Súčet kociek

Na Vianoce sme dostali 216 malých neodýmových (neodymium) guličiek. V originálnom balení sú guličky uložené v tvare kocky 6x6x6 guličiek. Miriam sa z nich podarilo poskladať tri menšie kocky so stranami 3, 4 a 5, no a keďže 3³+4³+5³ = 6³, tak žiadna gulička nezvýšila. Prirodzene z toho vzniká hádanka:

Koľko existuje takých štvoríc po sebe idúcich prirodzených čísel, že súčet tretích mocnín (kociek) troch menších z nich sa rovná tretej mocnine najväčšieho? Svoje tvrdenie dokážte.

Sto čísel v obálke

Mali sme dnes v škole takú súťaž na štýl Jeopardy. Pri jednej z otázok z matiky nebolo dosť času precítiť správnu odpoveď, preto ju pre prípadných záujemcov uvádzam tu:

V obálke je sto lístočkov. Na každom lístočku je jedno prirodzené číslo od 1 do 100, každé práve raz. Koľko lístočkov musíme prinajmenšom z obálky naslepo vytiahnuť, aby sme mali úplnú istotu, že sme medzi nimi vytiahli aj dve také čísla, ktorých rozdiel je deliteľný 7?

K správnej odpovedi sa dá dopracovať napríklad takto: Predstavme si, že slepá náhoda nie je vôbec slepá, ale že je naopak, veľmi manipulatívna a zákerná. Vašu ruku šikovne navádza tak, aby čo najviac oddialila moment, v ktorom si vytiahnete číslo, ktoré s niektorým už vytiahnutým tvorí rozdiel deliteľný 7. Ako by to prebiehalo? Predstavme si, že ako prvé si vytiahnete číslo, ktoré po delení 7 dáva zvyšok 1. Z rozumných dôvodov ho pomenujme 7a+1. Teraz náhoda nesmie dovoliť, aby druhé číslo bolo napr. 7b+1, pretože (7b+1) - (7a+1) = 7(b-a). V skutočnosti je to naozaj tak, že ak má byť rozdiel dvoch čísel deliteľný 7, musia tieto dve čísla samé o sebe dávať rovnaký zvyšok po delení 7. Nech je teda druhé číslo rovné napr. 7b+2. Tretie 7c+3. Ďalšie by mohli byť 7d+4, 7e+5, 7f+6, 7g. Z týchto siedmich sa naozaj nedá vybrať dvojica, ktorej rozdiel by bol deliteľný 7, vždy ostane nejaký zvyšok. Ak však teraz vytiahneme ôsme číslo, zákerná náhoda už nemá šancu - číslo s ľubovoľným zvyškom po delení 7 totiž môžeme dať do páru s príslušným číslom s rovnakým zvyškom z už vybraných siedmich - zvyšky sa odrátajú a je to.

Samozrejme, skutočná náhoda nie je zákerná, ale ľahostajná a preto - keby sme pokus robili naživo, zrejme by sa nám vo väčšine opakovaní pokusu podarilo vytiahnuť dvojicu skôr, než v ôsmom ťahu. Po ôsmom ťahaní však budeme mať dvojicu čísel s rozdielom deliteľným 7 zaručene vždy, v každom prípade.

Pravda o existencii Santa Clausa

Dnes taký už trochu vianočný príspevok. Text o existencii Santa Clausa napísal môj žiak a poprosil ma, aby som ho sem zavesil:-)

Program Zero Seminar na december

Toto nás čaká do Vianoc:

Pripájam zopár fotiek z dneška - takéto skvelé veci sme dnes videli (Aspergillus):

Koľko asi tak váži slon?

V prvom balíčku adventného kalendára, ktorý mi Miriam nachystala som si našiel okrem sušeného ovocia aj malý lístoček. Nebolo na ňom žiadne vianočné zamyslenie, ani biblický veršík, ale asi 7 odhadových úloh (a keďže mám rád odhady, veľmi ma to potešilo). Do práce som odchádzal síce polohladný, ale s príjemným uvedomením, že ročne je moje telo prepláchané zvnútra asi desiatimi hektolitrami vody a že v živote som určite nevidel viac ako pol milióna rôznych ľudí...

Nestálo by to za zmienku (veď, koho už len trápi, čo som mal na raňajky...), keby som sa k odhadom dnes zhodou náhod nedostal znova - piataci sa pred seminárom sporili, aký ťažký môže byť taký priemerný slon. Druhá priama výzva k odhadom v jeden deň, to je fakt šťastie.

Nie je to ťažká úloha, ak máte chuť, skúste si to!

(Môžete skúsiť napríklad najprv odhadnúť rozmery slona, pomôže vám ak si ho načrtnete, aby ste mali tie odhady proporčné... potom zvážte priemernú hustotu slona - podobne ako človek je asi hlavne z vody, čiže kilogram na liter, no a potom ho aproximujte napríklad vhodným kvádrom alebo valcom...) Nám odhad vyšiel na 4,8 tony. To bolo radosti, keď sme na answers.com našli vetu : "It is mostly dependent upon the species of elephant that your are referring, however the average weight of an adult African Elephant is 4.6 Tons."

Sodík, chlorečnan draselný a parafín

Včera som mal veľkú radosť - na Zero Seminari rozprával kolega M. Košuth o rôznych spôsoboch ako sa dá vyrobiť oheň. V tomto krátkom videu je zostrih rôznych experimentov, ktorými sme sa včera zabávali.



Len stručne: part I., sodík je alkalický kov, v čistej forme veľmi reaktívny napríklad aj s vodou - z molekuly vody vytlačí jeden vodík a s OH skupinou vytvorí super žieravú zásadu hydroxid sodný (výborne tým vyčistíte napríklad upchatý sifón a odpadové potrubia, lebo rozkladá mastnotu). Keď hodíte kus sodíka do zohriatej vody, odchádzajúci vodík dokáže vzplanúť. Zaujímavá je otázka, prečo sa ten vodík sám zapáli (bez škrtnutia zápalky)?

part II., chlorečnan draselný sa rozpadá na chlorid draselný (neškodná soľ, používa sa aj v liečivách alebo potravinách) a čistý kyslík. Čistý kyslík výborne horí. Keď do skúmavky, ktorej atmosféra je plná kyslíka vložíte tlejúcu špajlu, znovu sa rozhorí. Keď to preženiete, dá sa roztopiť skúmavka :-)

part III., parafín. Najnepochopiteľnejší z včerajších experimentov a pri tom najjednoduchší z hľadiska použitého materiálu - obyčajná sviečka. Skúmavka s vriacim voskom pri ponorení do studenej vody praskne a zo skúmavky vyletí horúci obsah, ktorý vo vzduchu zhorí. Zaujímavé otázky: Prečo sa parafín vo vzduchu opäť sám vznieti? Prečo vyletí do vzduchu?

x^(1/x)

Minulý piatok sme sa s priateľom Lukášom a bratom Radom dostali k veľmi peknému problému. Rozmýšľali sme o funkcii x tej odmocniny z x. Vedel som, ako približne vyzerá jej graf. Pomerne ľahké je ukázať, že maximum funkcia naozaj nadobúda pre e. Zaujímavá je otázka, kam by klesala krivka, keby sme sa pozreli trochu "viac doprava". Pomerne rýchlo sa dá uveriť, že limita tejto funkcie pre x idúce do nekonečna bude 1 (skúste si na kalkulačke zrátať napríklad tísícu odmocninu z tisíc...).

Zvyšok večera nám vyplnilo šialené hľadanie inflexných bodov. Keďže v okolí nuly vyzerá krivka konkávne a v maxime konvexne, nejaký inflexný bod musí ležať medzi nulou a e. No a keďže v limite nesklesá k mínus nekonečnu, ale k jednotke, tak ďaľší inflexný bod musí ležať aj napravo od e. Rovnice, ktoré sme dostávali po druhom zderivovaní sme proste nevedeli vyriešiť. Inflexné body našiel Rado s pomocou výpočtovej sily svojho laptopu, ale analyticky sme riešenie vyjadriť nedokázali.Otázka pre vyspelejších matematikov: Viete sa k tým inflexným bodom nejako vyjadriť? Dá sa rovnica f''(x) = 0 nejako analyticky vyriešiť, alebo sa treba uspokojiť s tými numerickými riešeniami?

Na záver ešte jedna filozoficko matematická hádanka pre vyspelých matematikov: Keď sme sa snažili nájsť to analytické vyjadrenie inflexných bodov, môj brat intuitívne tipol e+e^1/2, čo sa od jedného z inflexných bodov líši len o maličký kúsok. To je len náhoda, alebo sa ten inflexný bod dá nejako tak podobne vyjadriť?

Suchý ľad

Neviem ako vám, ale mne "oxid uhličitý" znie tak trochu ako "teroristický útok" alebo "tragická udalosť". Oxid uhličitý (chudáčik) je totiž skleníkový plyn a tak sa na jeho adresu môžete dopočuť veľa kritiky. My sme sa na Zero seminari skúšali zamýšľať nad tým, či je CO₂ aj na niečo dobrý. Nuž, keby ho odrazu nebolo, tak príroda nemá ako ukladať do našich potravín teplé slnečné lúče, z ktorých máme energiu, keď sa najeme (fotosyntéza a dýchanie), takže na niečo dobrý asi predsa len bude. A ešte sme sa rozprávali o stromoch "zakorenených" do vzduchu, naučili sme sa, ako sa zlepšiť v zadržiavaní dychu až na 200% bežného výkonu (hrozí pritom odpadnutie... z toho dôvodu sme nezadržiavali dych všetci na seminári, ale len niektorí), a o iných magických veciach.

S tuhým oxidom uhličitým je navyše úžasná zábava. Teplota -78°C je hrozivá, ale nikomu sa nič nestalo, dalo sa s ním pracovať celkom smelo - suchý ľad v podobe malých peliet je celkom bezpečný. Ak sa dostane k pokožke, veľmi rýchlo sa vplyvom vlhka a tepla okolo studenej pelety nasublimuje vankúšik, ktorý vás spoľahlivo odizoluje. Napriek tomu, jesť by som ho neodporúčal.

Hra Logik a jej rôzne modality

Klasická dosková hra pre dvoch. Na západe sa volala Super Mastermind, v Československu sa vyrábala zo škaredého šedého plastu a mala názov LOGIK. Pravidlá sú na wikipédii uvedené takto:

"Na začátku hry jeden z hráčů skrytě umístí pod stříšku libovolnou kombinaci pěti barevných kolíčků, přičemž stejná barva se může opakovat vícekrát. Druhý hráč se tuto kombinaci snaží uhodnout tím, že vytváří kombinaci pěti kolíčků na hádacích řadách na hrací desce. První hráč každý jeho pokus vyhodnotí pomocí hodnotících kolíčků následovně:

* za každý hrací kolíček, který hádající hráč umístil ve správné barvě na správné místo, přidá černý kolíček;
* za každý hrací kolíček, který hádající hráč umístil ve správné barvě, ale na špatné místo, přidá bílý kolíček.

Hádající hráč neví, za který hrací kolíček byly přiděleny hodnotící kolíčky.

Hra končí, když hádající hráč uhodne kombinaci (vítězný pokus je tedy ohodnocen plným počtem černých kolíčků, počet se může lišit podle verze hry), popř. když spotřebuje všechny řady na hrací desce, aniž by kombinaci uhodl.

Hráči si pak vymění role a hra pokračuje. Vítězem se stane hráč, který k uhodnutí potřeboval méně pokusů."


My jednu starú súpravu LOGIKa doma máme a tak sa ho občas s Miriam hráme. Keď mi Miriam asi pred mesiacom kúpila nové LEGO, tak sme namiesto tej starej československej súpravy hrali s LEGOvými kockami.

Mňa na hre LOGIK fascinujú rôzne modality v akých sa dá hrať. Moja žena dobre rozumie farbám a občas aj abstraktným konceptom nejakým spôsobom priraďuje farby, proste myslí farebne. Vždy ma v klasickom LOGIKovi nabije, väčšinou uhádne moju kombináciu na 4 ťahy (hráme s 5 kolíčkami z 8 farieb bez opakovania). Ja farbám nerozumiem, nemyslím farebne a s klasickým LOGIKom sa trápim vždy aspoň 7 ťahov. Tento týždeň sme skúsili plasty vymeniť za pero a papier a farby za číslice. Konečne som vyhral na 4 ťahy aj ja. A pritom z hľadiska zložitosti problému to bola rovnaká úloha ako vo farbách (použili sme päťčíslia z číslic 0-7)! Ponaučenie: moja žena má rada farby, ja mám rád čísla. Preto sa ona venuje arteterapii a ja učeniu matematiky :-)

Veľmi zaujímavá je verzia, ktorú zas vymyslel môj brat. Namiesto kombinácie číslic, či farieb si prvý hráč vyberie nejaké päťpísmenové podstatné meno. Druhý hráč potom háda - tiež s pomocou platných podstatných mien. V tejto modalite je LOGIK ideálnou hrou na dlhú cestu vlakom, pretože sa dá hrať celkom dobre z hlavy. K tejto verzii moja Miriam vymyslela zaujímavú hádanku: "Vymyslite takú kombináciu slovenských nevlastných päťpísmenkových podstatných mien, aby vám vyhodnotenie tejto kombinácie slov stačilo na uhádnutie akéhokoľvek hádaného slova v slovnej verzii hry LOGIK."

Ešte sa popýšim, že jej sa podarilo vymyslieť takú 13 slovnú kombináciu.

Poznámky.
Na mathworlde je o hre pekne napísané.

Naše štvorťahové výherné partie sú tie šťastnejšie, určite to nie je naša priemerná dĺžka hry, to by sme s tým inde machrovali:-) Neviem, aké sú momentálne najlepšie algoritmy na 5-kombinácie z 8, každopádne pre jednoduchšiu verziu 4-kombinácií zo 6 je to niečo okolo 4,5 ťahu.

The Zero Seminar

Toto je pozvánka pre študentov bilgymu:

Hádanka o výťahu

Často k nám príjdu na návštevu priatelia. Vchod do domu sa nedá otvoriť z bytu, preto musíme ísť každého návštevníka vpustiť a potom zas vypustiť. To sa človek načaká na výťah...

Hádanka o výťahu
V Petržalke je veľa vysokých bytoviek. Predpokladajme, že žijete v osemposchodovom paneláku. Všetci susedia, okrem tých z prvého používajú výťah vždy keď niekam idú, aj keď sa vracajú domov. Susedia sú taký generický šedý priemer a všetci chodievajú von zhruba rovnako často. Výťah sa pohybuje rýchlosťou jedného poschodia za štyri sekundy. Obyvatelia ktorého poschodia sa v priemere načakajú najmenej? Koľko sekúnd?

Zaujímavé by mohlo byť vyriešiť úlohu aj vo všeobecnosti - pre n poschodí.

Samozrejme, ten úvodný problém s otváraním vstupnej brány pre návštevy sme vyriešili inak...

Butánový sušič riadov