streda 14. januára 2009

Kardioida - zatočme s Eurami!

Veľa ľudí píše teraz na blogoch o Eure... tak aj ja teda napíšem.

Nuž, hral som sa s novučkými slovenskými jednoeurovkami a spomenul som si na jednu klasickú hádanku:

Koľkokrát sa minca otočí keď ju kotúľame okolo mince s rovnakým polomerom pozdĺž polovice (resp. celého) obvodu?

Samozrejme, odpoveď je dosť jednoduchá. Pre lepší pohľad na vec som vytvoril toto poučné video. Okrem riešenia hádanky sa v ňom snažím ukázať súvis medzi točením mincami a známou matematickou krivkou kardioidou.



Tak čo, vedeli by ste vymyslieť rovnice kardioidy, ktorá bola v tomto videu?

Poznámka: V lepšej kvalite si môžete video pozrieť na youtube.
Poznámka2: V tomto programe si môžete skúsiť kotúľať mince rôznych veľkostí.

8 komentárov:

miriam povedal(a)...

premakane, beeda

Radoslav Harman povedal(a)...

To video je super. Nemohol by si trochu prezradiť ako si ho vyrobil? Myslím v akom programe si robil aké veci, koľko Ti to trvalo a podobne.

Krivky, ktoré vzniknú sledovaním bodu na kružnici valiacej sa okolo inej kružnice sa nazývajú epicykloidy a ak sa valí kružnica vo vnútri inej kružnice, tak výsledná stopa pevného bodu sa nazýva hypocykloida. Keď sa valí vo vnútri kružnica s polovičným polomerom ako je tá vonkajšia, tak výsledok je (trochu prekvapivo) úsečka. Mal som o tom jeden príspevok na QEDe aj s animáciou.

Samozrejme, táto idea sa dá veľmi zovšeobecniť, napríklad je možne sledovať bod, ktorý je vo vnútri toho valiaceho sa disku, alebo bod na kružnici, ktorá sa valí po kružnici, ktorá sa valí po tretej kružnici. Fyzikálne s mincami je to nerealizovateľné, ale obrázky by mohli byť pekné.

Tento príklad s dvomi mincami uvádza vo svojej knihe aj Martin Gardner tiež s dôrazom na to, že intuícia nás klame a máme tendenciu si myslieť, že vonkajšia minca sa otočí iba raz. On však potom rozoberá aj náročnejšie úlohy, kde sa minca valí po sústave iných mincí. Ukazuje sa, že ak je z tých mincí urobená "uzavretá" krivka, tak dookola sa valiaca minca urobí rovnaký počet obrátok nezávisle na tvare tej krivky z mincí.

Sorry za ten výklad, ale nedalo mi. To vieš, choroba z povolania...

rasto povedal(a)...

Dakujem za všetky povzbudivé pochvaly :-)

To video som vyrábal veľmi útrpnou cestou - odmysliac text, som vygeneroval všetky framy takmer manuálne: Najprv som nafotil asi 18 záberov s mincami. Potom som naprogramoval v C++ (v prostredí Borland C++ Builder) program, ktorý simuloval kotúľanie mincí (spravil som ho tak, že by v ňom mali fungovať aj iné polomery...), a tento programík mi vygeneroval ďaľších asi 90 framov pre toto video.

Hudbu tvorí zacyklený začiatok skladby Money od legendárnych Pink Floyd, upravené je to vo freeware Audacity.

Všetky obrázky a hudba sú nakoniec pospájané pomocou MS Movie Maker, ktorý vedel aj tak pekne animovať doplňujúce texty (ak máte niekto nejakú freeware alternatívu, môžte to prosím napísať niekde sem...).

Tak ako celý tento blog, aj toto video som sa snažil spraviť tak, aby len naklonilo ľudí k matematike - nesnažím sa veci robiť matematicky príliš dôsledne. Preto ma ale veľmi potešil Radov doplňujúci komentár poskytujúci základ pre tých, ktorých to zaujalo a chceli by sa o téme dozvedieť viac. Takéto komentáre sú tu vždy veľmi vítané!

A čo sa týka choroby z povolania, myslím, že práve takéto blogy sú ideálnym miestom na odreagovanie sa - tu naše riešenia, vysvetlenia a návody čítajú ľudia dobrovoľne, a nechápu sa ako choroba. Dokonca vnímam možnosť blogovať ako ideálny (a užitočný) ventil pre pretlak potreby vysvetľovať, ktorú dobrí učitelia niekedy mávajú :-)

Takže ešte raz ďakujem za komentáre a teším sa, že sa video páčilo.

fedoo povedal(a)...

Pink Floyd sme samozrejme spoznali v prvej osmine zo 7/8 taktu :D A to, že si to naprogramoval ma teda dostalo. si šikovný teda. A ak nájdeš ten free soft (program zadarmo) na strihanie videa, tak daj vedieť. Hou.

rasto povedal(a)...

fedoo, vďaka za poučenie - to som si naozaj nikdy pretým neuvedomil, že Money je naozaj 7/8 takt, super postreh! To je výborné:-)

Ak náhodou netušíte, čo to znamená, že Money je v sedem osminovom takte, tak tu je krátke objasnenie: znamená to, že v skladbe sa dobre počíta do sedem. Teda, ak sa napríklad započúvate do basovej linky a pritom si počítate spolu s pulzom skladby, zistíte, že jedno opakovanie cykliacej sa basovej melódie trvá presne sedem "pulzov", resp. "dôb".

A čo je na tom celom také zvláštne? Iba to, že bežné pesničky v rádiu (odhadom vyše 95%) znejú v 4/4 alebo 2/4 takte. Teda, na absolútne drvivú väčšinu pesničiek sa dobre počíta do štyroch.

Samozrejme to zďaleka neplatí o ľudovej hudbe, či hudbe iných kultúr.

fedoo povedal(a)...

Aby som tu nebol za múdreho dodám, že som na tých 7/8 nedošiel sám.

Peter Richtárik povedal(a)...

Pekne video! Je to dost kontraintuitivna vec ;-) Take mam rad.

Este jedna technicka pripomienka: v anglictine sa nehovori "goniometric" ale "trigonometric".

rasto povedal(a)...

Ďakujem za komentár, s tým goniometric a trigonometric to je veru správna pripomienka - meniť to už teraz nejdem, ale skúsim v tom v budúcnosti neurobiť chybu. Tak vďaka za upozornenie.

Zo všetkých tých kriviek vznikajúcich rotovaním kružnice je pre mňa najkontraintuitívnejšia asi tá valivá úsečka, resp. trpaslík na kolotoči...