Je to spravodlivé?

Každý učiteľ občas musí vyvolať študenta, ktorý bude odpovedať. Niekedy má rozumné dôvody nevyberať náhodne>:-) Častokrát sa však náhodne vyberať snažíme. Rôzni učitelia k tomuto problému pristupujú rôzne. Ja si zvyčajne študentov očíslujem a potom nechám pracovať náhodu zo stránky random.org. Niektorí k tomu pristupujú inak, radšej pomlčím o mojej učiteľke zo ZŠ, ktorá hádzala z výšky na katedru pero - na katedre ležal otvorený menný zoznam študentov a na koho to pero padlo, ten išiel odpovedať (jej postup mal trochu bližšie k hľadaniu aproximácie π než k spravodlivému výberu študenta:-).

Široko-ďaleko najzaujímavejší spôsob však používa naša americká kolegyňa. Dozvedel som sa o ňom preto, lebo študentom sa nezdal byť spravodlivý (a na prvý pohľad ani mne). Pani angličtinárka vyberá študentov takto: Žiakov je v triede 17. Na začiatku hodiny si pani učiteľka zvolí ľubovoľné nešťastné číslo od 1 do 17. Potom vytiahne klobúk s kartičkami, na ktorých sú čísla 1-17. Následne sa začne prechádzať pomedzi študentov a ponúka ich kartičkami. Študent, ktorý je na rade, si naslepo vytiahne kartičku - ak je na nej nešťastné číslo, ide odpovedať. Ak nie, kartičku si necháva a zo zvyšných kartičiek v klobúku si naslepo vyberajú ďalší.

Je takýto systém spravodlivý? Intuícia mi našepkáva, že by som si ťahal z klobúka radšej neskôr ako skôr. Keď si to však prepočítame, zistíme, že intuícia zase raz zradila:

Aká je pravdepodobnosť, že pôjde odpovedať študent, ktorý ťahal z klobúka ako prvý? Nuž, v klobúku je 17 čísel, iba jedno je nešťastné, teda pravdepodobnosť, že si to zlízne prvý je:

OK, a čo druhý ťahajúci v poradí? Odpovedať by išiel, ak by si vytiahol ono jedno nešťastné číslo spomedzi ostávajúcich 16. To celé však je možné len za podmienky, že si nešťastné číslo už nevytiahol prvý študent:


Tretí študent ide odpovedať iba ak si vytiahli niečo iné ako nešťastné číslo prví dvaja. On ťahá už iba z 15 kartičiek. Keď však súčin zlomkov upravíme (krásne sa tam vykrátia čitatele s menovateľmi nasledujúcich zlomkov), opäť nám vyjde rovnaká pravdepodobnosť, ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch!



Takto to ide až po posledného:



Tak kontraintuitívne, ako sa to len môže zdať - naozaj je teda jedno, či si ťaháte ako prvý alebo ako posledný, šanca, že pôjdete odpovedať je stále rovnaká. Kto ale pozná naše americké lektorky, ten tuší, že by sa neuchyľovali k fintičkám, ktoré nie su metodicky v poriadku a až taký prekvapený nie je:-)

Poznámka: Keď už sme tu spomenuli konštantu π, prečo nespomenúť aj inú konštantu, e. Keby si zakaždým ťahali čísla všetci študenti, bolo by nesmierne zaujímavé sledovať, koľkým študentom sa úspešne podarilo vytiahnuť číslo, ktoré sa rovná ich poradovému číslu pri vyťahovaní kartičiek z klobúka. Teda, prvý by bol úspešný, ak by si vytiahol jednotku, siedmy by bol úspešný, ak by si vytiahol sedmičku, a podobne. Smutným pokusom by sme nazvali také ťahanie z klobúka, v ktorom sa nikomu zo všetkých 17 študentov nepodarilo vytiahnuť si svoje poradové číslo. Pri veľkom počte opakovaní tohto pokusu by sa relatívna početnosť smutných pokusov blížila k hodnote 1/e.