Pravidelné mnohosteny

S druhákmi sa venujeme stereometrii a padla reč aj na pravidelné konvexné mnohosteny. V skratke povedané - mnohosten je teleso, ktoré je ohraničené rovinnými mnohouholníkmi - teda je to také "hranaté" teleso, nemá žiadne "vyguľateniny", ale samé pekné rovné steny a "ostré" hrany.

Pravidelný mnohosten má navyše za všetky svoje steny zhodné pravidelné mnohouholníky a ešte je aj tak pekne symetricky usporiadaný, že keby ležal na stole, a ja by som ho vo chvíľke vašej nepozornosti vzal do rúk, pootáčal a potom položil naspäť na to isté miesto, nerozoznali by ste, že som mnohostenom točil.

Najbežnejší konvexný pravidelný mnohosten je kocka (tá finta s točením platí len na kockách s rovnako nafarbenými stranami a bez bodiek :). Konvexných pravidelných mnohostenov (niekedy sa nazývajú aj Platónske telesá) však existuje viac. Čo je však zaujímavé, neexistuje ich neobmedzene veľa, ako je to napríklad pri pravidelných mnohouholníkoch. Platónskych telies existuje len 5 typov (viď obrázok).

Prečo je to tak a ako sa to dá dokázať? O tom bude najbližší seminár pre študentov bilgymu, už tento štvrtok.

SOOZVUK

Potešil som sa, keď som si dnes v mejli našiel pozvánku na tri koncerty, ktoré pripravil SOOZVUK. Ak vás zaujíma, ako znie silná súčasná slovenská hudba, príďte si vypočuť...

Diera v kocke

V mojej obľúbenej českej učebnici som dnes natrafil na peknú hádanku:

Je možné vytvoriť v kocke taký otvor, ktorým by prešla kocka s hranou rovnakej dĺžky?

Je celkom zábavné skúšať si to predstaviť, a ešte zábavnejšie skúšať to nakresliť.

Bobby McFerrin v Ostrave

Cez víkend sme s Miriam navštívili Ostravu. Boli sme sa pozrieť na koncert Bobbyho McFerrina.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/Bobby_McFerrin_photo_by_Szaniszlo_Ivor.jpg

Bol to fantastický zážitok. Nebolo to pre nás už také magické, ako keď sme Bobbyho zažili na koncerte v Bratislave prvý raz, to kúzlo tajomného šamana sme tentokrát asi až tak neprežívali. Skôr to bol taký priam domácky pocit - aha, živý Bobby McFerrin na pódiu, to je páradička, znova!

Veľmi sa mi páčilo vystúpenie Bobbyho spolu s Danom Bártom, ktorý na chvíľu prišiel na pódium. Na druhej strane, trochu nás otravovalo, že prišiel aj Roger Treece a spolu so zborom a McFerrinom spievali pesničky z nového albumu VOCAbuLarieS. Spievali to totiž celé z nôt a nemalo to ten nádych spontánnosti a improvizácie, kvôli ktorej sa predsa na McFerrinove koncerty chodí:-)

Nemá zmysel veľa o Bobby McFerrinovi rozprávať. Treba ho proste počúvať. Pre inšpiráciu teda pridám pár videí:




Alebo toto:



A keby ste sa niečo podobné chceli naučiť robiť aj vy, tu je pár tipov:-)

Ako urobiť dobrý odhad?

Budúci štvrtok sa budeme na seminári zaoberať dobrým odhadovaním. Je to úžasná téma, a myslím si, že sa dá osvojiť si zopár trikov a myšlienok, s ktorými budeme schopní mnohé problémy odhadnúť oveľa lepšie ako keby sme odhad len tak "cucali z prsta".

K tejto téme som sa dostal tak, že som sa snažil pochopiť, čo je vtipné na tomto xkcd komixe. To ma priviedlo k fyzikovi menom Enrico Fermi, no a teraz nadšene čítam knižku Guesstimation. Moja drahá Miriam to ešte celkom dobre znáša, ale dávam jej zabrať: väčšinou keď mi v ostatných dňoch niečo rozpráva, môj rozostretý pohľad smeruje 10 cm severozápadne za jej hlavu a premýšľam, že aká dlhá línia by sa dala vytvoriť, keby sa pospájali všetky jej vlasy...

Rezy kocky

Dnešný príspevok je venovaný hlavne mojim druhákom z bilgymu.

Rezom kocky je zvyčajne mnohouholník, ktorý je prienikom danej roviny a danej kocky. Na tomto mnohouholníku sú najzaujímavejšie jeho strany. Tie totiž zviditeľnujú, kde presne daná rovina kocku "rozrezala". Čiže, keď študujeme rezy kocky, tak sa zaoberáme hlavne prienikom nejakej (danej) roviny a stien kocky.

Samozrejme, rezom kocky môže byť v špeciálnych prípadoch aj niečo iné ako mnohouholník - napríklad úsečka alebo bod. (Úloha pre mojich študentov: no vážne, skúste sa nad tým zamyslieť a vymyslieť také zadanie, aby nastala takáto situácia!)

Nasledujúce tri vyriešené príklady by mali pokrývať všetky triky, ktoré sme sa pri rezoch naučili:

V prvom príklade sa "nič zvláštne" nedeje. V prvých dvoch krokoch sme pospájali dané body určujúce rezovú rovinu. Úsečky, ktoré tak vznikli ležia v stenách kocky, a teda sú stranami rezu. V treťom a v piatom kroku sme využili vetu o tom, že dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina v dvoch rovnobežných priesečniciach. Toto je veľmi užitočná veta pri hľadaní rezov - strany rezu ležiace v protiľahlých stenách kocky sú vždy rovnobežné.

Druhý príklad je o kúsok ťažší a okrem finty s rovnobežnosťou strán rezu (kroky 6 a 9) sme využili vetu, ktorá tvrdí, že ak máme dané tri roviny, z ktorých sú každé dve rôznobežné a všetky tri roviny majú spoločný bod, tak potom sa v tomto bode pretínajú aj všetky tri priesečnice týchto rovín.

Pre istotu to doplním. Priamka KL leží v rovine spodnej podstavy kocky. Každý bod na priamke KL je bodom rezovej roviny a zároveň roviny spodnej podstavy kocky. Čiže je ich priesečnicou. Priamka CB je zas priesečnicou roviny spodnej podstavy a roviny pravej steny kocky. Pretože obidve priesečnice ležia v rovine podstavy, tak vzniknutý priesečník R1 nie je len fiktívny "akože-priesečník" dvoch mimobežiek premietnutých do 2D, ale je to naozajstný priesečník dvoch rôznobežných priamok. No a keďže je to priesečník priamok KL a BC, tak tento priesečník má okrem iného aj dve krásne vlastnosti: leží v rovine pravej steny kocky a leží v rovine rezu. Preto ho môžeme spojiť s bodom M a pokračovať...

Posledný príklad sa síce tvári zložito, ale nie je to nič hrozné. Problém, ktorý môže nepripraveného bežného občana vydesiť je v tom, že žiadne dva body určujúce rezovú rovinu neležia v jednej rovine určenej niektorou zo stien kocky.

Keď spojíme body R a Q, vznikne nám priamka, ktorá kocku "prepichne", zďaleka však nebude obsahovať niektorú zo strán rezu. Ak sa nám však podarí zistiť, kde má táto priamka prienik s rovinou podstavy kocky, tak tento bod (S) budeme môcť spojiť s bodom P, ktorý tiež leží v podstave.

Priesečník roviny a priamky (s ňou rôznobežnej) sa hľadá tak, že najprv priamku vnoríme do nejakej vhodnej roviny, nájdeme priesečnicu týchto dvoch rovín. Tá bude iste rôznobežná s danou priamkou a ich priesečník je hľadaným priesečníkom danej roviny a priamky.

V našej kocke sme priamku RQ preložili rovinou RQQ'. Je to rovina kolmá na podstavu. (Áno, Slnko nám zasvietilo zhora na kocku, ktorú sme položili na rovník...) Kolmými rovinami sa priamky v kocke prekladajú dobre, keďže v kocke sú pravé uhly doslova "na každom rohu"... :-)

Veterné turbíny

Sčasu-načas si cestou z práce odbočím do rakúskeho Kittsee. Moja cesta vedie priamo popod veterné turbíny.

V pondelok fúkal celkom slušný vietor (cez 12 metrov za sekundu), takže sa točili ako divé. Čo presne znamená "ako divé"? Tiež ma to trápilo, tak som si spravil taký hrubý výpočet. Z diaľky vyzerajú veterné turbíny pokojne a štíhlo, pomaly a dôstojne sa otáčajú:



Keď však podídete k týmto skvostom rakúskej architektúry trocha bližšie, zbadáte, že sú to obrovské stavby. Tak napríklad, pozrite si túto fotku - keď si ju zväčšíte a prescrollujete naspodok, zbadáte, aký maličký je môj bicyklík...

Vráťme sa k tej rýchlosti. Vrtule, ktoré sa vrtia medzi Petržalkou a Kittsee majú priemer zhruba 66 metrov (preto sa ten typ aj tak volá: E-66). To znamená, že dráha, ktorú prejde koniec vrtule za jednu otáčku sa rovná obvodu kružnice s priemerom 66 metrov = 66.pí metrov, t.j. približne 207,35 metra. Podľa videa sa dá odmerať čas jednej otáčky - najlepšie je odstopovať niekoľko otáčok a potom vypočítať priemer, trochu tým zmiernime vlastnú nepresnosť pri spúšťaní a zastavovaní merania. Mne to vyšlo zhruba na nejaké 3,1 sekundy.

Rýchlosť konca listu vrtule získame ako podiel dráhy a času, teda 207,35 metra za 3,1 sekundy = 66,89 m/s = a to je neuveriteľných 240,8 km/h! Je to riadna rýchlosť, ale dá sa tomu uveriť, keď stojíte priamo pod vrtuľou a snažíte sa sledovať winglety na koncoch listov vrtule:



Na záver pár komentárov:
1. Hluk vrtúľ dosť pripomína štartujúce lietadlo.
2. V zime sa neodporúča chodiť príliš blízko k veterným turbínam, aby vás nezasiahol nejaký cencúľ, ktorý by z listov vrtule mohol odletieť.
3. V blízkosti veterných elektrární sa dajú na zemi nájsť kusy rozsekaných vtákov, ktoré vleteli do dráhy listom vrtulí.
4. V blízkosti veterných elektrární sa darí poľným zajacom, ktoré sa tam krásne vyhrievajú na slnku. Asi tam nelieta veľa dravcov:-)

Roztočený Geomag

Pán učiteľ fyziky Peťo Horváth nám do kabinetu matematiky požičal hračku, o ktorej sa už písalo na Q.E.D. aj predbará.com. Poskladal som si z Geomagu 20-sten. Váži 240 gramov a asi by sa zmestil do gule s priemerom 8-10 cm. Ako som sa s ním tak hral, napadlo mi "zavesiť" ho pomocou ďalšej guličky a magnetu z tejto súpravy, a potom ho taký zavesený roztočiť:

Prekvapilo ma, že sa ten 20-sten točil pomerne dlho. Včera som si teda do školy zobral stopky a kameru... aby som vám dnes ponúkol takúto odhadovo-tipovaciu hádanku:

Ako dlho sa točil zavesený 20-sten z Geomagu? (Roztočil som ho len rukou.)

Hádať a tipovať môžete do štvrtkového (22.4.) večera - do polnoci. Kto tipne najpresnejšie, vyhráva litrovú Kofolu! Po vyhodnotení sem zavesím aj dôkazové video:-)

Priečka alebo os?

S druhákmi sa teraz venujeme geometrii v priestore - stereometrii. Vzniká tu mnoho nových situácií, ktoré v rovine nepoznáme. Pre mnohých sú veľmi príťažlivou myšlienkou mimobežky - priamky, ktoré nemajú spoločný žiaden bod a pritom nie sú rovnobežné.

V súvislosti s mimobežkami sa definujú dva podobné pojmy - priečka mimobežiek a os mimobežiek. Priečka mimobežiek je ľubovoľná priamka (resp. úsečka), ktorá pretína obidve mimobežky. Je jasné, že k dvojici mimobežných priamok existuje nepreberne veľa priečok. Existuje však len jedna špeciálna priečka, ktorá je kolmá na obidve mimobežky. Táto sa nazýva os mimobežiek, a dĺžka úsečky, ktorú na osi tieto dve mimobežky vytínajú, sa rovná vzdialenosti mimobežiek.


Ja som si tieto dva pojmy hrozne dlho plietol, dokonca som raz kvôli priečke mimobežiek vyletel zo skúšky:-) Dôvod, prečo som si ich plietol by mal byť jasný z obrázku. Úplne vľavo je zobrazený rebrík. Nuž, rebrík má priečky. A priečky na rebríku zväčša určujú najkratšiu vzdialenosť medzi tými dvoma dlhými priamymi latkami rebríka. A navyše na slušných rebríkoch zvyknú tieto priečky byť kolmé na obidve tieto latky. To ma plietlo a stále ma to vracalo k presvedčeniu, že najkratšia úsečka spájajúca dve mimobežky sa tiež volá priečka...

Navždy si to správne zapamätať mi pomohol až vedúci mojej diplomovky, doc. Božek, ktorý mi vysvetlil, prečo sa os mimobežiek volá tak, ako sa volá. V skratke: "Volá sa to os mimobežiek preto, lebo je to os mimobežiek." :-) Os je priamka, podľa ktorej je nejaký objekt symetrický. Napríklad taká tvár môže byť symetrická (aj keď u naozajstných ľudí zvyčajne nie je). Spojnica stredu podstavy a vrcholu je napríklad osou symetrie kužeľa.

No a presne tak je to aj s osou mimobežiek. Keď sa na dve mimobežky pozrieme ako na jednu množinu bodov priestoru, tak táto množina je symetrická a jednou z osí jej symetrie je priamka, ktorú voláme - os mimobežiek:-) Navyše táto os je špeciálna ešte tým, že keby sme podľa nej mimobežky osovo zobrazili, zobrazila by sa každá z nich sama na seba.

Na záver hádanka pre predstavivosť: Majú ľubovoľné dve mimobežky ešte nejakú ďalšiu os symetrie? Viete popísať jej polohu?

Poznámka 12.4: Pripájam obrázok ku kukovmu riešeniu hádanky, ktoré nájdete v komentároch.

VOCAbuLarieS

Bobby McFerrin konečne po siedmich rokoch vydal nový album. Vocabularies pôsobia eklektickým dojmom, je to žánrovo nezaškatuľkovateľná hudba - od jazzu a R&B cez world (a ľudovku) a gospel až po také tie filmové orchestrálne motívy. Album aranžoval Roger Treece, a mal čo robiť, zvuk je neskutočne navrstvený a napriek tomu krásne priezračný. Obsahuje viacero prerobenín starších pesničiek. Keď tak počúvam ten megalomansky vystavaný zvuk tohto CD, premýšľam ako veľa z tejto hudby vlastne vytvoril McFerrin, a koľko z toho urobil Treece. Mne Bobby McFerrin pripadá totiž geniálny skôr svojou radosťou, jednoduchosťou a spontánnosťou, a to sa prejavuje asi hlavne na jeho koncertoch. Ale aj tak nádherný album. Pekný je aj obal:

Potešilo ma hlavne slovenské slovo "Slovníčky", aj keď vzhľadom na to, že sa to rovnako povie aj po česky a v Čechách vystupuje McFerrin 5-krát viac ako u nás, tak asi to je myslené po česky :-)

PS: Ak sa vám nechce čakať, kým sa bude dať album získať v našich obchodoch, a mp3 z ajtjúnz sa vám zdajú príliš drahé, tak kliknite na tieto tri bodky, tešte sa z tej skvelej hudby a spytujte si svedomie... :-)

School fun III.

V škole sa udeje veľa vtipných vecí. Dnes krátky výber situácií za ostatné 3 mesiace, ktoré mi pomáhajú pochopiť, prečo je väčšina starších stredoškolských učiteľov tak... hmm, no nazvime to vtipne cynických až mierne zatrpknutých.

Jeden môj žiak mi pol roka do písomiek vždy na spodný okraj papiera zvykol napísať: "Ja sa to doučím..." V ostatnom teste som si našiel iný, rezignovanejší odkaz: "Pán učiteľ, škoda, že ma nemôžete zažiť na nejakom inom predmete ako matika..."

Iná študentka zas do písomky k jednému príkladu napísala toto: "To by bolo nadlho, ale tipnem výsledok: ..."

Medzi moje obľúbené patrí aj výrok piatačky Niny, ktorá už vie, ako to v živote chodí. Vždy keď zasvietim v triede svetlá, ozve sa tónom, ktorý by som zaradil niekam medzi rozhorčený, prosebný a pobúrený: "Pán učiteľ, zhasnite, nech nám zas nezvýšia školné!"

Dosť častá otázka, ktorá prichádza v extrémnych prípadoch (stalo sa mi dvakrát) už 45 minút po dopísaní veľkej písomky: "Pán učiteľ, už to máte opravené?"

Môj najobľúbenejší zo zážitkov tohto typu sa odohral v deň, keď mi prváci vymysleli epitaf:

V lese stojí malý pníček,
pod ním zakopaný - Rasťo Halamíček.

(ospravedlňujem sa, že dnešný príspevok končím tak seba-stredne)


Poznámka 7. 4. 2010: Včera večer som opravoval nejaké písomky, a pobavil ma istý nemenovaný prvák Matej, ktorý sa rozhodol na okraj písomky rozohrať partiu piškvoriek: Glum vs. Smejágol. Tak som rozmýšľal, či to len bolo len tak, z čírej kratochvíle, a či azda to bol takto pekne - umelecky štylizovaný prejav vnútorného zápasu dobra a zla v ňom po tom, ako dopísal tú zákernú päťminútovku (na ktorú som milosrdne daroval až 12 minút, lebo obsahovala 9 príkladov...)

Chcete sa pekne poďakovať?

...tak doprajte svojim blízkym na chvíľu tento úžasný pocit:

Ak ste z bilgymu, pozrite si toto video:
http://en.tackfilm.se/?id=1269965912856RA40

Ak ste z matfyzu (najlepšie z grafiky), kliknite sem:
http://en.tackfilm.se/?id=1269965325872RA65

Alebo si rovno spravte svoje tu.
Skvelý projekt, nie?

Poznámka: Musím ešte poďakovať kolegom Radovi a Slavovi, vďaka ktorým som sa o tejto zábavke dozvedel: vďaka!

Úloha z prijímačiek

Dnes sme mali na škole prijímačky. Prijímačkový test obsahoval množstvo pekných úloh. Prekvapilo ma, že aj dosť veľa otázok z jazykov (slovenčina a angličtina) boli v podstate otázkami veľmi logickými. Ako keby ten test bol tak niečo medzi vedomostným testom a IQ testom.

Jednu otázku z matiky nevyriešil správne nikto zo skupiny 20 uchádzačov, pri ktorých som mal dozor. Vyskúšajte si ju (máte na to zhruba 2 minúty):

Sekretárka v istej firme vytlačila 4 listy určené 4 rôznym adresátom. Pripravila si 4 obálky s adresami, a potom do nich náhodne povkladala vytlačené listy (do každej obálky jeden list). Aká je pravdepodobnosť, že práve 3 listy sa dostanú do rúk správnym adresátom?

Pre čitateľov, ktorí sa už na strednej cítia bezpečne prijatí, prípadne aj doštudovaní a úloha im nerobí žiadne ťažkosti, pripájam ešte krátky komentár:

Mne táto hádanka pripomína problém dismutácií (derangement). Dismutácia je taká permutácia (preusporiadanie prvkov nejakého súboru), pri ktorom žiaden prvok nezostane na svojom mieste. Problém znie takto: aká je pravdepodobnosť, že náhodná permutácia súboru je dismutáciou a k akej hodnote sa táto pravdepodobnosť blíži, ak sa počet prvkov súboru blíži k nekonečnu? Inými slovami: Ak by mala sekretárka veľmi veľa listov a obálok a náhodne by ich poskladala a poposielala, aká je pravdepodobnosť, že nikto nedostane správny list? Čuduj sa svete, táto pravdepodobnosť sa s rastúcim počtom obálok a listov blíži k hodnote 1/e.