Neobyčajne logický rozhovor

Dokážete uhádnuť dve čísla, len na základe bizarného rozhovoru dvoch logikov, z ktorých jeden pozná súčin a druhý súčet týchto čísel, ale obaja celý čas v rozhovore opakujú len "neviem"? Po štyroch Neviem-výmenách ten so súčinom zrazu vie. A keď povie, že vie, tak odrazu vie už aj ten so súčtom... no neviem... je to riadne zamotané!



Ďakujem pánovi F. Gyárfášovi, priateľovi R. Štefancovi a milej Miriam za požičanie hlasov do sekvencie s vtipom. Ospravedlňujem sa, že som si podstatnú časť príbehu vymyslel.

Pôvod hádanky: kultúrne dedičstvo Internetu prispôsobené lokálnym podmienkam.

Matika za 3 minúty

Milí priatelia,

s radosťou Vám predstavujem nový projekt, do ktorého sa púšťam. Matika za 3 minúty bude prinášať príjemné matematické hádanky, zvláštnosti a zaujímavosti. Vždy v piatok. Nemyslím tým každý piatok. Ale vždy, keď to príde, tak to bude v piatok :-) Tri minúty matiky ako môj príspevok k dosiahnutiu tej pravej piatkovej pohody. Nech sa páči, začíname prvým oficiálnym videom:

29. február

Jeden rok je doba, za ktorú Zem obehne okolo Slnka. To sa ľahko povie, ale ako vôbec posúdiť, kedy takýto okamih nastal, keď sa všetko hýbe a točí? Možností je viac.

Jedna z možností je pozrieť sa na "nehybné" hviezdne pozadie. Však viete - niektoré hviezdy vidno len v lete, iné len v zime. Takže stačí si počkať, kedy je Slnko opäť v rovnakej polohe voči tomuto hviezdnemu pozadiu. Tomuto sa vraví siderický rok (sidereal year) a trvá 365,25636 dní (365 dní, 6 hodín, 9 minút a 9.76 sekundy).

Keby sa od neho odvádzal kalendár, časom by sa Vianoce posunuli do iného ročného obdobia. Prečo? Ročné obdobia sú spôsobené náklonom zemskej osi. A zemská os sa tiež otáča (ja si to predstavujem ako keď sa točí vĺčik - tiež je naklonený a jeho os sa pomaly otáča). Momentálne smeruje zemská os k Severke, ale o pár tisícročí nebude. Presnejšie - bod na zemskej osi opíše kružnicu za približne 26 000 rokov. O toľko rokov bude Severka znova na severe. Čo z toho vyplýva? Nuž, že ak by sme o roku rozmýšľali ako o priemernom čase, za ktorý sa vystriedajú ročné obdobia, mali by sme túto rotáciu zemskej osi zohľadniť. Vďaka nej prichádzajú ročné obdobia každý rok o 1/26 000 roka skôr (to je asi 20 minút) - lebo Zem je vďaka nej už o tých pár minút skôr "natočená k Slnku tak ako pred rokom". Tomuto roku sa vraví tropický rok (tropical year) a je trvá 365,24219, čiže 365 dní, 5 hodín, 48 minút a 45,4 sekúnd. (Tu je fajn obrázok.)

Priestupné roky sa zaviedli už za Julia Caesara, v juliánskom kalendári. Juliánsky kalendár ich má ale príliš nahusto. V gregoriánskom (našom) kalendári je priestupný rok vždy vtedy, keď je číslo roka deliteľné 4 a zároveň nie 100, alebo je deliteľný 400 (čiže 2096 bude priestupný, 2100 nie.)

Skvelá (a asi aj pravdivá) historka sa viaže ku Krištofovi Kolumbovi. Keď dorazili na nový kontinent, potravinami ho zásobili miestni obyvatelia. Európania sa ale nesprávali pekne, tak im ich hostitelia stopli podporu. Boli by tam neboráci pomreli, ale Kolumbus mal so sebou užitočný almanach, v ktorom vyčítal, že o pár dní, 29. 2. 1504 bude zatmenie Mesiaca. Zohral scénku o tom, že Boh sa na Indiánov hnevá a svoju zlosť vyjadrí zapálením Mesiaca na červeno...týmto fígľom si zachránili európski námorníci život.

Inak - zatmenie Mesiaca samozrejme nastáva pre každého pozorovateľa zo Zeme v rovnakom momente. Ale konkrétna hodina dňa, kedy to je, závisí od vašej zemepisnej dĺžky (časového pásma). Keďže 360°/24=15°, tak vieme, že každých 15° znamená posun času o hodinu. (Ak teraz zapadá Slnko v Bratislave, tak o hodinu bude zapadať o 15° zemepisnej dĺžky západnejšie. Škoda, že sa Kolumbus pri prepočítavaní svojej polohy vzhľadom na pozorovaný čas zatmenia prepočítal a vyšlo mu, že je niekde v Číne. Keby sa nepomýlil, možno by mu došlo, že objavil novú pevninu...

Slobodná vôľa, rozum a rozhodovanie

Zatiaľ mi nikto nevysvetlil, čo presne je tá "slobodná vôľa". Áno, mám pocit, že sa rozhodujem a riadim svoj život. Ale ako vlastne niečo také ako slobodné rozhodnutie môže fungovať? V naturalistickom chápaní sveta je miestom vzniku myšlienky mozog. Mozog, čiže kus hmoty, fyzické zariadenie. Viem si predstaviť, ako sa v ňom zrodí výpočet, alebo inštrukcia pre iné časti tela, ale netuším, ako sa v ňom rodí kvália alebo slobodné rozhodnutia. Ak sú vnímané slobodné rozhodnutia výslednicou chemických reakcií a elektrických zábleskov v miliardách mozgových súčiastok, tak vidím len dve možnosti. Buď sme deterministické stroje a slobodná vôľa je ilúzia, alebo naopak - makroskopické procesy (ako napríklad tie rozhodnutia) sú dielom nekonečna malých náhod na niektorej z mikroskopických úrovní nášho mozgu, podobne, ako sa miliardy rôznych malých záchvevov atmosféry, oceánu, pevniny a Slnka niekedy vyskladajú do hurikánu a inokedy nie. Determinizmus alebo chaos, ale snáď niekto niekedy nájde tretiu možnosť.

V čakárni u psychiatra sedí sliepka a vajce. Psychiater otvorí dvere ordinácie a vraví: Tak poďte - kto z vás bol skôr?

Vykašlime sa teraz na problém "mechanizmu" slobodnej vôle a uverme, že ju proste máme. Uplatňujeme ju v rozhodnutiach a o mnohých si dokonca myslíme, že sú rozumné. Ale je to tak naozaj? Čo bolo skôr - rozhodnutie alebo rozumová úvaha? Ak by sme rozhodnutia naozaj vedeli postaviť na rozumných úvahách, mali by sme byť svedkami väčšej medziľudskej zhody v politických a náboženských otázkach.

Morálny psychológ Jonathan Haidt to vidí takto (The Righteous Mind):

"We were never designed to listen to reason. When you ask people moral questions, time their responses and scan their brains, their answers and brain activation patterns indicate that they reach conclusions quickly and produce reasons later only to justify what they’ve decided.

The problem isn’t that people don’t reason. They do reason. But their arguments aim to support their conclusions, not yours. Reason doesn’t work like a judge or teacher, impartially weighing evidence or guiding us to wisdom. It works more like a lawyer or press secretary, justifying our acts and judgments to others."

A o tom istom hovoril Unamuno už pred vyše sto rokmi v Tragickom pocite života:

"Naše etické a filozofické náuky bývajú zväčša len ospravedlnením nášho konania a našich činov a posteriori. Naše náuky bývajú prostriedkom na to, aby sme ostatným i samým sebe mohli vysvetliť náš spôsob konania. Všimnite si, že nielen iným, ale aj sebe samým. Človek, ktorý vlastne nevie, prečo robí práve to, čo robí, a nie čosi iné, cíti potrebu uvedomiť si dôvod svojho konania, a preto si ho vymýšľa. To, čo pokladáme za pohnútky svojich činov, býva len zámienkou. Dôvod, o ktorom si niekto myslí, že je pohnútkou aby dbal o predĺženie svojho života, je podľa presvedčenia iného dôvodom, aby si vpálil do hlavy guľku." 

Ak naozaj riadia naše rozhodnutia intuície, a ak je rozum len tlačovým tajomníkom emócií, ostáva aspoň dúfať v nejaký efekt spätnej väzby - snáď to, o čom rozmýšľame a to, s kým sa kamarátime aspoň nejako spätne ovplyvňuje naše intuície a cez ne všetky tie záhadné budúce rozhodnutia.

Alice in Puzzle-land a Hintikkov paradox

Z neporiadku na polici nad mojím pracovným stolom spadla knižka Raymonda Smullyana, Alice in Puzzle-land. Útla knižka ostala na mojom stole ležať stranami nadol otvorená na tejto pasáži:

"Well," said Humpty Dumpty, "would you believe if I told you I had a baby?"
"Why not?" said Alice.
"And would you believe it if I told you that everybody loves my baby?"
"Why not?" said Alice.
"And would you also believe it if I told you that my baby loves only me?"
"I don't see why not," replied Alice.
"Ah!" said Humpty Dumpty, "if you believed all those things, then you'd be inconsistent!"
"Why?" asked Alice.
"Or at least you would be driven to a very absurd conlusion: You don't believe I'm my own baby, do you?"
"Of course not!" replied Alice.
"Well, you'd have to if you believed all those other things!"
"Why?" asked Alice, who was very puzzled.
"It's just simple logic, that's all. Look, suppose those other things were true. Since everybody loves my baby, then my baby also loves my baby."
"Oh, I hadn't thought of that!" said Alice.
"Of course not, but you should have, you know. You should always think of everything."
"I can't think of everything!" replied Alice.
"I never said you could," replied Humpty Dumpty, "I merely said you should."
"But is it reasonable to say that I should do something that I cannot do?" asked Alice.
"That is an interesting problem in Moral Philosophy," he replied, "but that would take us too far afield. Coming back to this problem,..."

...a záver si vyskúšajte domyslieť - ako z troch Humptyho tvrdení vyplýva, že je sám svojím dieťaťom?

Je krásne, keď jednému skvelému matematikovi píše úvod do knihy jeho kamoš, ďalší skvelý matematik. Úvod k Smullyanovej knihe napísal Martin Gardner. Bez jeho komentáru by som nezistil, že v tomto texte Smullyan naráža na v tých časoch (1982) populárny Hintikkov paradox z morálnej filozofie. Fínsky filozof Jaakko Hintikka tvrdí, že je morálne nesprávne pokúšať sa o nemožné. A takto pôvabne vysvetľuje prečo:


1. Doing something that cannot be done without something wrong being done would in itself be wrong.

2. Something that cannot be done at all cannot be done either with or without something wrong being done. So, for example, if X is impossible and Y is wrong, it is not possible to do either (X and Y) or (X and (not Y)).

3. Assume that Y is wrong. We have shown in the previous step that (X and (not Y)) is impossible. In other words, it is impossible to do X without something wrong (Y) being done. By step 1, X must be wrong.

4. Therefore, if it is impossible to do something, it is wrong to do it.

Moje volebné právo som delegoval neplnoletým študentom

Michael Leunig, I vote.

Na začiatku marca v mojej triede spravíme "voľby". Jedna z možností bude aj "nešiel by som voliť", ostatné možnosti sú tu. Výsledok triednych volieb potom uskutočním 5. marca v parlamentných voľbách. 

To je druhý raz v živote, čo sa teším na voľby (prvý raz to bolo pri mojich prvých voľbách).

Štrajk!

Od dnes sa pripájam k štrajku učiteľov. Študentom, ich rodičom a aj mojej rodine ďakujem za podporu.

Tu je stanovisko našej školy. Pripájam sa k nemu a pridávam aj svoj pohľad:

Vrodená morálka vs. naučené konvencie

Čítanie tohto článku ma motivovalo opäť trochu zaexperimentovať s mojou staršou dcérou. Podľa Elliota Turiela a Judith Smetana by mali 4 ročné deti vedieť rozlišovať medzi morálnymi princípmi a spoločenskými konvenciami.

Nuž, pustil som sa teda do overovania na 3.5 ročnej Agátke. Ak som dobre pochopil jej odpovede, neubližovanie označila za morálny princíp, kým čistotu oblečenia, zahaľovanie sa a "ticho na balete" za spoločenské zvyklosti.

Jedno úžasné zistenie: ešte nevie, čo je to nadávanie.

PS: Ak ste pred rokom sledovali, ako totálne failovala Sally-Anne test teórie mysle, tak mám dobrú správu: niekedy túto jeseň to konečne pochopila a už to s prehľadom dáva :-)

Nosí Ježiško darčeky?

Krátka správa pre všetky deti, ktoré možno googlia odpoveď na v týchto dňoch horúcu otázku: Nosí Ježiško darčeky?

Odpoveď: Nie. Ježiško nenosí darčeky.

Dôkaz: Over si to skrytou kamerou alebo proste stráž celý deň stromček tak, aby sa k nemu nevedeli rodičia nepozorovane s darčekmi prikradnúť - buď sa nakoniec priznajú a darčeky tam prinesú bez tajností, alebo jednoducho nedostaneš darčeky.

Keď už máme vyriešenú otázku Ježiška a darčekov, bolo by dobré zamyslieť sa aj nad ďalšími náboženskými príbehmi, ktorým nás v detsve učili. Bol naozaj nejaký Adam a Eva? Bola tu globálna potopa? Bol Abrahám naozaj taký pako, že chcel zabiť svojho syna? A apoštol Pavol ho dával za príklad dobrej viery? Naozaj Ježiš kriesil mŕtvych a sám vstal z hrobu?

Je ťažké byť dnes kresťanom, keď je biblia plná takýchto príbehov. Ale na druhej strane, netreba z jasličiek spolu so špinavou slamou vysypať aj Ježiška a všetko, čomu sa od neho môžme naučiť. Prajem pekné Vianoce a úspešné hľadanie si toho správneho miesta na osi medzi materialistickým monizmom a "z reťaze utrhnutým" náboženským fanatizmom.

"If the reader would like to know where I stand on the question of religion, I will say briefly: I believe that just about all the world's religions are full of myths and superstitions, but behind them all lies a vital truth. I don't believe that the religions themselves know what this truth is, but the truth is there nevertheless. By contrast, I would say that atheism, though free from the falsehoods, myths and superstitions of the religions, has no insight into the important truths that the religions dimly but incorrectly perceive. Thus, I think of atheism as blind and the religions as having vision, but the vision is distorted. Atheism is static and is not getting anywhere; the religions, with all their faults (and the faults are many!), are at least dynamic and are slowly but surely overcoming their errors and converging to the truth. Although I attend no church, I am closer to religion as a whole than to atheism."
Raymond M. Smullyan, Who knows?

Supermoon Lunar Eclipse

V pondelok (28. 9. 2015) nadránom bude zatmenie Mesiaca. Zatmenia Mesiaca je pekná a vcelku častá udalosť (v 21. storočí by malo byť 230, z toho 85 totálnych zatmení Mesiaca). To najbližšie je výnimočné tým, že mesiac sa bude nachádzať v perigeu - čiže na svojej eliptickej dráhe* okolo Zeme sa teraz nachádza v miestach najbližších k planéte. Preto sa bude javiť vizuálne trochu väčší.

Vraj o 14% väčší ako jeho priemerná veľkosť. Vraj o 30% väčší ako jeho priemerná veľkosť. Vraj o 8% väčší ako jeho priemerná veľkosť. Už som na rôznych miestach našiel rôzne čísla. No dokelu, ako teda?

Polomer mesiaca je 1737,1 km. Jeho priemerná vzdialenosť od Zeme je 385 000 km. V apogeu a perigeu je to 406 700 km a 356 400 km. Trocha školskej trigonometria a na svete sú zorné uhly, pod ktorými vidíme mesiac "v priemere", v apogeu, v perigeu:

A teraz tie zorné uhly dajme do pomeru:

Perigeum ku priemeru = 0,5585/0,517=1,08. Takže priemer Mesiaca sa javí o 8% väčší než v priemere.

Perigeum k apogeu = 0,5585/0,4894=1,14. V porovnaní apogea a perigea má teda pôvod hodnota 14%.

No a najfantastickejšie číslo dostaneme, keď si položíme otázku, koľkokrát je väčšia plocha Mesiaca na oblohe v perigeu v porovnaní s apogeom. Plocha je priamo úmerná štvorcu polomeru, teda Mesiac v perigeu sa javí byť plošne (0,5585/0,4894)^2=1.3023 - krát väčší ako keď je v apogeu. 1,3 násobok, teda 30%.

Možnosť pozorovať zatmenie Mesiaca v perigeu tu bola naposledy v roku 1982 a ak zmeškáte príležitosť v pondelok nadránom, tak najbližšie tu bude až v roku 2033.

Tak len nech nie je zatiahnutá obloha :-)


*nie je to úplne také jednoduché - Mesiac obiehajúci okolo Zeme po elipse. V skutočnosti Mesiac aj Zem spolu obiehajú okolo svojho spoločného ťažiska, barycentra. Každopádne, bude k Zemi v rámci svojich možností naozaj veľmi blízko.

Oci, ja nechcem zomrieť

Dnes v noci som sa zobudil na to, že v posteli vedľa mňa stojí so zatvorenými očami a predpaženými rukami moja trojročná dcéra. Plače a do tmy prosebne volá: “Oci, ja nechcem zomrieť.”

Že vraj uvažovaním človek od nepamäti spoznáva Boha vo všetkých stvorených veciach. Po tom, ako sa Agátka privinutá ku mne upokojila a zaspala, ja som ešte dlho ostal sedieť v posteli s otvorenými očami. Pozeral som do modročiernej tmy a premýšľal som teda, aký je to Boh. Prečo nás necháva žiť v neinformovanom očakávaní nejasného konca a prečo neušetrí od utrpenia ani tie najmenšie deti?

(Zmierlivá poznámka: v súčasnom kresťanstve existujú rôzne myšlienkové prúdy. Niektorí ľudia napríklad veria, že Boh nie je všemohúci – že sa v stvorení vzdal časti seba a svojej moci, pretože ju delegoval na stvorenstvo, napríklad aj na človeka. Človek sa stal autonómnym spolutvorcom a Boh skutočným spolutrpiteľom. Je to celkom atraktívny pohľad, pretože neutralizuje veľa z toho napätia popísaného vyššie a človeka stavia do aktívnej a zúčastnenej pozície. A utrpenie? Boh trpí s nami a my zas máme v moci pomôcť to utrpenie minimalizovať, je to náš podiel stvoriteľskej úlohy voči svetu. No ale ktovie, ako to vlastne je.)

Ja chcem dramaturga!

Slovenský rozhlas, presnejšie jeho prvý vysielací okruh, Rádio Slovensko, chytíte na Slovensku fakt asi všade. Rádio Slovensko nemusí bojovať o poslucháča, je to stanica, ktorú väčšina obyvateľov Slovenska desiatky rokov neprelaďuje. Prečo mám potom ale pocit, že táto stanica v ostatných rokoch brutálne podlieza latku vkusu a snaží sa zaujať tým plíživým popom, za aký by sa nehanbili ani na Rádiu Expres, či iných zúfalých komerčných staniciach, ktoré sú (asi) existenčne nútené podsúvať hudbu pre hudobne nekultivovaných poslucháčov?

Slovenský rozhlas, Ty o poslucháčov nebojuješ. Naopak, máš šancu si svojich poslucháčov kultivovať. Tak prosím, nehraj už viac tie zámorské sračky, ani československú lúzu. Siahni po kvalitnom hudobnom dedičstve a vychovávaj citlivé zvyšky našich duší. 

Moment s dcérou

Konečne sú prázdniny a mám čas venovať sa základným otázkam o bytí. Beriem si so sebou knižky, ktoré mám rozčítané a premýšľam. Smullyan sa zamýšľa nad tým, že rozdiely medzi materialistickým monizmom, dualizmom a idealizmom by možno mohli byť len otázkou terminológie. A možno vôbec realitu nevieme správne nahliadať a všetka metafyzika je len zúfalým tápaním v tme. Shelly Kagan je fyzikalista, našepkáva mi do duše, že duša asi skôr nie je, že myseľ je len prejavom dobre usporiadaného kúska hmoty a smrťou sa to asi všetko skončí. Aj tak ale vie odvodiť presvedčivú etiku. Gardner sa snaží rezignovane povzbudiť, že nič iné než dúfať vo večnosť nám aj tak neostáva. Udrží si vieru, aj keď z nej vypustí takmer všetky príbehy, na ktorých som vyrástol.

Ležím v hojdacej sieti pod orechom. Mozgom mi tepe zúfalstvo z toho, že ľudstvo na začiatku 21. storočia dokázalo tak veľa (poslať sondu k Plutu, rozbiť subatomárne častice, vyťažiť ropu zo dna mora, zabezpečiť jedlo miliardám ľudí), ale v zásade sme sa nijak nepohli v otázke vysvetlenia pôvodu bytia ani večného osudu človeka. Tu je to rovnaké už státisíce rokov. Tradujeme si rôzne príbehy, niektoré presvedčivejšie ako iné. Najskeptickejšie a najrozumnejšie je nenechať sa nijakým z nich presvedčiť. Ale skepticizmus nič nevysvetľuje.

Hojdám sa v sieti a vpíjam sa do riadkov knižiek, ktoré sú tu so mnou. Dúfam, že v nich nájdem odpoveď. Po chvíli zdvíham zrak a pozerám sa dolu ku potoku. V ríbezľových kríkoch je tam ukrytá moja trojročná dcéra. Zrnko po zrnku oberá červené ríbezle do malej misky. Do svojej činnosti je úplne pohrúžená. Je krásna. Pozerám na ňu a na chvíľu zabúdam na zúfalstvo ontologických otázok. Iba samotné bytie ma v tomto okamihu naplno premáha a ja sa mu s radosťou vzdávam.