Školácka úloha ešte raz

Vidím, že nikomu sa nechcelo tu písať riešenie školáckej úlohy z minulého príspevku. Alebo ste sa k nej možno po hŕbe mojich divných rečí ani neprepracovali. A ešte je tu možnosť, že tým, ktorí ju vyriešili, sa videla taká ľahká, že im nestálo za reč vypisovať riešenie. Neostáva mi nič iné, len to riešenie napísať vlastnými rukami. Najprv si pripomeňme zadanie:

Dokážte, že rozdiel kladného trojciferného čísla a trojciferného čísla, v ktorom vymeníme krajné cifry z predchádzajúceho čísla, je deliteľný 99.

Čo máme dokázať? Ozrejmime si, o čo ide na príklade. Vezmime si nejaké trojciferné číslo. Povedzme 624. Keď vymeníme krajné cifry, dostaneme číslo 426. Rozdiel má byť deliteľný 99, tak to overme. 624 - 426 = 198. A 198 : 99 = 2, teda rozdiel je deliteľný 99. Podobne by to malo podľa tvrdenia fungovať so všetkými trojcifernými číslami. Ako to ale dokázať?

Myšlienkovo najjednoduchší spôsob je overiť tvrdenie pre všetky trojciferné čísla. Tento spôsob nás naozaj nebude stáť veľa duševnej námahy, ale zato sa dosť napočítame (900 trojciferných čísel, bolo by to treba overiť pre polovicu, teda 450). Takáto duševná lenivosť by nás navyše mohla vyjsť draho, keby sme sa v budúcnosti nepripravení stretli s úlohou, ktorá by pracovala s nejakou väčšou, prípadne nekonečnou množinou.

Jestvuje však aj elegantnejší spôsob, ako pravdivosť tvrdenia celkom rýchlo dokázať. Stačí pritom využiť zopár z vlastností pozičnej číselnej sústavy, nad ktorými som sa rozplýval v minulom príspevku. Skúsme nejako všeobecne vyjadriť tvar trojciferného čísla. Napríklad "abc". "abc" však môže vyzerať nejasne, teda, niekomu môže pripomínať súčin troch konštant a, b, c, niekomu inému možno jednu konštantu abc, ktorá však vôbec nemusí byť trojciferná. Trojcifernosť teda vyjadrime takto:

trojciferné číslo = a.10² + b.10¹ + c.10⁰ = a.100 + b.10 + c

pričom b, c sú ľubovoľné čísla z množiny {0; 1; ... 9}, a číslo a je z množiny {1; 2;... 9}. Takýto zápis naozaj vystihuje všetky trojciferné čísla (len také kontrolné nahliadnutie; pozrime sa na počet všetkých takto definovaných trojíc, je ich 9.10.10=900). Tento zápis nám navyše umožňuje efektívne vyjadriť tú podivnú jazykovú formulku o vymieňaní krajných cifier. Naše trojciferné číslo po výmene krajných cifier vyzerá takto:

c.10² + b.10¹ + a.10⁰ = c.100 + b.10 + a

Teraz sa už môžeme pustiť do odpočítavania:

"abc" - "cba" = a.100 + b.10 + c - (c.100 + b.10 + a) =

po odstránení zátvorky dostávame

= a.100 + b.10 + c - c.100 - b.10 - a = (a-c).100+ (b-b).10 + (c-a) =

ešte vyjmeme (-1) pred zátvorku z (c-a) presne tak ako sme to robili v siedmej triede a "vyrátame", že (b-b) = 0

= (a-c).100 - (a-c) = 99.(a-c)

A máme tvrdenie dokázané. Vieme, že (a-c) je určite celé číslo, a keď ho vynásobíme 99, tak je aj celý výraz deliteľný 99. Keby niekomu neboli jasné základy, tak len dodám, že sa teraz po jednotlivých znamienkach rovnosti môžme "vrátiť" naspäť a tak konečne uvidieť, že

"abc" - "cba" = 99.(a-c)

Zazvonil zvonec, a tejto rozprávky je koniec.