Moja prezidentská kampaň

Kebyže kandidujem na post prezidenta, rozhodne by som na bilboardy umiestnil svoje telefónne číslo, aby mi mohli občania telefonovať. Ale nechcel by som mať len nejaké obyčajné, bežné a nudné telefónne číslo. Prial by som si mať také telefónne číslo, ktoré by pri vytáčaní znelo takto - kliknutím si stiahnite mp3 :-)

Epicykloidy a hypocykloidy

V diskusii k minulému príspevku Rado, okrem iného, pomenoval kategóriu kriviek, do ktorej patrí aj naša kardioida - hlavná hrdinka nášho videa. Presnejšie spomenul, že epicykloidy sú krivky, ktoré sledujú fixný bod na kružnici valiacej sa po inej kružnici. Hypocykloidy zas popisujú dráhu fixného bodu na kružnici, ktorá sa valí vnútri inej kružnice.

Toto inšpiratívne poučenie ma popchlo k tomu, aby som svoj programík dokončil tak, že vie vykresľovať aj epi- aj hypocykloidy. Ak sa chcete trochu pobaviť, stiahnuť si ho môžete tu.


Poznámka: r2 je polomer valiacej sa kružnice, r1 je polomer statickej kružnice.

Poznámka 2: 21.1. vychádza najnovšia verzia, podporuje export obrázkov, viacnásobné otáčanie valiacej sa kružnice a takisto zmenu pozície fixného bodu - môže sa nachádzať bližšie k stredu rotujúcej kružnice, alebo aj celkom mimo nej... Link na program platí ten istý.

Kardioida - zatočme s Eurami!

Veľa ľudí píše teraz na blogoch o Eure... tak aj ja teda napíšem.

Nuž, hral som sa s novučkými slovenskými jednoeurovkami a spomenul som si na jednu klasickú hádanku:

Koľkokrát sa minca otočí keď ju kotúľame okolo mince s rovnakým polomerom pozdĺž polovice (resp. celého) obvodu?

Samozrejme, odpoveď je dosť jednoduchá. Pre lepší pohľad na vec som vytvoril toto poučné video. Okrem riešenia hádanky sa v ňom snažím ukázať súvis medzi točením mincami a známou matematickou krivkou kardioidou.



Tak čo, vedeli by ste vymyslieť rovnice kardioidy, ktorá bola v tomto videu?

Poznámka: V lepšej kvalite si môžete video pozrieť na youtube.
Poznámka2: V tomto programe si môžete skúsiť kotúľať mince rôznych veľkostí.

Vŕtalo mi v hlave cez Vianoce...

Cez Vianoce mi napadlo pár hádaniek. Charakter otázok sám naznačuje v akých súvislostiach mi prišli na um.

1. Ako sa rozmnožuje imelo? Totiž vieme, že tento kríčok parazituje na stromoch (v Rusovciach sú ním posiate všetky platany v parku). Vieme ako vyzerá, a preto sa nám hneď núka uzavrieť túto otázku odpoveďou - veď predsa v tých bielych bobuľkách sú semienka. Predstavme si, že to tak je. Z imela padne bobuľka na zem a čo teraz? Bude rásť imelo na zemi? Asi nie. Povedzme, že prežije len bobuľka, ktorá dopadne na strom. To by potom generácie potomkov jedného imelového kríčka s veľkou pravdepodobnosťou rástli stále na nižších a nižších konároch... Ako to teda s tým imelom naozaj je? Na niečo určite prídete sami, a keby nie, pozrite sa sem.

2. Prečo sa varenému vajíčku niekedy odstraňuje škrupina ľahko a inokedy ťažko? Presnejšie, medzi bielkom a škrupinou slepačieho vajíčka sa nachádza tenučká blana. Niekedy sa podarí vajce "obieliť" dvoma šikovnými pohybmi. To v prípade, že blana ostane oddelená od bielka a zohrá svoju úlohu pri odstraňovaní škrupiny. Inokedy sa však stáva, že blana funguje ako nejaký tmel medzi bielkom a škrupinou a vtedy je odstraňovanie škrupiny veľmi náročná práca. Od čoho závisí ktorý prípad nastane? (Súvisí to nejako s tým ako rýchlo sa uvarené vajce ochladí?)

3. Čo sa nachádza za okrajom vesmíru? Túto otázku som naschvál napísal takto detsky a naivne. Podobne ako by som sa mohol opýtať Čo bolo predtým ako vznikol čas? alebo Čo som robil predtým ako som sa narodil? Kto stvoril Boha? alebo Odkiaľ sa nabralo vedomie? Sú to všetko otázky, ktoré človeku môžu začať víriť v hlave, keď sa so skleným pohľadom dlhšiu chvíľu zamyslene pozerá na svetielka vianočného stromčeka. Na niektoré sa možno dá odpovedať, niektoré v sebe možno nesú nejaký logický rozpor a sú nezmyselné, a na niektoré možno odpovedať nikdy nebudeme vedieť. Čo je však dôležité, niektoré podobné otázky sa dajú formulovať zmysluplne (v angličtine by som asi povedal "scientifically sound questions") a napriek tomu na ne nemá a možno ani nikdy nebude mať odpovede ani najvyspelejšia veda. Čo je však ešte oveľa dôležitejšie, napriek tomu, že mnohé otázky o význame, bytí a prírode sú priam duchovné, nepozná na ne jasné odpovede ani kresťanstvo. A pre mňa dôležité zistenie týchto Vianoc je, že potrebujem strašne veľa pokory. Keď sa človek stane kresťanom, pomerne ľahko získa odpovede a uistenie pre svoj život. Zádrheľ je však v tom, že nezískava automaticky duchovnú dospelosť ani patent na rozum a pravdu. Dokonca istým spôsobom hĺbka spirituality nemusí nutne súvisieť s tým, či ste alebo nie ste veriaci. Takéto zistenie predstavuje silný úder mojej vlastnej kresťanskej pýche. Rád by som o tom v budúcnosti napísal trochu viac, ale sú to veci, ktoré ešte potrebujem dosť prežuť. K týtmo myšlienkam ma čiastočne priviedli cenné osobné odstavce v príspevku Decembrové odkazy na blogu Rada Harmana, prednáška Dušana Jauru, rozhovory s mojim bratom a vlastné pochybnosti, zneistenie a na druhej strane obrovské pocity, ktoré zažívam, keď som v prírode. Všetkým zmieneným pánom som za to veľmi vďačný.

Príspevok som začal veselými hádankami a končím ho nadškrtnutím celkom vážnych tém. Nie je to nesústredenosť mojej mysle, hoci literárna neschopnosť by to veru byť mohla. Trochu je to však asi zámer, lebo sa nechcem v týchto úvahách tváriť príliš pateticky. A tak aj na záver sa vraciam k niečomu jednoduchému a detsky peknému - pesnička od Katie Meluly, ktorá sa ponad naše zádumné otázky prenáša s ľahkosťou zaľúbenej speváčky a má pravdu v tom, že láska je aj tak najdôležitejšia :-)

We are twelve billion light years from the edge,
That's a guess,
No-one can ever say it's true
But I know that I will always be with you.

Traja králi neboli králi a asi ani neboli traja...

Keď sa za čias kráľa Herodesa v judejskom Betleheme narodil Ježiš, prišli do Jeruzalema mudrci od východu a pýtali sa: "Kde je ten novonarodený židovský kráľ? Videli sme jeho hviezdu na východe a prišli sme sa mu pokloniť."...

...A hľa; hviezda, ktorú videli na východe, išla pred nimi, až sa zastavila nad miestom, kde bolo dieťa. Ako zbadali hviezdu, nesmierne sa zaradovali. Vošli do domu a uvideli dieťa s Máriou, jeho matkou, padli na zem a klaňali sa mu. Potom otvorili svoje pokladnice a dali mu dary: zlato, kadidlo a myrhu. A keď vo sne dostali pokyn, aby sa nevracali k Herodesovi, inou cestou sa vrátili do svojej krajiny.

To je úryvok z Biblie, v ktorom sa spomínajú tí ľudia, na ktorých sa v súčasnosti väčšinou odvolávame ako na troch kráľov. Ak možno veriť Biblii, tak potom to neboli žiadni králi a nevieme či boli traja. Neteší ma, že cirkevná tradícia opriadla týchto mužov tajomnými menami Gašpar, Melichar a Baltazár, ani že ich povýšila na kráľov, a ani nerozumiem aký význam má sviatok Troch kráľov. Podobne nezmyselný je termín Vianoc, ktorý bol asi hlavne kompromisom "zoštátneného kresťanstva" s pohanskou kultúrou Európy. A dodnes som smutný keď si spomeniem, ako ma rodičia balamútili, keď vraveli, že darčeky nosí Ježiško (pravdu som sa dozvedel až v šiestej triede! a stratil som tým silný apologetický argument - fyzicky sa objavujúce darčeky predsa boli dôkazom božej existencie...). Príbeh o vzkriesenom Kristovi (kľúčová myšlienka kresťanstva) je sám o sebe dosť neuveriteľný. Prídavať však k tomuto príbehu preukázateľne vymyslené bájky je ale úplná samovražda.

Poplakal som si tu, tak už môžem povedať aj niečo pozitívne: prajem vám pekný rok 2009, aby ste sa veľa naučili a veľa tešili a veľa mali radi. Ak toto čítate na Troch kráľov, tak to hneď vypnite a radšej sa tešte z voľného dňa, choďte s rodinou do prírody a oddychujte, ale nie pri počítači!

Petržalka je fajn

Cez Vianoce som sa bol niekoľkokrát bicyklovať - s Miriam sme zašli na výhliadku Koenigswarte, s bratom sme boli hádzať kamene do Dunaja a rozbíjať kryhy na zamrznutom ramene Dunaja, niekoľkokrát sme boli v Rusovciach a hádzať si lietadielka u nás na dvore. Preto musím napísať aspoň takýto krátky radostný povzdych - Petržalka je veľmi príjemné miesto na život.


V Petržalke sa dá v zime výborne korčuľovať a trochu sánkovať (z násypu Panónskej cesty napríklad:-), v lete plávať a hrať futbal aj basketbal. Celoročne sa tu dá bicyklovať po hrádzi či v lužnom lese okolo Dunaja. Je tu dobrý vzduch a veľa svetla, lebo budovy nie sú na sebe natlačené tak, ako v Starom meste (hoci, v ostatnom čase sa tu začína stavať celkom divoko...). Občas sem z nižného Rakúska zavanie príjemný farmársky vzduch a človek sa cíti skoro ako na vidieku. Je tu ticho a v noci žiadni britskí turisti. Petržalka nie je žiadne temné a strašné miesto ako si myslia podaktorí, Petržalka je veľmi fajn.

8-bitová hudba

Síce je už po Vianociach, predsalen si zahrajme ešte pár kolied. Pesničky, ktoré vám zahrá táto lišta však nie sú obyčajné koledy, ale sú to skladby, ktoré vznikli z autentických zvukov starých počítačov. Na túto "retro" vlnu súčasnej elektronickej hudby ma upozornil spolužiak Riško linkou na túto stránku. K podobnej hudbe sa dostanete aj cez túto linku. O digitalizácii zvuku sa v skratke dočítate tu. Teraz si už naplno vychutnajte tento krásny starý zvuk a ponorte sa do spomienok na váš starý dobrý Commodore 64, Spektrum alebo PMDčko:-)



1 yerzmyey - merry christmas! jesus holy, born so lowly [Spectrum]
2 nullsleep - silent night [NES]
3 vim - when a child is bored [VIC20]
4 paul slocum - up on the housetop [Atari 2600]
5 bit shifter - let it snow [GameBoy]
6 goto80 - last christmas (hot digi remix) [Commodore64]
7 dma-sc - the first blip blop noel [Atari ST]
8 hally - xmas songs plastic sputnik arcade punk remix [X68000]

Zvuková hádanka

Dúfam, že ste si počas Vianoc dobre oddýchli, a že ste nezabudli ísť aj trochu do prírody. S mojimi bratmi Romanom a Radom sme boli na prechádzke v parku v Rusovciach. A na jednom mieste sme tam nahrali fantastický zvuk. Stiahnite si ho tu, a skúste uhádnuť ako vznikol! Svoje tipy môžete písať do komentárov.

Neznáme číslo 2

Tu je sľúbená hádanka:

Číslo 3025 má zvláštnu vlastnosť. Keď ho "roztrhneme" na dve čísla 30 a 25, tieto sčítame a výsledok umocníme, dostaneme pôvodné číslo 3025:

30 + 25 = 55
55² = 3025

Nájdete nejaké iné štvorciferné číslo zložené zo 4 rôznych cifier, s takouto zvláštnou vlastnosťou?

Ak neviete ako na to, skúste sa možno inšpirovať riešením minulej a predminulej úlohy.

Neznáme číslo

Pre ktoré päťciferné číslo platí, že ak pripíšeme jednotku pred toto číslo zľava tak dostaneme trikrát menšie číslo ako keby sme pripísali jednotku za číslo sprava?

Určite viete vyriešiť túto ľahkú úlohu. Ak by sa vám nedarilo, skúste sa inšpirovať minulým alebo predminulým príspevkom. Teším sa na vaše riešenia v komentároch!

Motivačná poznámka: Akonáhle niekto napíše správne riešenie (najlepšie aj s nejakým komentárom k výpočtu), uverejním ešte o kúsok krajšiu úlohu na túto tému:-)

Školácka úloha ešte raz

Vidím, že nikomu sa nechcelo tu písať riešenie školáckej úlohy z minulého príspevku. Alebo ste sa k nej možno po hŕbe mojich divných rečí ani neprepracovali. A ešte je tu možnosť, že tým, ktorí ju vyriešili, sa videla taká ľahká, že im nestálo za reč vypisovať riešenie. Neostáva mi nič iné, len to riešenie napísať vlastnými rukami. Najprv si pripomeňme zadanie:

Dokážte, že rozdiel kladného trojciferného čísla a trojciferného čísla, v ktorom vymeníme krajné cifry z predchádzajúceho čísla, je deliteľný 99.

Čo máme dokázať? Ozrejmime si, o čo ide na príklade. Vezmime si nejaké trojciferné číslo. Povedzme 624. Keď vymeníme krajné cifry, dostaneme číslo 426. Rozdiel má byť deliteľný 99, tak to overme. 624 - 426 = 198. A 198 : 99 = 2, teda rozdiel je deliteľný 99. Podobne by to malo podľa tvrdenia fungovať so všetkými trojcifernými číslami. Ako to ale dokázať?

Myšlienkovo najjednoduchší spôsob je overiť tvrdenie pre všetky trojciferné čísla. Tento spôsob nás naozaj nebude stáť veľa duševnej námahy, ale zato sa dosť napočítame (900 trojciferných čísel, bolo by to treba overiť pre polovicu, teda 450). Takáto duševná lenivosť by nás navyše mohla vyjsť draho, keby sme sa v budúcnosti nepripravení stretli s úlohou, ktorá by pracovala s nejakou väčšou, prípadne nekonečnou množinou.

Jestvuje však aj elegantnejší spôsob, ako pravdivosť tvrdenia celkom rýchlo dokázať. Stačí pritom využiť zopár z vlastností pozičnej číselnej sústavy, nad ktorými som sa rozplýval v minulom príspevku. Skúsme nejako všeobecne vyjadriť tvar trojciferného čísla. Napríklad "abc". "abc" však môže vyzerať nejasne, teda, niekomu môže pripomínať súčin troch konštant a, b, c, niekomu inému možno jednu konštantu abc, ktorá však vôbec nemusí byť trojciferná. Trojcifernosť teda vyjadrime takto:

trojciferné číslo = a.10² + b.10¹ + c.10⁰ = a.100 + b.10 + c

pričom b, c sú ľubovoľné čísla z množiny {0; 1; ... 9}, a číslo a je z množiny {1; 2;... 9}. Takýto zápis naozaj vystihuje všetky trojciferné čísla (len také kontrolné nahliadnutie; pozrime sa na počet všetkých takto definovaných trojíc, je ich 9.10.10=900). Tento zápis nám navyše umožňuje efektívne vyjadriť tú podivnú jazykovú formulku o vymieňaní krajných cifier. Naše trojciferné číslo po výmene krajných cifier vyzerá takto:

c.10² + b.10¹ + a.10⁰ = c.100 + b.10 + a

Teraz sa už môžeme pustiť do odpočítavania:

"abc" - "cba" = a.100 + b.10 + c - (c.100 + b.10 + a) =

po odstránení zátvorky dostávame

= a.100 + b.10 + c - c.100 - b.10 - a = (a-c).100+ (b-b).10 + (c-a) =

ešte vyjmeme (-1) pred zátvorku z (c-a) presne tak ako sme to robili v siedmej triede a "vyrátame", že (b-b) = 0

= (a-c).100 - (a-c) = 99.(a-c)

A máme tvrdenie dokázané. Vieme, že (a-c) je určite celé číslo, a keď ho vynásobíme 99, tak je aj celý výraz deliteľný 99. Keby niekomu neboli jasné základy, tak len dodám, že sa teraz po jednotlivých znamienkach rovnosti môžme "vrátiť" naspäť a tak konečne uvidieť, že

"abc" - "cba" = 99.(a-c)

Zazvonil zvonec, a tejto rozprávky je koniec.

Óda na desiatkovú sústavu a školácka úloha

Uvedomujem si, že zďaleka nemám dosť vedomostí na to, aby som mohol pozičným číselným sústavám zložiť dostatočne kvalifikovanú poklonu. Napriek tomu sa o to v pár najbližších príspevkoch pokúsim.

Pozičná číselná sústava je typickým príkladom výmyslu, ktorý sa stal tak bežným a zažitým, že málokedy preciťujeme radostné chvenie nad hĺbkou geniality tejto myšlienky. Ja kebyže som nejaký náš dávny predchodca a počítam dáke ovce, dukáty, armádu alebo obilné sýpky a potrebujem si počty zapísať, asi by som sa uchýlil k nejakému jednoduchému spôsobu notácie. Napríklad pre malý počet by som počty reprezentoval jedna-k-jednej čiarkami, pre väčšie počty by som začal rozlišovať špeciálne symboly pre množstvá napríklad 5, 10, 20, 100 a tak ďalej. Asi by som prišiel k nejakému podobnému systému ako sú rímske čísla. Som si istý, že by mi ani na um nezišlo čosi podobné ako tým špekulantom Arabom, ktorým vďačíme za naše dnešné čísla.

Keď som bol malý, žiaľ som si myslel, že hlavný rozdiel medzi tým, ako zapisujeme čísla bežne a ako sa zapisujú "rímskymi" je v tom, že rímske čísla vyzerajú ako písmená a tie naše bežné vyzerajú inak. Rozdiel je o niečo hlbšie. Nejde o to, ako vyzerajú rímske, či arabské číslica, ale ako sa s nimi narába, ako sa s nimi počíta - v skutočnosti majú úplne inú podstatu. Rímske poznajú pár symbolov označujúcich nejaké množstvá a tieto symboly sa podľa nejakých pravidiel kombinujú tak, aby sa vyjadrilo požadované množstvo (to zahŕňa rôzne pravidlá, ako výslednú hodnotu povoleným spôsobom nakombinovať). Skúste napísať rímskymi číslami 1234156. Asi by sa to zapísalo ako M napísané 1234-krát a za tým CLVI. Mohli by sme vymyslieť špeciálny symbol pre 10000, 100000 atď. Akokoľvek bohatý systém symbolov (I, V, X, L, C, ...) by sme však vytvorili, vždy by existoval symbol označujúci najväčšie množstvo, a akékoľvek väčšie číslo by sme potom museli vyjadriť už len pomocou (dlhého) radu symbolov. A skúste počítať nejaké jednoduché súčty alebo súčiny pomocou rímskych čísel...

Podstatou arabského systému je pozičná sústava. Pozičná sústava používa niekoľko základných číslic. Číslo je vyjadrené niekoľkými číslicami stojacimi vedľa seba. A je dôležitá ich vzájomná pozícia. Vezmime si teda na mušku našu desiatkovu sústavu. Volá sa desiatková preto, lebo používa desať číslic (0...9) a preto, lebo nejako súvisí s mocninami desiatky. Ako? Nech nám to ozrejmí príklad:

3526 = 3.10³ + 5.10² + 2.10¹ + 6.10⁰

Pre istotu pripomeniem, že 10⁰ = 1. Teda na pozícii číslice závisí, akou mocninou desiatky ju násobíme. Keď vidíme napísané 3526, vidíme proste tritisícpäťstodvadsaťšesť. Lebo sme sa to tak naučili chápať, v skutočnosti je to ale veľmi originálny spôsob zápisu. A má nemálo výhod. Napríklad, na pohodlné vyjadrenie aj celkom veľkých čísel nám postačuje 10 základných číslic. Základnými číslicami vieme jednoznačne označiť množstvá od nuly po deväť. Keď chceme vyjadriť číslo desať, nevytvoríme si nový symbol, ale vezmeme symbol 1 a pridáme zaň 0. To znamená 1.10¹ + 0.10⁰. Tým sme zdesaťnásobili počet čísel, ktoré vieme zapísať. Ak chceme zapísať číslo väčšie ako 99, priberieme na pomoc tretiu cifru, čím sa zase zdesaťnásobí počet rôznych čísel, ktoré už vieme vyjadriť. Teda je to celkom efektívny spôsob zápisu. Napríklad... milióny rôznych čísel vieme vyjadriť vhodnou kombináciou šiestich číslic. Alebo ešte inak - pridaním napríklad troch cifier sa stisícnásobí počet hodnôt, ktoré vieme jednoznačne vyjadriť... To je úžasné, nie?

Teraz si spomeňme na "sčítavanie pod seba". Takýto spôsob počítania funguje vďaka tomu, že pracujeme s pozičnou sústavou. Podobne násobenie. Skúste sčítavať pod seba rímske čísla... Tiež je pekné uvedomiť si, že dve čísla sa rovnajú práve vtedy, keď majú na rovnakých pozíciách rovnakú cifru. Znie to smiešne, ale nemuselo by to tak byť keby sme napríklad používali desať cifier, ale pozície by sme násobili mocninami 9. V takejto čudnej sústave by platilo 10 = 9, pričom obidva zápisy by označovali množstvo deväť (túto čudnú sústavu označme indexom 9*): (10)_9* = 1.9¹ + 0.9⁰ = (9)_9* = 9.9⁰ = (9)₁₀ .

Na záver úloha, ktorú mi nedávno dal dlhoročný spolužiak Riško. Táto úloha sa vyskytla aj v tohtoročnom korešpondenčnom seminári na Gymnáziu J. Hronca. To znamená, že by ju mal zdatnejší absolvent základnej školy vyriešiť:

Dokážte, že rozdiel kladného trojciferného čísla a trojciferného čísla, v ktorom vymeníme krajné cifry z predchádzajúceho čísla, je deliteľný 99.

Asi nebude nijakým prekvapením, keď napoviem, že úloha sa dá veľmi ľahko vyriešiť, ak si uvedomíme, ako také trojciferné číslo vyzerá a skúsime si ho rozpísať na súčet násobkov mocnín desiatky, teda ak využijeme pochopenie myšlienky pozičnej sústavy...

O radosť z rozlúsknutia tejto hádanky sa môžete podeliť v komentároch.

Úlohy o vlakoch 6 - zhrnutie a mravné ponaučenie

Pred pár týždňami sme sa začali zaoberať úlohami o vlakoch. Ešte by sa dalo veľa pekných úloh jemne preformulovať tak, aby sa vtesnali do tejto kategórie, ale to nebudeme robiť:-) Teším sa, ak vás aspoň na chvíľu niektoré úlohy zaujali. Ďalšie úlohy o vlakoch teda už nejdem uvádzať. Ale aby to lúčenie s témou nebolo také rýchle, mám tu ešte pár otázok na zamyslenie a inšpiráciu pre vaše najbližšie cesty vlakom:

1. Ako to, že elektrické káble nad traťou v lete neprevísajú a v zime sa nepotrhajú?
2. Ako sa zabezpečuje tlak vo vodovodných potrubiach pre umývadielko a WC?
3. Na oboch koncoch hlavnej dlhej chodby vo vagóne sú samozatváracie dvierka (za nimi je malá predsieňka, hlavné dvere, záchody a prechodové dvere do ďalších vagónov). Tieto samozatváracie dvere fungujú výborne, samé sa zatvoria tak, ako dvere vybavené mechanizmom BRANO. Akurát, že vo vlaku tieto dvierka nijaké takéto zariadenie nemajú. Čím je teda zabezpečené ich samočinné zatváranie?
4. Čo myslíte, na rovných severo-južných úsekoch trate je vydratá viac západná alebo východná koľajnica (túto otázku mi raz položil dobrý priateľ Rišo)?
5. Prečo sa vo Zvolene niekedy vypne na pár minút vo vlaku kúrenie? :-)
6. Ku koľkým staniciam viete ešte priradiť príslušnú ľudovku, ktorá sa ozývala pred každým oznamom z ampliónov?
7. V ktorej časti vlaku sa cestuje najpohodlnejšie? (pohodlnosť je nepriamo úmerná "heganiu", mykaniu a nadhadzovaniu)

Prajem vám veľa príjemných ciest našimi krásnymi vlakmi. Ako vždy, komentáre k tomuto príspevku sú vítané.