A práve tá mriežka je zaujímavá. Aj keď skutočná prax sa schematizmu nedrží do bodky, mriežka vzniká približne takto:
A teraz hádanka. Akú časť plochy koláča prekrýva mriežka, ak presne dodržíme takýto postup? Ako táto plocha závisí od počtu pásikov, na ktoré plátok cesta rozkrájame? (Predpokladajme, že pásiky sú rovnako široké.)
4 komentáre:
Pekná úloha, ale v skutočnosti o málo zákernejšia, ako bolo zamýšľané ;-)
Pokiaľ je počet pásikov párny, stačí mrežovník dvakrát preložiť napoly, raz vodorovne a raz zvislo... a odpoveď bude zrazu štyrikrát jasnejšia a nikdy sa nezmení :-)
Pokiaľ je však počet pásikov nepárny, vychádza z toho pekne tyčkatý výpočet. V týchto prípadoch tvorí plnka o trochu väčšiu časť ako pri párnom počte. Tento rozdiel s rastúcim počtom pásikov klesá a v nekonečne skonverguje k nule.
Ďakujem, Gooberova návšteva ma vždy poctí, ale protestujem, tá zákernosť nebola nezamýšľaná, veď som sa tu s tým nepárnym prípadom doma pri tabuli pekne vytrápil :-)
Mne sa práve preto tá úloha tak veľmi páči - je o koláči, čo je samo o sebe super, časť úlohy má odmeňujúco pekné riešenie, ale navyše je v nej aj zádrheľ, ktorý si na prekonanie asi vyžaduje buď riadnu drinu alebo nejaký super skill - dokázať sa mi to už nepodarilo...
Jediný krôčik, ktorý by mohol byť užitočný mi napadol - ak by bol koláč štvorcový a rozkrájaný na nepárny počet pásikov, dá sa tá konvergencia k 1/4 pekne dokázať. No a možno by sa k tomu dalo teraz nejako matematicky krajsie dopovedať, že "ak so šírkou pásikov ideme limitne k nule, tak tie okrúhle kúsočky, ktoré mätú výpočty a ktoré činia rozdiel medzi štvorcom a kruhom vpodstate zaniknú"? A teda aj pre kruh je to 1/4...
Tak to som veru nečakal, že to bolo plánované :-)
Môj dôkaz konvergencie k 1/4 sa tiež zakladá na myšlienke, že "vnútri to vychádza 1/4 a okraj nie je až taký podstatný". Obrázkovo je to o dosť jednoduchšie na predstavenie, ale slovný opis je pomerne škaredý :-)
Vyzerá to takto: Koláč s N pásikmi sa dá predstaviť ako kruh vpísaný do štvorčekovej siete pozostávajúcej z NxN štvorčekov, z ktorých niektoré sú zafarbené (napríklad tie, ktoré sú súčasne v nepárnom riadku a párnom stĺpci).
Nakreslime teraz doňho menší kruh -- taký, že zhora a zľava si dáme rezervu jeden pásik a zdola a sprava to budú pásiky dva (taktne sme predpokladali, že N je aspoň 5). Tento menší kruh nám rozdelí koláč na "vnútro" a "okraj".
Vnútro má jednu dobrú vlastnosť -- je to tiež mrežovník, ale na rozdiel od celého koláča, tento pozostáva z párneho počtu pásikov. Ajhľa, môžeme uplatniť zistenie o jednej štvrtine! Keďže malý kruh je tvorený (N-3) pásikmi, jeho plocha je (1-3/N)^2-násobkom plochy celého koláča a presne štvrtinu z nej tvorí plnka.
Celková plocha plnky v koláči je teda minimálne takáto. Zvyšná plnka sa musí zmestiť do "okraju" (časť koláča mimo malého kruhu), a tak si vieme spraviť aj horný odhad plnkovej plochy.
Keď si to dáme dokopy, dostaneme horný a dolný odhad na podiel plnky v koláči. No a ako sa ľahko ukáže, tieto dva odhady oba konvergujú k 1/4.
Goober, ďakujem za pekne dotiahnuté riešenie. (Musel som si to prečítať trikrát, kým som si v hlave vedel dobre nakresliť ten obrázok:-)
Zverejnenie komentára