Záruby

Minulý víkend sme boli s mojimi študentami na Zárubách. ...lebo až keď si človek prejde najvyšší vrch Malých Karpát, má plné právo vychutnávať si príjemné prechádzky po ich mäkkých nižších svahoch
:-)

Moja obľúbená kniha o odhadoch predo mňa postavila túto otázku: O koľko sa zmenila moja potenciálna energia tým, že som sa vyštveral na tento kopec? A k čomu by sa táto energia dala prirovnať?

E_p = m.g.h

V tomto konkrétnom prípade m=75kg, g=10 m.s^-2, h=600m. Záruby sú síce trochu vyššie, ale nezačínali sme od nuly. 600 m bolo celkové stúpanie počas nášho výletu (parádny plánovač cesty nájdete tu). Teraz stačí dosadiť do vzorca a dorátať:

E_p = 75.10.600 = 450 000 J, tj 450 kJ.

Koľko to je? Je to veľa alebo málo? Nuž, na bežnej Horalke zo Sedity sa dočítame, že 100 g obsahuje 2190 kJ. Nárast potenciálnej energie pri vylezení na Záruby teda v mojom prípade bol menší než je nutričná energetická hodnota obsiahnutá v polovici 50 gramovej Horalky. To vyzerá byť strašne málo.

Alebo inak, J=W.s, a teda by sme mohli túto energiu prirovnať k svieteniu žiarovky. Z tohto uhlu pohľadu 450 kJ je energia, ktorú "spáli" 60 Wattová žiarovka asi za 2 hodiny.

Blíži sa koniec školského roka

Ku koncu roka prichádza u niektorých rodičov k zvláštnemu zlomu vnímania školy: z inštitúcie, ktorú väčšinu roka brali ako Bezúdržbovú bejbisitingovú agentúru sa odrazu stáva Známkovacia spoločnosť, s hodnoteniami neuveriteľnej váhy a celoživotným dopadom na ich deti, ktoré sú však v tom celom nespravodlivo podhodnocované a "niečo sa s tým určite musí dať urobiť".

Veta o výškach a stranách v trojuholníku

Včera mi jeden študent poslal mejlom takéto tvrdenie:

V ľubovoľnom trojuholníku ABC platí:


kde a, b, c, v_a, v_b, v_c sú dĺžky strán a k nim prislúchajúcich výšok.

Tvrdenie sa dá úplne triviálne priamo dokázať s využitím elementárnej aritmetiky a geometrie. Vedeli by ste tvrdenie dokázať aj nejako krajšie - napríklad obrázkom?

Kam sa pohne loďka?

Na Zero seminari sme sa minulý týždeň okrem iného rozprávali o rôznych možnostiach, ako sa dá zostrojiť jednoduché plavidlo. Keď sme brainstormovali o možnom type pohodnu, napadla komusi šialená myšlienka postaviť na kormu jednoplachtovej lode ventilátor:





Čo by sa stalo s takouto loďkou na pokojnej hladine za bezveterného dňa po zapnutí ventilátora? (Šípka naznačuje, že ventilátor fúka vzduch smerom k plachte.) Nie je to také triviálne, tak si pre istotu uveďme možnosti:


a. loďka sa pohne v smere šípky
b. loďka sa pohne smerom opačným ako naznačuje šípka
c. loďka sa nepohne, ostane na mieste.


No, čo myslíte? :-)

Je to spravodlivé?

Každý učiteľ občas musí vyvolať študenta, ktorý bude odpovedať. Niekedy má rozumné dôvody nevyberať náhodne>:-) Častokrát sa však náhodne vyberať snažíme. Rôzni učitelia k tomuto problému pristupujú rôzne. Ja si zvyčajne študentov očíslujem a potom nechám pracovať náhodu zo stránky random.org. Niektorí k tomu pristupujú inak, radšej pomlčím o mojej učiteľke zo ZŠ, ktorá hádzala z výšky na katedru pero - na katedre ležal otvorený menný zoznam študentov a na koho to pero padlo, ten išiel odpovedať (jej postup mal trochu bližšie k hľadaniu aproximácie π než k spravodlivému výberu študenta:-).

Široko-ďaleko najzaujímavejší spôsob však používa naša americká kolegyňa. Dozvedel som sa o ňom preto, lebo študentom sa nezdal byť spravodlivý (a na prvý pohľad ani mne). Pani angličtinárka vyberá študentov takto: Žiakov je v triede 17. Na začiatku hodiny si pani učiteľka zvolí ľubovoľné nešťastné číslo od 1 do 17. Potom vytiahne klobúk s kartičkami, na ktorých sú čísla 1-17. Následne sa začne prechádzať pomedzi študentov a ponúka ich kartičkami. Študent, ktorý je na rade, si naslepo vytiahne kartičku - ak je na nej nešťastné číslo, ide odpovedať. Ak nie, kartičku si necháva a zo zvyšných kartičiek v klobúku si naslepo vyberajú ďalší.

Je takýto systém spravodlivý? Intuícia mi našepkáva, že by som si ťahal z klobúka radšej neskôr ako skôr. Keď si to však prepočítame, zistíme, že intuícia zase raz zradila:

Aká je pravdepodobnosť, že pôjde odpovedať študent, ktorý ťahal z klobúka ako prvý? Nuž, v klobúku je 17 čísel, iba jedno je nešťastné, teda pravdepodobnosť, že si to zlízne prvý je:

OK, a čo druhý ťahajúci v poradí? Odpovedať by išiel, ak by si vytiahol ono jedno nešťastné číslo spomedzi ostávajúcich 16. To celé však je možné len za podmienky, že si nešťastné číslo už nevytiahol prvý študent:


Tretí študent ide odpovedať iba ak si vytiahli niečo iné ako nešťastné číslo prví dvaja. On ťahá už iba z 15 kartičiek. Keď však súčin zlomkov upravíme (krásne sa tam vykrátia čitatele s menovateľmi nasledujúcich zlomkov), opäť nám vyjde rovnaká pravdepodobnosť, ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch!



Takto to ide až po posledného:



Tak kontraintuitívne, ako sa to len môže zdať - naozaj je teda jedno, či si ťaháte ako prvý alebo ako posledný, šanca, že pôjdete odpovedať je stále rovnaká. Kto ale pozná naše americké lektorky, ten tuší, že by sa neuchyľovali k fintičkám, ktoré nie su metodicky v poriadku a až taký prekvapený nie je:-)

Poznámka: Keď už sme tu spomenuli konštantu π, prečo nespomenúť aj inú konštantu, e. Keby si zakaždým ťahali čísla všetci študenti, bolo by nesmierne zaujímavé sledovať, koľkým študentom sa úspešne podarilo vytiahnuť číslo, ktoré sa rovná ich poradovému číslu pri vyťahovaní kartičiek z klobúka. Teda, prvý by bol úspešný, ak by si vytiahol jednotku, siedmy by bol úspešný, ak by si vytiahol sedmičku, a podobne. Smutným pokusom by sme nazvali také ťahanie z klobúka, v ktorom sa nikomu zo všetkých 17 študentov nepodarilo vytiahnuť si svoje poradové číslo. Pri veľkom počte opakovaní tohto pokusu by sa relatívna početnosť smutných pokusov blížila k hodnote 1/e.

Autom alebo na bicykli?

Inšpirovaní knižkou Guesstimations sme sa na Zero Seminari venovali tomuto:

Cesta do práce trvá na bicykli hodinu. Na aute trvá 30 minút. Auto sa teda javí byť efektívnejším dopravným prostriedkom ako bicykel. Čo ak ale pripočítame k času cestovania autom aj čas, ktorý strávime zarábaním na náklady spojené s touto cestou? Samotný čas skutočného fyzického cestovania sa tým nezmení, ale "efektívna priemerná rýchlosť" cestovania áno. Ak by malo zarábanie na túto polhodinovú cestu autom trvať viac ako 30 minút, malo by v tomto konkrétnom príklade zmysel začať uvažovať o výmene auta za bicykel :-)


Pokúsme sa teda vypočítať skutočnú efektívnu priemernú rýchlosť auta, berúc do úvahy nielen čas cestovania, ale aj čas strávený zarábaním na toto cestovanie (ktorý je vlastne venovaný cestovaniu).

Priemerná rýchlosť v = celková dráha s / (celkový čas cestovania t_c + celkový čas zarábania na cestovanie t_z)

Celkovú dráhu sme odhadli na 300 000 km - toľko zhruba môže mať najazdené auto, ktorého sa už bežne ľudia zbavujú. Celkový čas cestovania sa dá dorátať, ak odhadneme priemernú rýchlosť auta v premávke. Zohľadňujúc mestské aj medzimestské cestovanie sme túto priemernú rýchlosť odhadli na 50 km/h. Najazdiť 300 000 km teda zoberie 300 000 / 50 = 6 000 hodín cestovania. Teda t_c = 6 000 hodín.

Dorátať čas zarábania na cestovanie je komplikovanejšie, my sme sa pokúsili na to ísť cez odhad celkových nákladov, pričom sme v úvahách rátali s tým, že kupujeme nové auto a tých 300 000 na ňom najazdíme za 8 rokov:

Nové auto = 15 000 e,
Povinné poistenie = 150 e/rok, teda za osem rokov 1 200 e,
Havarijné poistenie prvé tri roky = spolu 1 500 e,
Benzín: 8 l/100 km, cena benzínu 1,5 e / l, teda celkové náklady na benzín sú 3 000 . 8 . 1,5 = 36 000 e,
Údržba: ročne aspoň 500 e = 4 000 e

Určite sme na kopec vecí zabudli a iste sme neodhadli niektoré položky veľmi presne, takisto sme nerátali s pokutami, lebo my sme slušáci - celkové náklady na auto sú teda zhruba 60 000 eur. Koľko čistého času práce si vyžaduje takýto mastný zárobok? Čistý hodinový zárobok sme odhadli na 5 eur (t.j. okolo 800-900 e čistý mesačný plat). To znamená, že na používanie nášho auta sme potrebovali v práci stráviť t_z = 12 000 hodín, čo je dva-krát viac než sme strávili samotnou jazdou autom! To je celkom sila, na hodinu jazdy autom teda treba dve hodiny pracovať.

Celková "efektívna priemerná rýchlosť" auta teda je v = s / (t_c + t_z) = 300 000 / 18 000 = 16,7 km/h, čo je úplne pohodová rýchlosť bicykla, hoci aj s piknikovým košom plným vecí na kormane :-)

Švagor Samo ma upozornil, že podobnú úvahu len s iným dopravným prostriedkom a pešou chôdzou namiesto bicykla už pred asi 150 rokmi riešil H. D. Thoreau:

One says to me, "I wonder that you do not lay up money; you love to
travel; you might take the cars and go to Fitchburg today and see the
country." But I am wiser than that. I have learned that the swiftest
traveller is he that goes afoot. I say to my friend, Suppose we try
who will get there first. The distance is thirty miles; the fare ninety
cents. That is almost a day's wages. I remember when wages were sixty
cents a day for laborers on this very road. Well, I start now on foot,
and get there before night; I have travelled at that rate by the week
together. You will in the meanwhile have earned your fare, and arrive
there some time tomorrow, or possibly this evening, if you are lucky
enough to get a job in season. Instead of going to Fitchburg, you will
be working here the greater part of the day. And so, if the railroad
reached round the world, I think that I should keep ahead of you; and
as for seeing the country and getting experience of that kind, I should
have to cut your acquaintance altogether.

Je dobré zvážiť, či sa nám auto oplatí a možno začať viac používať bicykel. Na obhajobu auta zas treba povedať, že situácia sa výrazne mení, ak v aute necestujete sami, alebo ak do úvah pridáme situácie, keď v aute prevážame veľké náklady, alebo si jednoducho priznáme cenu pohodlia, ktorú sme ochotní zaplatiť. No a ešte jeden pohľad - auto síce naozaj nemá nejakú hrozne veľkú "efektívnu priemernú rýchlosť", ale umožňuje vám lepšie si rozmyslieť alebo určiť relatívne kratší čas samotného fyzického presunu. To môže byť veľmi užitočné napríklad keď veziete manželku do pôrodnice.

Poznámka: Tu som naďabil na zaujímavú štatistiku, v sekcii Cost počítajú "efektívnu priemernú rýchlosť" auta; odtiaľ som prevzal aj toto pomenovanie.

Do takéhoto televízora by som pozeral hodiny

Nedávno som zavítal do UPCčka, konal sa tam Náboj. Kým študenti súťažili, čítal som si knižku a podchvíľou hľadel do telky, ktorú tam mali - do takej telky by som hľadel celé hodiny (aj keď trochu by to chcelo vyčistiť a vymeniť vodu):

Otázka za 2 body

Dnes som dal tretiakom do písomky takúto hádanku:

Existuje taký trojuholník a taká osová súmernosť s osou neprechádzajúcou vrcholom tohto trojuholníka, v ktorej by sa dva vrcholy tohto trojuholníka zobrazili na tretí vrchol? Ak áno, načrtnite.

Ako sa ukázalo, najväčšou príťažou nebola ani tak samotná otázka, ako skôr fakt, že otázka bola za 2 body (18 bodová písomka). Niektorí si povedali: "Ak by bola odpoveď nie, nedával by za to 2 body...," a do konca písomky hľadali, kreslili a trápili sa.

Je to zaujímavá a poučná situácia z kategórie psychologických vplyvov na riešenie matematických problémov.

PS: Je správne alebo nesprávne, že študenti zapájajú takýto typ úvah pri riešení úloh? Niečo cenné na tom možno je, ale aj tieto úvahy treba používať rozumne a kriticky. A tak dám nabudúce do písomky otázku za 3 body: Vymenujte korene rovnice x²-4=0 alebo otázku za 4 body: popíšte všetky možné vzájomné polohy priamky a roviny v priestore :-)

Ako som do T-Comu volal...

Potreboval som nedávno čosi vybaviť, tak som zavolal na service line spoločnosti, od ktorej máme doma pevnú linku:



Aby som T-Comu príliš nekrivdil, musím povedať, že ak nezvolíte žiadnu z možností, tak vás to po čase prepojí k živému operátorovi. Ale ten pocit frustrácie, keď vám milý ženský hlas neúprosne opakuje, čo máte postláčať a vy len zúfalo vytáčate...

Fotky z Írska

Dnes je Saint's Patrick day, ideálna chvíľa na zverejnenie pár fotiek z nášho výletu do Írska za naším priateľom Romanom (on je aj autor všetkých fotiek, kliknutím načítate v plnom rozlíšení).

Najmocnejšie zážitky boli na brehoch Atlantického oceánu. Vidieť, ako sa trieštia masy vody o ostré bralá vzbudzovalo bázeň. Pobehať si po piesku v studenej slanej vode bolo zas neskutočne príjemné.
Na Diamond hill v národnom parku Connemara fúkal príšerne silný vietor, bolo ťažké rovno stáť.
Ale kvôli fotke sa to dalo chvíľu vydržať aj bez budny.
Keďže Íri kvôli chovu oviec vyklčovali takmer všetky lesy, krajinu väčšinou pokrývajú rozsiahle pasienky a rašeliniská. Po rašeline sa dosť zle chodí, z diaľky vyzerá ako nevinná trávička, ale zabárajú sa do toho nohy. Roman nám rozprával pár svojich zážitkov ako sa brodil po kolená v rašeline. Na navštevovaných miestach sú preto vytvorené takéto spevnené chodníky.
Dramatické scény...
...zjemňovali všade prítomné čokoládové guličky. Nenápadní svedkovia rozšírenosti írskych ovečiek. Inak o tie ovce sa tam vraj ľudia veľmi nestarajú. Majitelia si ich označia a vypustia na svojich pozemkoch a o pol roka si prídu po mäso. Ovce pôsobia dojmom takých polodivokých zvierat. Typické sú asi skôr roztrúsené voľne žijúce ovečky, nie košiare ako na Slovensku.

IQ test: ktorá je slaná a ktorá sladká? :-)
The Giant's Causeway v Severnom Írsku je veľká atrakcia. Na brehu oceánu tam nájdete asi 4x10⁴ takýchto čadičových stĺpov a vyzerá to fakt pekne. Na wiki si môžete prečítať viac o mechanizme akým tieto zaujímavé lávové útvary vznikli.

Zvláštna náhodnosť vĺn. Pozeral som asi na 20 vĺn, ktoré dorážali k tomuto brehu, aby som odhadol, ako najnižšie a najbližšie sa dá posadiť k vode. A potom nás takmer spláchlo, lebo 21. vlna bola o kúsok vyššia:

Zadanie #2

Príbeh s ružovou obálkou pokračuje. Ako dokumentuje obrázok, dostal som ďalšie zadanie spolu s odmenou (lahodný čierny čaj značky Julius Meinl :-).
Tu sú odpovede:
A. Nie
B. Keďže odpoveď na A. je "nie", otázka B. je teraz už irelevantná.

Podrobnejšia odpoveď:

Vysvetlime si, prečo nie je možné zostaviť rozvrh, ktorý by Radovana donútil sedieť v škole na všetkých hodinách, ktoré by mal navštevovať. Radovan navštevuje len hodiny, ktoré má rád (tých je 7), prípadne tie, ktoré musí (2 = jedna chémia a jedna biológia). V škole ostane, pokiaľ medzi dvoma hodinami, na ktoré beztak chodí sú prinajhoršom dve hodiny, ktoré sú mu ukradnuté.

Keby sme úlohu maximálne pritiahli za uši v prospech riešiteľnosti, mohli by sme si to celé zjednodušiť tak, že Radovan v škole ostane dokonca aj cez noc, pokiaľ medzi poslednou zaujímavou hodinou v jednom dni a prvou zaujímavou hodinou v druhom dni nie sú viac ako dve nezaujímavé hodiny. Tým sa trochu zjednodušia výpočty a zvýši šanca na zostavenie rozvrhu, ale, žiaľ, aj tak je to málo:

9 navštevovaných hodín Radovana donúti sedieť najviac na ďalších 8*2 nudných hodinách (vypĺňajúcich medzery medzi zaujímavými hodinami), prípadne 9*2, ak by v škole nocoval aj cez víkendy... To je prinajlepšom 9 + 18 = 27 vyučovacích hodín. Radovanovo kurikulum pozostáva z 32 hodín, teda nie je možné zostaviť rozvrh tak, aby ostal v škole celý čas.


Ďakujem za úlohu aj za čaj:-)

Bobby McFerrin

Zajtrajší Zero Seminar bude venovaný oslave narodenín môjho obľúbeného speváka Bobbyho McFerrina. Oslavovať budeme najmä počúvaním ukážok z jeho tvorby.


Pre študentov, ktorí končia piatou hodinou bude čakanie na začiatok seminára spríjemňovať počítanie príkladov na tému zobrazení v rovine a dokončenie jedného minulotýždňového experimentu s peroxidom vodíka, takisto v miestnosti 24 od 13:10.

Peroxid vodíka

Na ostatnom Zero Seminári sme sa hrali s peroxidom vodíka. Väčšina experimentov bola o tom, ako dostať z peroxidu kyslík rýchlo von a pritom sa s ním aj trochu zabaviť. Spravili sme si niekoľko klasických demonštrácií:

Duch vo fľaši (peroxid vodíka + manganistan draselný)


Pokus s modrou skalicou a peroxidom


Elephant's toothpaste, aj keď to v skutočnosti pripomínalo čosi iné, keďže sa z toho tak mierne parilo...



No a na záver sme vylepšovali už tradičnú raketu na etanolový pohon tým, že sme atmosféru vo fľaši vymenili za plynný kyslík, ktorý sme získali z peroxidu. Plameň nehorel namodro, ako zvyčajne, ale na červeno.



foto: Michelle Hanzelová,
video: Leila Belmechri