Lukáš mi včera poslal hádanku:
1, 2, 4, 8, 16, ?, ?, ?, ?, 256, ...
Klasické zadanie - aké čísla by mali byť na miestach s otáznikmi? Ako bude postupnosť pokračovať?
Skúste sa s tým trochu pohrať. O pár dní sem napíšem niečo k riešeniam a pekne bez servítky poviem, čo si o takýchto úlohách myslím :-)
štvrtok 3. októbra 2013
utorok 1. októbra 2013
Škola zhora
Vypustiť balón naplnený héliom do stratosféry, nechať ho spraviť pár fotiek matičky Zeme, a potom ho pohľadať niekde v zarastených medziach pri Komárne, alebo ešte lepšie na nejakom zalesnenom úbočí v národnom parku... to by bolo skvelé. Chcelo by to ale investíciu rádovo v stovkách eur, kvalitné plánovanie a niekoľko hodín času. Raz sa na to dám.
Zatiaľ iný odľahčený projekt - navyše taký, čo sa celý dá stihnúť za 1 hodinu. Minulý piatok sme si na Zero seminári vlastnými silami vyrobili vodík. Žiadne bezzubé hélium z obchodu, inertný neškodný plyníček. Horľavý, ľahučký vodík, ako v bájnych vzducholodiach. Naplnili sme ním v priebehu 45 minút tri 60 litrové vrecia. Tajomstvo k takejto rýchlej produkcii je v chémii - nie hydrolýzou, ale chemickou reakciou - kyseliny chlorovodíkovej s hliníkom (super návod).
Potom už len pripnúť 50 metrový špagát, kamerku a išlo sa nad strechy:
Tu si môžete pozrieť viac fotiek.
Potom už len pripnúť 50 metrový špagát, kamerku a išlo sa nad strechy:
Tu si môžete pozrieť viac fotiek.
streda 11. septembra 2013
Jednoduchšie riešenie
Vždy, keď nechám študentov na hodine samých počítať nejaký nový príklad bez návodu, otvára sa tým možnosť pre dva veľmi protichodné javy. Na jednej strane sa priam zákonite v triede po pár minútach začnú objavovať ľudia, ktorí to vzdajú. Proste bez jasnej inštrukcie/návodu, pociťujú bezradnosť a príklad nedoriešia. A na druhej strane sa pomerne často objavia ľudia, ktorí príklad vyriešia inak, než by som ho "vzorovo" vyriešil ja.
Občas sú alternatívne študentské riešenia oveľa geniálnejšie než spôsob riešenia, ktorý som mal v pláne ukázať. Tak napríklad - včera sme riešili, ako sa dá elementárnou trigonometriou zrátať v akej výške nad vodnou hladinou sa týči vrchol majáku. Poznáme výškové uhly, pod ktorými vidno vrchol majáka z dvoch bodov na hladine a poznáme aj vzdialenosť týchto bodov:
Nechal som študentov počítať samých. Pripravené riešenie som mal také štandardné - treba dvakrát použiť tangens, získať dve rovnice s 2 neznámymi, a tie potom už nejako dorátať:
Strašne som sa potešil, že jedna študentka, ešte nepokazená mojimi výkladmi si všimla, že práve rozloženie uhlov v tejto úlohe je veľmi výnimočné - doplnením susedného uhlu k tomu 60° a dorátaním zvyšného vnútorného uhlu v trojuholníku našla (napriek neproporčnosti zadaného obrázka) rovnoramenný trojuholník...
...a teda riešenie je triviálne, jednoriadkové.
Toto sú pre mňa v škole najkrajšie chvíle.
Občas sú alternatívne študentské riešenia oveľa geniálnejšie než spôsob riešenia, ktorý som mal v pláne ukázať. Tak napríklad - včera sme riešili, ako sa dá elementárnou trigonometriou zrátať v akej výške nad vodnou hladinou sa týči vrchol majáku. Poznáme výškové uhly, pod ktorými vidno vrchol majáka z dvoch bodov na hladine a poznáme aj vzdialenosť týchto bodov:
Strašne som sa potešil, že jedna študentka, ešte nepokazená mojimi výkladmi si všimla, že práve rozloženie uhlov v tejto úlohe je veľmi výnimočné - doplnením susedného uhlu k tomu 60° a dorátaním zvyšného vnútorného uhlu v trojuholníku našla (napriek neproporčnosti zadaného obrázka) rovnoramenný trojuholník...
...a teda riešenie je triviálne, jednoriadkové.
Toto sú pre mňa v škole najkrajšie chvíle.
streda 28. augusta 2013
Little Boxes
Pri príležitosti blížiaceho sa začiatku školského roka mi nenapadá nič trefnejšie než americká folková speváčka Malvina Reynolds (originál je tu):
Little boxes on the hillside,
Little boxes made of ticky tacky
Little boxes on the hillside,
Little boxes all the same,
There's a green one and a pink one
And a blue one and a yellow one
And they're all made out of ticky tacky
And they all look just the same.
And the people in the houses
All went to the university
Where they were put in boxes
And they came out all the same
And there's doctors and lawyers
And business executives
And they're all made out of ticky tacky
And they all look just the same.
And they all play on the golf course
And drink their martinis dry
And they all have pretty children
And the children go to school,
And the children go to summer camp
And then to the university
Where they are put in boxes
And they come out all the same.
And the boys go into business
And marry and raise a family
In boxes made of ticky tacky
And they all look just the same,
There's a green one and a pink one
And a blue one and a yellow one
And they're all made out of ticky tacky
And they all look just the same.
Little boxes on the hillside,
Little boxes made of ticky tacky
Little boxes on the hillside,
Little boxes all the same,
There's a green one and a pink one
And a blue one and a yellow one
And they're all made out of ticky tacky
And they all look just the same.
And the people in the houses
All went to the university
Where they were put in boxes
And they came out all the same
And there's doctors and lawyers
And business executives
And they're all made out of ticky tacky
And they all look just the same.
And they all play on the golf course
And drink their martinis dry
And they all have pretty children
And the children go to school,
And the children go to summer camp
And then to the university
Where they are put in boxes
And they come out all the same.
And the boys go into business
And marry and raise a family
In boxes made of ticky tacky
And they all look just the same,
There's a green one and a pink one
And a blue one and a yellow one
And they're all made out of ticky tacky
And they all look just the same.
utorok 16. júla 2013
Možno najdivnejší futbalový zápas v dejinách
Rado Harman na svojom blogu nedávno napísal: "Normálni chlapi sa v rámci oddychu rozprávajú o futbale, matematici si dávajú hlavolamy," nad čím by som sa obyčajne spokojne usmial, pretože aspoň v tejto veci mám bližšie k matematikom ako k normálnym chlapom. Ale práve teraz som čítal o jednom futbalovom zápase v knihe, ktorú napísal teoretický fyzik a matematik z University of Cambridge a tak si vravím - keď je dobrá zápletka, aj matematici sa pobavia futbalom.
Zápletka spočíva v systéme bodovania zápasov v rámci turnaja. Rôzne ligy a turnaje skúšajú podporiť atraktivitu hry rôznym oceňovaním výhier, remíz a prehier. Bežným systémom je udeliť víťaznému tímu 2 body, porazeným 0 bodov a v prípade remízy obidvom tímom po bode. Na podporenie útočnej hry sa začalo v niektorých súťažiach bodovať víťazstvo 3 bodmi.
Pomerne extravagantný vynález sa ale objavil v roku 1994 v Karibskom futbalovom pohári. Zaviedlo sa tu totiž pravidlo o zlatom góle - ak padne víťazný gól až v predĺžení, tento sa počíta za dva góly. Zradnosť takejto úpravy sa ukázala v kvalifikačnom zápase medzi Barbadosom a Grenadou. Barbados na postup potreboval zápas nad Grenadou vyhrať aspoň o dva góly. A vyzeralo to tak, že sa to aj podarí, Barbados viedol krátko pred koncom riadneho času 2-0. Vtom ale Grenada dala gól na 2-1. A teraz prišla úvaha na strane Barbadosu. Nie je ľahké, ani isté dať v posledných minútach gól na 3-1. Ak si má Barbados udržať šance na postup, oplatí sa mu viac streliť si vlastný gól na 2-2, dostať sa tak do predĺženia a tam potom skórovať zlatým gólom na 4-2! A tak si Barbados pár minút pred koncom 90-minútovky dal vlastný gól.
Vtedy však prišla úvaha na strane Grenady, ktorej stačilo, aby Barbados nevyhral o 2 a viac gólov. Grenade by stačilo prehrať 3-2. A tak sa rozhodli tiež si streliť vlastný gól, aby sa vyhli predĺženiu. Hráči Barbadosu ale presne túto myšlienku pochopili a tak sa pekne podujali brániť súperovu bránu.
Absurdná situácia: tím si chce streliť vlastný gól a súper mu bráni jeho vlastnú bránku. Nakoniec to dopadlo tak, že predĺženie sa konalo a Barbadosania dali gól, vyhrali 4-2 a postúpili.
Takýto futbal, aspoň takto teoreticky zaujme aj mňa. Ak máte chuť tu je fragment zápasu, a tu o tom rozpráva chlapík a spomína tam aj ďalší zaujímavý futbal :-)
Zápletka spočíva v systéme bodovania zápasov v rámci turnaja. Rôzne ligy a turnaje skúšajú podporiť atraktivitu hry rôznym oceňovaním výhier, remíz a prehier. Bežným systémom je udeliť víťaznému tímu 2 body, porazeným 0 bodov a v prípade remízy obidvom tímom po bode. Na podporenie útočnej hry sa začalo v niektorých súťažiach bodovať víťazstvo 3 bodmi.
Pomerne extravagantný vynález sa ale objavil v roku 1994 v Karibskom futbalovom pohári. Zaviedlo sa tu totiž pravidlo o zlatom góle - ak padne víťazný gól až v predĺžení, tento sa počíta za dva góly. Zradnosť takejto úpravy sa ukázala v kvalifikačnom zápase medzi Barbadosom a Grenadou. Barbados na postup potreboval zápas nad Grenadou vyhrať aspoň o dva góly. A vyzeralo to tak, že sa to aj podarí, Barbados viedol krátko pred koncom riadneho času 2-0. Vtom ale Grenada dala gól na 2-1. A teraz prišla úvaha na strane Barbadosu. Nie je ľahké, ani isté dať v posledných minútach gól na 3-1. Ak si má Barbados udržať šance na postup, oplatí sa mu viac streliť si vlastný gól na 2-2, dostať sa tak do predĺženia a tam potom skórovať zlatým gólom na 4-2! A tak si Barbados pár minút pred koncom 90-minútovky dal vlastný gól.
Vtedy však prišla úvaha na strane Grenady, ktorej stačilo, aby Barbados nevyhral o 2 a viac gólov. Grenade by stačilo prehrať 3-2. A tak sa rozhodli tiež si streliť vlastný gól, aby sa vyhli predĺženiu. Hráči Barbadosu ale presne túto myšlienku pochopili a tak sa pekne podujali brániť súperovu bránu.
Absurdná situácia: tím si chce streliť vlastný gól a súper mu bráni jeho vlastnú bránku. Nakoniec to dopadlo tak, že predĺženie sa konalo a Barbadosania dali gól, vyhrali 4-2 a postúpili.
Takýto futbal, aspoň takto teoreticky zaujme aj mňa. Ak máte chuť tu je fragment zápasu, a tu o tom rozpráva chlapík a spomína tam aj ďalší zaujímavý futbal :-)
pondelok 8. júla 2013
Odhad zovšeobecneného narodeninového paradoxu podľa Halmosa
The joy of suddenly learning a former secret and the joy of suddenly
discovering a hitherto unknown truth are the same to me -- both have the
flash of enlightenment, the almost incredibly enhanced vision, and the
ecstasy and euphoria of released tension.
P. Halmos, I want to be a Mathematician, 1985.
Moji študenti, teda aspoň tí, ktorí tesne pred hodinami so mnou nestrácajú chuť do života, poznajú maďarsko-amerického matematika Paula Halmosa. Niet totiž väčšej radosti ako tej, ktorú človek zažíva, keď rozochvenou rukou kreslí v pravom dolnom rohu dokončeného dôkazu "▯" - malý štvorček zvaný halmos, po Paulovi Halmosovi, ktorý túto grafickú skratku (významovo podobnú Q.E.D.) pomohol rozšíriť medzi matematikmi. A samozrejme, snažím sa, aby sme tých halmosov na matike mohli kresliť čo najviac.
Na Paula som pred pár dňami náhodou narazil pri krátkom texte J. D. Barrowa k narodeninovému paradoxu. Túto krásnu úlohu pokladám priam za kultúrne dedičstvo dvadsiateho storočia a tak sa jej venujem s každou študijnou skupinou, s ktorou narazíme na teóriu pravdepodobnosti. Barrow vo svojej knižke uvádza pekný odhad zovšeobecnenia úlohy, ktorý pochádza práve od Halmosa.
Nech nejaký parameter náhodne nadobúda n rôznych hodnôt (pri birthday probleme je n=365). Koľko ľudí treba náhodne vybrať, aby pravdepodobnosť výskytu aspoň dvojice s rovnakou hodnotou tohto parametru bola prinajmenšom 50%? Halmosov odhad je 1,18√n. Po tom, ako som si porovnal hodnoty z tohto vzorčeka s výpočtami pre niekoľko rôznych n sa mi vzorček páči ešte viac. Dúfam, že potešil aj Vás.
PS: Je strašne zaujímavé sledovať, ako takéto odhady vznikajú. Pamätám si, že nás na matfyze napríklad Chalmo učil robiť dolné a horné odhady zložitosti geometrických algoritmov. Ale keď pozerám na tohto Halmosa, tak nechápem, odkiaľ zbadal, že sa to správa takto "odmocninovo" a ako došiel na 1,18...
P. Halmos, I want to be a Mathematician, 1985.
Moji študenti, teda aspoň tí, ktorí tesne pred hodinami so mnou nestrácajú chuť do života, poznajú maďarsko-amerického matematika Paula Halmosa. Niet totiž väčšej radosti ako tej, ktorú človek zažíva, keď rozochvenou rukou kreslí v pravom dolnom rohu dokončeného dôkazu "▯" - malý štvorček zvaný halmos, po Paulovi Halmosovi, ktorý túto grafickú skratku (významovo podobnú Q.E.D.) pomohol rozšíriť medzi matematikmi. A samozrejme, snažím sa, aby sme tých halmosov na matike mohli kresliť čo najviac.
Na Paula som pred pár dňami náhodou narazil pri krátkom texte J. D. Barrowa k narodeninovému paradoxu. Túto krásnu úlohu pokladám priam za kultúrne dedičstvo dvadsiateho storočia a tak sa jej venujem s každou študijnou skupinou, s ktorou narazíme na teóriu pravdepodobnosti. Barrow vo svojej knižke uvádza pekný odhad zovšeobecnenia úlohy, ktorý pochádza práve od Halmosa.
Nech nejaký parameter náhodne nadobúda n rôznych hodnôt (pri birthday probleme je n=365). Koľko ľudí treba náhodne vybrať, aby pravdepodobnosť výskytu aspoň dvojice s rovnakou hodnotou tohto parametru bola prinajmenšom 50%? Halmosov odhad je 1,18√n. Po tom, ako som si porovnal hodnoty z tohto vzorčeka s výpočtami pre niekoľko rôznych n sa mi vzorček páči ešte viac. Dúfam, že potešil aj Vás.
štvrtok 4. júla 2013
Rýchlostný trik húseníc
Vďaka Lukášovi som nedávno objavil chlapíka, ktorý sa volá Destin a vyrába skvelé videá, nájdete ich viac na channeli SmarterEveryDay. Určite sa oplatí cez leto si pár jeho videí pozrieť!
Pred pár dňami som akurát pozeral tuto toto s húsenicami:
Trik týchto húseníc spočíva v tom, že keď sa pohybujú "na kope", ako celok sa presúvajú rýchlejšie, než by sa dokázali presunúť jednotlivé húsenice zvlášť. Je to spôsobené tým, že húsenice "na poschodí" sa pohybujú ako keby po pohyblivom páse (conveyor belt) a teda majú väčšiu výslednú rýchlosť voči zemi, než akú by mali, keby išli priamo po zemi. Celá skupina sa teda v priemere hýbe smerom k cieľu rýchlejšie.
Tento efekt sa Destin snaží vysvetliť v jednoduchej simulácii s LEGOm. A na konci simulácie spraví taký ten typický trik, ktorý robíme, keď sa nám zdá myšlienka jasná, ale nechce sa nám to dotiahnuť do konca :-) "...so we have two levels, so does it mean that this moves twice as fast? No, it doesn't. Do the math for me by looking at these grids and let me know in the comments, how much faster..."
Tak čo, ako to vidíte vy? Vedeli by ste úvahu dokončiť a povedať, koľkokrát rýchlejšie sa hýbu LEGO húsenice, ak idú v takomto dvojposchodovom húfe? Let me know in the comments, how much faster...
Hint: Keď som sa snažil niečo spočítať a potom to porovnať s počtom prejdých bodiek na LEGO mriežke, stále mi to nejako nesedelo. Potom som si uvedomil, že Destinov nápad s porovnaním modrých kociek je mierne zavádzajúci - pretože modrá v kope sa nepohybuje stále rovnako rýchlo. Ak by sme chceli použiť počítanie bodov na mriežke na porovnanie rýchlostí, bolo by lepšie počkať až kým sa modrá nevráti znovu na chvost kopy, alebo porovnávať radšej niečo iné...
Pred pár dňami som akurát pozeral tuto toto s húsenicami:
Trik týchto húseníc spočíva v tom, že keď sa pohybujú "na kope", ako celok sa presúvajú rýchlejšie, než by sa dokázali presunúť jednotlivé húsenice zvlášť. Je to spôsobené tým, že húsenice "na poschodí" sa pohybujú ako keby po pohyblivom páse (conveyor belt) a teda majú väčšiu výslednú rýchlosť voči zemi, než akú by mali, keby išli priamo po zemi. Celá skupina sa teda v priemere hýbe smerom k cieľu rýchlejšie.
Tento efekt sa Destin snaží vysvetliť v jednoduchej simulácii s LEGOm. A na konci simulácie spraví taký ten typický trik, ktorý robíme, keď sa nám zdá myšlienka jasná, ale nechce sa nám to dotiahnuť do konca :-) "...so we have two levels, so does it mean that this moves twice as fast? No, it doesn't. Do the math for me by looking at these grids and let me know in the comments, how much faster..."
Tak čo, ako to vidíte vy? Vedeli by ste úvahu dokončiť a povedať, koľkokrát rýchlejšie sa hýbu LEGO húsenice, ak idú v takomto dvojposchodovom húfe? Let me know in the comments, how much faster...
Hint: Keď som sa snažil niečo spočítať a potom to porovnať s počtom prejdých bodiek na LEGO mriežke, stále mi to nejako nesedelo. Potom som si uvedomil, že Destinov nápad s porovnaním modrých kociek je mierne zavádzajúci - pretože modrá v kope sa nepohybuje stále rovnako rýchlo. Ak by sme chceli použiť počítanie bodov na mriežke na porovnanie rýchlostí, bolo by lepšie počkať až kým sa modrá nevráti znovu na chvost kopy, alebo porovnávať radšej niečo iné...
nedeľa 30. júna 2013
LED Throwies
publikované na žiadosť priateľa, tento istý text máme zavesený na našej keške GC459BZ - tam nájdete aj info kam ísť, ak si chcete pozrieť LED Throwies "naživo"
Keď som sa pred pár rokmi na bicykli vracal unavený domov z roboty, pod Novým mostom (teraz už Most SNP) upútal moju pozornosť mladý párik. Smiali sa a ako si tak vykračovali, občas do vzduchu vyhodili nejaké svetielko. Svetielko sa vždy pekne zachytilo na kovovej konštrukcii mostu a tam ostalo svietiť. Spýtavo som podišiel bližšie a namiesto akýchkoľvek odpovedí mi dievčina veselo „pripla“ niekoľko svetielok na bicykel.
Neskôr som zistil, že takýmto svetielkam sa vo svete hovorí LED Throwies. Vyrobíte si ich poľahky – stačí vám mincová batéria, LED dióda, magnet a kúsok lepiacej pásky. Pre jednoduchosť konštrukcie a krásu výsledného efektu si LED Throwies našli vo svete obľubu.
Od môjho zážitku s veselými LED umelcami už uplynulo pár rokov. Ešte aj dnes však na konštrukcii mostu SNP nájdete desiatky „vyhorených“ LED hádzadielok. Ak máte chuť, môžete trochu poupratovať a pod mostom SNP (hlavne na petržalskej strane) si zopár vyhorených svetielok pozbierať - získate tak fajn neodýmové magnetíky, diódy a navyše očistíte verejný priestor.
Keď som sa pred pár rokmi na bicykli vracal unavený domov z roboty, pod Novým mostom (teraz už Most SNP) upútal moju pozornosť mladý párik. Smiali sa a ako si tak vykračovali, občas do vzduchu vyhodili nejaké svetielko. Svetielko sa vždy pekne zachytilo na kovovej konštrukcii mostu a tam ostalo svietiť. Spýtavo som podišiel bližšie a namiesto akýchkoľvek odpovedí mi dievčina veselo „pripla“ niekoľko svetielok na bicykel.
Neskôr som zistil, že takýmto svetielkam sa vo svete hovorí LED Throwies. Vyrobíte si ich poľahky – stačí vám mincová batéria, LED dióda, magnet a kúsok lepiacej pásky. Pre jednoduchosť konštrukcie a krásu výsledného efektu si LED Throwies našli vo svete obľubu.
Od môjho zážitku s veselými LED umelcami už uplynulo pár rokov. Ešte aj dnes však na konštrukcii mostu SNP nájdete desiatky „vyhorených“ LED hádzadielok. Ak máte chuť, môžete trochu poupratovať a pod mostom SNP (hlavne na petržalskej strane) si zopár vyhorených svetielok pozbierať - získate tak fajn neodýmové magnetíky, diódy a navyše očistíte verejný priestor.
nedeľa 2. júna 2013
Vzorní rodičia
Včera bol deň detí, tak pripájam tematické video starostlivých rodičov a piatich utešených detí. Rodinku sme stretli pred týždňom. Všimnite si, že ten rodič nielen prináša, ale aj odnáša z hniezda...
utorok 9. apríla 2013
Aký uhol viete zostrojiť?
Čaro konštrukcií iba za použitia pravítka (bez mierky) a kružidla dnes už asi málokto ocení. Ak patríte medzi málo-ktorých, a hádanke ste sa ešte nevenovali, možno vás pobaví úloha:
Aký v stupňoch najmenší celočíselný uhol dokážete zostrojiť pomocou pravítka bez mierky a kružidla?
Aký v stupňoch najmenší celočíselný uhol dokážete zostrojiť pomocou pravítka bez mierky a kružidla?
utorok 26. marca 2013
Olympiáda na Slovensku?
Trochu sa rozpráva o možnosti spoluorganizovania zimných olympijských hier na Slovensku. Všetko, čo by som kedy nielen o olympiáde na Slovensku dokázal povedať, vyjadruje ďaleko lepšie obrázok famózneho Michaela Leuniga. Dovolím si ho tu bez jeho vedomia "citovať":
pondelok 11. marca 2013
Binárny kalendár
Na Vianoce som od mojich priateľov Riša a Ondra dostal knihu s názvom Táta geek. Je to príjemná knižka plná zábavných nápadov. Jeden z projektov, ktoré autor Ken Denmead v knižke navrhuje je výroba binárneho kalendára z LEGA. Na zápis dňa v mesiaci potrebujete 5 bitov, na zápis mesiaca v roku vystačíte so 4 bitmi.
Mňa teraz fascinujú LEDky, spravil som si teda takýto svietiaci kalendár:
Keďže čítate tento blog, predpokladám, že netreba dvakrát vysvetľovať, ako vyzerá na mojom kalendári dnešný dátum:
Ak si chcete sami vyrobiť podobný kalendárik, môžem vrelo doporučiť na nákup súčiastok obchodík pri mojej škole. Pani, ktorá tam predáva sa skvele vyzná a vie veľmi fundovane poradiť a zatiaľ mi vždy dokonca aj "spravila cenu".
Ak poznáte nejaké iné geekovské projekty, ktoré máte overené, poteším sa linke v komentároch.
Mňa teraz fascinujú LEDky, spravil som si teda takýto svietiaci kalendár:
Keďže čítate tento blog, predpokladám, že netreba dvakrát vysvetľovať, ako vyzerá na mojom kalendári dnešný dátum:
Ak si chcete sami vyrobiť podobný kalendárik, môžem vrelo doporučiť na nákup súčiastok obchodík pri mojej škole. Pani, ktorá tam predáva sa skvele vyzná a vie veľmi fundovane poradiť a zatiaľ mi vždy dokonca aj "spravila cenu".
Ak poznáte nejaké iné geekovské projekty, ktoré máte overené, poteším sa linke v komentároch.
nedeľa 10. marca 2013
Sobotné upratovanie
Pohľad na jeden zvláštny zoznam ma prinútil naformulovať nasledujúcu hádanku.
V sobotu ráno chcel ísť Jožko von. Mamička mu však dala podmienku. Keďže je sobota, treba upratovať. Pustí Jožka von, ak si splní svoje domáce povinnosti. Prosím, nahliadnite:
Kedy bude môcť ísť Jožko von?
V sobotu ráno chcel ísť Jožko von. Mamička mu však dala podmienku. Keďže je sobota, treba upratovať. Pustí Jožka von, ak si splní svoje domáce povinnosti. Prosím, nahliadnite:
Kedy bude môcť ísť Jožko von?
Prihlásiť na odber:
Príspevky (Atom)