Do odovzdania diplomovky ostávajú ešte asi 2 týždne. Toto je motivačné videjko (dosť nepresné:-) k jednému z problémov, ktorými sa s doc. Božekom zaoberáme:
Myslím, že ten text je trochu nezrozumiteľný. Poviem to ešte raz a jednoduchšie.
Obálka sústavy priamok je taká krivka, ktorá je tvorená iba bodmi priamok tejto sústavy. Teda pre každý bod obálky vieme povedať, s ktorou priamkou sústavy ho má spoločný.
Navyše má obálka taký tvar, že priamky sústavy sú jej dotyčnicami v spoločných bodoch. Tak približne znie prerozprávaná definícia obálky.
Na vec sa dá ale pozrieť aj inak - pomocou limít: vezmime niektorú priamku zo sústavy priamok. Nájdime jej priesečník s ľubovoľnou inou priamkou sústavy. Keby sme brali postupne priamky s indexom stále bližším k indexu fixovanej priamky, získame postupnosť ich priesečníkov. Táto postupnosť konverguje k bodu obálky na fixovanej priamke.
Ak budeme "fixovať a limitiť" postupne cez všetky priamky sústavy, získame krivku, ktorá bude presne zodpovedať definícii obálky. Teda obálku možno získať aj takýmto "limitným procesom".
Spomínam si, že kedysi som sa s otcom rozprával na tému obálky grafov funkcií zodpovedajúcich hustotám normálneho rozdelenia so strednou hodnotou 0 a premenlivou disperziou. V tomto prípade vyjde obálka tiež pekne: je to hyperbola (presnejšie dve hyperboly symetrické okolo y-novej osi).
Pomocou tejto obálky sa potom napríklad dá jednoducho nájsť horné ohraničenie pravdepodobnosti udalosti, že normálna náhodná premenná X so nulovou strednou hodnotou a akoukoľvek disperziou padne do nejakého intervalu (a,b), kde a,b sú obe kladné, alebo obe záporné.
Ešte konkrétnejšie, napríklad sa dá pomocou týchto úvah ukázať nasledovné: Predpokladajme, že dĺžky krokov maratónca sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením, so známou strednou hodnotou 1 meter, ale neznámou disperziou. (T.j. nevieme, do akej miery sú dĺžky krokov "premenlivé", vieme iba, že v priemere má krok dĺžku 1 meter.) Potom pravdepodobnosť toho, že po 1000 krokoch prebehne maratónec viac ako 1050, ale menej ako 1100 metrov je menšia ako ln(2)/sqrt(2*pi*e), čo je približne 0,168.
Totižto suprémum ľubovoľného počtu lineárnych funkcií (povedzme že ide o 1D funkcie - ich grafy zodpovedajú priamkám) je konvexná funkcia (v tvojom videu máš niečo ako hyperbolu a priamky zodpovedajú deriváciám). Naopak, každá konvexná funkcia (za technickej podmienky že jej epigraf je uzatvorená množina) sa dá napísať ako suprémum lineárnych funkcií. A to aj nediferencovateľná funkcia (napríkad |x| = max{x,-x}).
Vidí sa mi, že to suprémum potom priamo súvisí s tymi tvojimi limitami. Je to taký špeciálny prípad: limituješ sa na obálky čo definujú konvexné funckie, ale zasa tie limitné charakteristiky sú jednoduchšie a navyše nie je potrebná parametrická diferencovateľnosť.
4 komentáre:
Myslím, že ten text je trochu nezrozumiteľný. Poviem to ešte raz a jednoduchšie.
Obálka sústavy priamok je taká krivka, ktorá je tvorená iba bodmi priamok tejto sústavy. Teda pre každý bod obálky vieme povedať, s ktorou priamkou sústavy ho má spoločný.
Navyše má obálka taký tvar, že priamky sústavy sú jej dotyčnicami v spoločných bodoch. Tak približne znie prerozprávaná definícia obálky.
Na vec sa dá ale pozrieť aj inak - pomocou limít: vezmime niektorú priamku zo sústavy priamok. Nájdime jej priesečník s ľubovoľnou inou priamkou sústavy. Keby sme brali postupne priamky s indexom stále bližším k indexu fixovanej priamky, získame postupnosť ich priesečníkov. Táto postupnosť konverguje k bodu obálky na fixovanej priamke.
Ak budeme "fixovať a limitiť" postupne cez všetky priamky sústavy, získame krivku, ktorá bude presne zodpovedať definícii obálky. Teda obálku možno získať aj takýmto "limitným procesom".
Super, nie?
:-)
Spomínam si, že kedysi som sa s otcom rozprával na tému obálky grafov funkcií zodpovedajúcich hustotám normálneho rozdelenia so strednou hodnotou 0 a premenlivou disperziou. V tomto prípade vyjde obálka tiež pekne: je to hyperbola (presnejšie dve hyperboly symetrické okolo y-novej osi).
Pomocou tejto obálky sa potom napríklad dá jednoducho nájsť horné ohraničenie pravdepodobnosti udalosti, že normálna náhodná premenná X so nulovou strednou hodnotou a akoukoľvek disperziou padne do nejakého intervalu (a,b), kde a,b sú obe kladné, alebo obe záporné.
Ešte konkrétnejšie, napríklad sa dá pomocou týchto úvah ukázať nasledovné: Predpokladajme, že dĺžky krokov maratónca sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením, so známou strednou hodnotou 1 meter, ale neznámou disperziou. (T.j. nevieme, do akej miery sú dĺžky krokov "premenlivé", vieme iba, že v priemere má krok dĺžku 1 meter.) Potom pravdepodobnosť toho, že po 1000 krokoch prebehne maratónec viac ako 1050, ale menej ako 1100 metrov je menšia ako ln(2)/sqrt(2*pi*e), čo je približne 0,168.
Ten príklad s maratóncom je super, vďaka:-)
Mne to zasa pripomína trošku konvexnosť.
Totižto suprémum ľubovoľného počtu lineárnych funkcií (povedzme že ide o 1D funkcie - ich grafy zodpovedajú priamkám) je konvexná funkcia (v tvojom videu máš niečo ako hyperbolu a priamky zodpovedajú deriváciám). Naopak, každá konvexná funkcia (za technickej podmienky že jej epigraf je uzatvorená množina) sa dá napísať ako suprémum lineárnych funkcií. A to aj nediferencovateľná funkcia (napríkad |x| = max{x,-x}).
Vidí sa mi, že to suprémum potom priamo súvisí s tymi tvojimi limitami. Je to taký špeciálny prípad: limituješ sa na obálky čo definujú konvexné funckie, ale zasa tie limitné charakteristiky sú jednoduchšie a navyše nie je potrebná parametrická diferencovateľnosť.
Zverejnenie komentára