Pravidelné mnohosteny

S druhákmi sa venujeme stereometrii a padla reč aj na pravidelné konvexné mnohosteny. V skratke povedané - mnohosten je teleso, ktoré je ohraničené rovinnými mnohouholníkmi - teda je to také "hranaté" teleso, nemá žiadne "vyguľateniny", ale samé pekné rovné steny a "ostré" hrany.

Pravidelný mnohosten má navyše za všetky svoje steny zhodné pravidelné mnohouholníky a ešte je aj tak pekne symetricky usporiadaný, že keby ležal na stole, a ja by som ho vo chvíľke vašej nepozornosti vzal do rúk, pootáčal a potom položil naspäť na to isté miesto, nerozoznali by ste, že som mnohostenom točil.

Najbežnejší konvexný pravidelný mnohosten je kocka (tá finta s točením platí len na kockách s rovnako nafarbenými stranami a bez bodiek :). Konvexných pravidelných mnohostenov (niekedy sa nazývajú aj Platónske telesá) však existuje viac. Čo je však zaujímavé, neexistuje ich neobmedzene veľa, ako je to napríklad pri pravidelných mnohouholníkoch. Platónskych telies existuje len 5 typov (viď obrázok).

Prečo je to tak a ako sa to dá dokázať? O tom bude najbližší seminár pre študentov bilgymu, už tento štvrtok.

SOOZVUK

Potešil som sa, keď som si dnes v mejli našiel pozvánku na tri koncerty, ktoré pripravil SOOZVUK. Ak vás zaujíma, ako znie silná súčasná slovenská hudba, príďte si vypočuť...

Diera v kocke

V mojej obľúbenej českej učebnici som dnes natrafil na peknú hádanku:

Je možné vytvoriť v kocke taký otvor, ktorým by prešla kocka s hranou rovnakej dĺžky?

Je celkom zábavné skúšať si to predstaviť, a ešte zábavnejšie skúšať to nakresliť.

Bobby McFerrin v Ostrave

Cez víkend sme s Miriam navštívili Ostravu. Boli sme sa pozrieť na koncert Bobbyho McFerrina.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/Bobby_McFerrin_photo_by_Szaniszlo_Ivor.jpg

Bol to fantastický zážitok. Nebolo to pre nás už také magické, ako keď sme Bobbyho zažili na koncerte v Bratislave prvý raz, to kúzlo tajomného šamana sme tentokrát asi až tak neprežívali. Skôr to bol taký priam domácky pocit - aha, živý Bobby McFerrin na pódiu, to je páradička, znova!

Veľmi sa mi páčilo vystúpenie Bobbyho spolu s Danom Bártom, ktorý na chvíľu prišiel na pódium. Na druhej strane, trochu nás otravovalo, že prišiel aj Roger Treece a spolu so zborom a McFerrinom spievali pesničky z nového albumu VOCAbuLarieS. Spievali to totiž celé z nôt a nemalo to ten nádych spontánnosti a improvizácie, kvôli ktorej sa predsa na McFerrinove koncerty chodí:-)

Nemá zmysel veľa o Bobby McFerrinovi rozprávať. Treba ho proste počúvať. Pre inšpiráciu teda pridám pár videí:




Alebo toto:



A keby ste sa niečo podobné chceli naučiť robiť aj vy, tu je pár tipov:-)

Ako urobiť dobrý odhad?

Budúci štvrtok sa budeme na seminári zaoberať dobrým odhadovaním. Je to úžasná téma, a myslím si, že sa dá osvojiť si zopár trikov a myšlienok, s ktorými budeme schopní mnohé problémy odhadnúť oveľa lepšie ako keby sme odhad len tak "cucali z prsta".

K tejto téme som sa dostal tak, že som sa snažil pochopiť, čo je vtipné na tomto xkcd komixe. To ma priviedlo k fyzikovi menom Enrico Fermi, no a teraz nadšene čítam knižku Guesstimation. Moja drahá Miriam to ešte celkom dobre znáša, ale dávam jej zabrať: väčšinou keď mi v ostatných dňoch niečo rozpráva, môj rozostretý pohľad smeruje 10 cm severozápadne za jej hlavu a premýšľam, že aká dlhá línia by sa dala vytvoriť, keby sa pospájali všetky jej vlasy...

Rezy kocky

Dnešný príspevok je venovaný hlavne mojim druhákom z bilgymu.

Rezom kocky je zvyčajne mnohouholník, ktorý je prienikom danej roviny a danej kocky. Na tomto mnohouholníku sú najzaujímavejšie jeho strany. Tie totiž zviditeľnujú, kde presne daná rovina kocku "rozrezala". Čiže, keď študujeme rezy kocky, tak sa zaoberáme hlavne prienikom nejakej (danej) roviny a stien kocky.

Samozrejme, rezom kocky môže byť v špeciálnych prípadoch aj niečo iné ako mnohouholník - napríklad úsečka alebo bod. (Úloha pre mojich študentov: no vážne, skúste sa nad tým zamyslieť a vymyslieť také zadanie, aby nastala takáto situácia!)

Nasledujúce tri vyriešené príklady by mali pokrývať všetky triky, ktoré sme sa pri rezoch naučili:

V prvom príklade sa "nič zvláštne" nedeje. V prvých dvoch krokoch sme pospájali dané body určujúce rezovú rovinu. Úsečky, ktoré tak vznikli ležia v stenách kocky, a teda sú stranami rezu. V treťom a v piatom kroku sme využili vetu o tom, že dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina v dvoch rovnobežných priesečniciach. Toto je veľmi užitočná veta pri hľadaní rezov - strany rezu ležiace v protiľahlých stenách kocky sú vždy rovnobežné.

Druhý príklad je o kúsok ťažší a okrem finty s rovnobežnosťou strán rezu (kroky 6 a 9) sme využili vetu, ktorá tvrdí, že ak máme dané tri roviny, z ktorých sú každé dve rôznobežné a všetky tri roviny majú spoločný bod, tak potom sa v tomto bode pretínajú aj všetky tri priesečnice týchto rovín.

Pre istotu to doplním. Priamka KL leží v rovine spodnej podstavy kocky. Každý bod na priamke KL je bodom rezovej roviny a zároveň roviny spodnej podstavy kocky. Čiže je ich priesečnicou. Priamka CB je zas priesečnicou roviny spodnej podstavy a roviny pravej steny kocky. Pretože obidve priesečnice ležia v rovine podstavy, tak vzniknutý priesečník R1 nie je len fiktívny "akože-priesečník" dvoch mimobežiek premietnutých do 2D, ale je to naozajstný priesečník dvoch rôznobežných priamok. No a keďže je to priesečník priamok KL a BC, tak tento priesečník má okrem iného aj dve krásne vlastnosti: leží v rovine pravej steny kocky a leží v rovine rezu. Preto ho môžeme spojiť s bodom M a pokračovať...

Posledný príklad sa síce tvári zložito, ale nie je to nič hrozné. Problém, ktorý môže nepripraveného bežného občana vydesiť je v tom, že žiadne dva body určujúce rezovú rovinu neležia v jednej rovine určenej niektorou zo stien kocky.

Keď spojíme body R a Q, vznikne nám priamka, ktorá kocku "prepichne", zďaleka však nebude obsahovať niektorú zo strán rezu. Ak sa nám však podarí zistiť, kde má táto priamka prienik s rovinou podstavy kocky, tak tento bod (S) budeme môcť spojiť s bodom P, ktorý tiež leží v podstave.

Priesečník roviny a priamky (s ňou rôznobežnej) sa hľadá tak, že najprv priamku vnoríme do nejakej vhodnej roviny, nájdeme priesečnicu týchto dvoch rovín. Tá bude iste rôznobežná s danou priamkou a ich priesečník je hľadaným priesečníkom danej roviny a priamky.

V našej kocke sme priamku RQ preložili rovinou RQQ'. Je to rovina kolmá na podstavu. (Áno, Slnko nám zasvietilo zhora na kocku, ktorú sme položili na rovník...) Kolmými rovinami sa priamky v kocke prekladajú dobre, keďže v kocke sú pravé uhly doslova "na každom rohu"... :-)