto slovo automaticky vyvoláva asociáciu s mohutnosťou konečných množín. Veľmi ma teda prekvapili pobavené tváre študentov, keď som na tabuľu napísal vetu: "Prvočísel je konečne veľa." Im to totiž znelo tak, ako keby ich ešte včera bolo málo. Ako keby to bol taký ten povzdych, že "no konečne..." Musel som to prepísať na "konečný počet".

Prečo listy žltnú a padajú na zem?

2009-11-27T13:40:00.009+01:00

Jeseň pani bohatá, farbí listy do zlata... zvykne na jeseň často recitovať moja babka. Anglický folklór má na účel prefarbovania listov a vytváranie ľadových kvetín na oknách postavičku Jacka Frosta.

Prečo sa na jeseň sfarbia listy do červena, do žlta a postupne popadajú na zem a zoschnú?

Pre väčšinu listnatých stromov je v zime nemožné získavať z pôdy dostatok vody na to, aby ňou zásobili listy, z ktorých by sa v suchom zimnom vzduchu rýchlo odparovala. Preto sa ich na jeseň zbavujú. Majú na to takýto mechanizmus: s príchodom jesene sa skracuje dráha Slnka po oblohe. Preto je cez deň menej svetla. Menej svetla znamená spomalenie procesov, ktoré normálne v listoch prebiehajú, a to stromom signalizuje, aby z listov "stiahli" cukor a proteíny, ktoré sú v nich uložené. Vtedy listy prestanú produkovať chlorofyl (to je tá zelená vec, vďaka ktorej vedia fotosyntézovať).

Keď sa z listov vytratí chlorofyl, stratia zelenú farbu a na povrch vypláva ich základná farba - žltá a červená, farba pigmentov založených na karotenoidoch. Tieto pigmenty sú v liste vždy, akurát v slnečných dňoch tieto farbivá prekryl zelený chlorofyl, takže ich nebolo vidieť.

Nakoniec nastúpi enzým, ktorý spôsobuje v liste odumretie tenkej vrstvičky buniek pri základni listu. Takáto tenká vrstvička mŕtvych buniek oddelí každý list od zvyšku stromu. Tá tenká odumretá vrstvička buniek je, samozrejme, veľmi krehká. Trocha vetru alebo dážď už potom list odlomí a pošle k zemi.

Na záver musím dodať, že toto nemám z vlastnej hlavy, ale z jednej z mojich najobľúbenejších knižiek. Asi za 5 korún som ju zhruba pred 10 rokmi kúpil v Levných knihách v českom preklade s názvom Když padají trakaře. Autor sa volá Jerry Dennis.

Small Worlds

2009-11-25T18:10:00.002+01:00

Ak ste aj vy chorí alebo unavení a chcete sa na chvíľu ponoriť do krásnych abstraktných svetov, zahrajte si "hru" Small Worlds. Vizuálne sa podobá na Pasáž, ktorú som tu raz spomenul. Aj na malé svety ma, samozrejme, upozornil slávny spolužiak Rišo a spolu s ním konštatujem, že hoci nemá Small Worlds až takú silnú myšlienku ako Pasáž, je tak krásne spracovaná, že patrí medzi hry, pri ktorých nemáte chuť prísť do cieľa, pretože ešte nechcete skončiť...

Konečne lietame!

2009-11-13T15:27:00.014+01:00

S láskavou podporou mojej dobrej manželky som si konečne (po dvoch rokoch snívania o lietaní) kúpil RC lietadlo. RC znamená radio-controlled, čiže na diaľkové ovládanie. Zážitok je to prekrásny. Včerajší západ slnka vyčaril takúto nádhernú atmosféru:

Dvojmetrový vetroň odlieta na západ:

Prázdne pole na konci Petržalky má dosť vysokú burinu na to, aby model prežil prípadnú haváriu. Niekoľkokrát som za tú burinu už v duchu ďakoval:-) Včera tu okrem môjho vetroňa pristálo a vzlietlo aj niekoľko bažantov!

V plnej kráse nad oblaky:

Poznámka: tieto fotky nafotil môj priateľ Rišo Š. z matfyzu a po kliknutí sa otvoria vo väčšom rozlíšení. Miriam sa podarilo natočiť pár pekných videí, keď budem mať viac času, dám sem z nich nejaký zostrih.

Dve zememeračské úlohy

2009-11-11T18:19:00.007+01:00

Samozrejme, nerátame len také abstraktné úlohy. Dnes sme napríklad počítali dva zememeračské príklady. Obidva patria medzi klasiku, ale pre väčšinu to bol aj tak prvovýstup, takže sme sa z nich tešili:

1. Ako ďaleko dovidieť za pekného počasia z Ďumbiera? Ďumbier, 2043 m. n. m., polomer Zeme 6378,1 km.

2. Aký veľký živý tvor by sa prekĺzol popod obruč, ktorá by bola navlečená okolo rovníka Zeme, ale mala by o jeden meter väčšiu dĺžku ako rovník?

Prvú úlohu sa niektorí pochybovači snažili zlikvidovať poznámkou o tom, že až tak ďaleko z Ďumbiera nedovidno, lebo sú tam Tatry...