3 možnosti a 1 minca

Rozhodnúť sa pomocou mince medzi dvoma alternatívami je vcelku jednoduché. Ale vedeli by ste použiť mincu na spravodlivý výber jednej z TROCH možností?

Neobyčajne logický rozhovor

Dokážete uhádnuť dve čísla, len na základe bizarného rozhovoru dvoch logikov, z ktorých jeden pozná súčin a druhý súčet týchto čísel, ale obaja celý čas v rozhovore opakujú len "neviem"? Po štyroch Neviem-výmenách ten so súčinom zrazu vie. A keď povie, že vie, tak odrazu vie už aj ten so súčtom... no neviem... je to riadne zamotané!



Ďakujem pánovi F. Gyárfášovi, priateľovi R. Štefancovi a milej Miriam za požičanie hlasov do sekvencie s vtipom. Ospravedlňujem sa, že som si podstatnú časť príbehu vymyslel.

Pôvod hádanky: kultúrne dedičstvo Internetu prispôsobené lokálnym podmienkam.

Alice in Puzzle-land a Hintikkov paradox

Z neporiadku na polici nad mojím pracovným stolom spadla knižka Raymonda Smullyana, Alice in Puzzle-land. Útla knižka ostala na mojom stole ležať stranami nadol otvorená na tejto pasáži:

"Well," said Humpty Dumpty, "would you believe if I told you I had a baby?"
"Why not?" said Alice.
"And would you believe it if I told you that everybody loves my baby?"
"Why not?" said Alice.
"And would you also believe it if I told you that my baby loves only me?"
"I don't see why not," replied Alice.
"Ah!" said Humpty Dumpty, "if you believed all those things, then you'd be inconsistent!"
"Why?" asked Alice.
"Or at least you would be driven to a very absurd conlusion: You don't believe I'm my own baby, do you?"
"Of course not!" replied Alice.
"Well, you'd have to if you believed all those other things!"
"Why?" asked Alice, who was very puzzled.
"It's just simple logic, that's all. Look, suppose those other things were true. Since everybody loves my baby, then my baby also loves my baby."
"Oh, I hadn't thought of that!" said Alice.
"Of course not, but you should have, you know. You should always think of everything."
"I can't think of everything!" replied Alice.
"I never said you could," replied Humpty Dumpty, "I merely said you should."
"But is it reasonable to say that I should do something that I cannot do?" asked Alice.
"That is an interesting problem in Moral Philosophy," he replied, "but that would take us too far afield. Coming back to this problem,..."

...a záver si vyskúšajte domyslieť - ako z troch Humptyho tvrdení vyplýva, že je sám svojím dieťaťom?

Je krásne, keď jednému skvelému matematikovi píše úvod do knihy jeho kamoš, ďalší skvelý matematik. Úvod k Smullyanovej knihe napísal Martin Gardner. Bez jeho komentáru by som nezistil, že v tomto texte Smullyan naráža na v tých časoch (1982) populárny Hintikkov paradox z morálnej filozofie. Fínsky filozof Jaakko Hintikka tvrdí, že je morálne nesprávne pokúšať sa o nemožné. A takto pôvabne vysvetľuje prečo:


1. Doing something that cannot be done without something wrong being done would in itself be wrong.

2. Something that cannot be done at all cannot be done either with or without something wrong being done. So, for example, if X is impossible and Y is wrong, it is not possible to do either (X and Y) or (X and (not Y)).

3. Assume that Y is wrong. We have shown in the previous step that (X and (not Y)) is impossible. In other words, it is impossible to do X without something wrong (Y) being done. By step 1, X must be wrong.

4. Therefore, if it is impossible to do something, it is wrong to do it.

Spoločná dotyčnica

Náhodou som narazil na takýto obrázok:

Nebola pri ňom nijaká otázka, ale je to jeden z tých obrázkov, ktorý sa otázky pýta sám.

Predpokladajme, že strana štvorca je x.
Aký je polomer štvrťkružnice?
Aký uhol zviera spoločná dotyčnica polkruhu a štvrťkružnice so stranami štvorca?
Aká je vlastne dlhá úsečka MN?

Transcendentné volské oko

Problematika transcendentna nedá človeku pokoj, ani keď ide večerať. Takéto čosi na mňa vyskočilo, keď som si dnes pripravoval volské oko:

Nuž, transcendentné volské oko. Nadpozemská chuť, zážitok vymykajúci sa rozumovému poznaniu.

A teraz ešte hádanka k dobrej večeri:

Adam si vypráža volské oko v tvare polkruhu. Aké najväčšie polkruhové volské oko sa dá pripraviť na panvici v tvare štvorca?

Úloha má pekné riešenie, zaujímavé je už len vôbec si dobre vymyslieť, ako vpísať ten maximálny polkruh do štvorca...

Hádanka z kúpeľne

Hádanka inšpirovaná hrou vo vode.

Vo vani pláva loďka (plastová miska), v ktorej je položený kovový panáčik. Náhle sa loďka nakloní a panáčik vypadne a klesne na dno vane. Do loďky sa nenabrala žiadna voda. Čo sa stalo s vodnou hladinou vo vani, keď do vody padol panáčik? Stúpla, klesla alebo nebodaj ostala na tej istej úrovni?

Piati matematici a káva

Bolo by krásne, keby sme sa mohli teraz v čase letných dovoleniek stať svedkami takéhoto výjavu:

V reštaurácii sedí päť kamarátov, matematikov. Príde k nim čašníčka a pýta sa: "Prosíte si všetci kávu?"

Na to odpovie prvý matematik: "Neviem."

Potom odpovie druhý matematik: "Neviem."

Pridá sa tretí matematik: "Neviem."

Štvrtý matematik tiež povie: "Neviem," no a potom sa ozve piaty matematik a vraví: "Nie."

Čašníčka bola bystrá a vzdelaná žena a tak sa o chvíľu vrátila so správnym počtom káv a správne ich rozdala hosťom.

Koľko ich bolo a kto dostal kávu? Prečo?

12 guličiek, a teraz už naozaj

Ak vás riešenie predchádzajúcej hádanky nezdržalo oveľa viac ako čítanie jej zadania, môžme prejsť rovno k veci. Takto znie "ostrá" verzia:

Na stole je 12 identicky vyzerajúcich guličiek. 11 z nich má rovnakú hmotnosť, jedna z nich má o kúsok inú hmotnosť ako ostatné (neviete, či je ťažšia alebo ľahšia). Ako pomocou dvojramenných váh zistíte, ktorá gulička je tá iná? Viete to zistiť tromi váženiami?

Na záver dodajme, že podľa wikipédie bola táto hádanka prvý raz publikovaná v roku 1945. (Tipol by som, že hádanka je ale staršia.)

Ak vás ani riešenie tejto verzie príliš nepotrápilo, tak ste nepolepšiteľný matematik a ostáva pre vás už len úlohou zistiť, koľko vážení je potrebných na rozlíšenie jednej inej guličky spomedzi spomedzi n guličiek. Prípadne opačne, ak máte k dispozícií k vážení, aká veľká môže byť východzia skupina guličiek obsahujúca jednu guličku inej hmotnosti.

12 guličiek, rozcvička

V pondelok ráno si jeden študent odo mňa pýtal hádanku, aby sa zabavil. Prvá, na ktorú som si spomenul je klasická hádanka o 12 guličkách a porovnávacích (dvojramenných) váhach. Prekvapilo ma, že ju ešte nepoznal. Napriek tomu, že je to klasika, nakoniec sa ukázalo, že ju nemá vyriešenú nikto v ročníku, čo je dôvodom túto hádanku publikovať aj tu, a predostrieť ju tak ďalšej generácii riešiteľov :-)

Najprv ale jej ľahšiu, rozcvičkovú verziu:

Na stole je 12 identicky vyzerajúcich guličiek. 11 z nich má rovnakú hmotnosť, jedna z nich je o kúsok ťažšia. Ako pomocou dvojramenných váh zistíte, ktorá gulička je tá ťažšia? Viete to zistiť tromi váženiami?

Ak áno, môžme prejsť k plnej verzii problému.

Back of a napkin...

Obdivujem ľudí, ktorí dokážu z hlavy alebo na okraji servítky spočítať veľmi dobré odhady komplexných problémov bez detailných vstupných dát. Umeniu guesstimations alebo Back of a napkin calculations som sa ja zatiaľ najviac priučil z tejto knižky a zo stránky fermiquestions.com. Fascinovaní týmto fenoménom sme s Miriam založili na túto tému aj jednu kešku v Bratislave.

Dnes ráno mi jeden môj študent priniesol nepovinnú domácu úlohu napísanú na papierovej vreckovke. Riešenie úlohy mu napadlo na tréningu, kde nemal po ruke papier. Nebola to síce odhadovka a kľudne si chalan k tomu mohol sadnúť doma nad papierom, ale to, že to odovzdal napísané na "back of a napkin" ma aj tak hrozne potešilo a pobavilo.

Ako cvičenie si môžte sami vyskúšať dokázať ľahkú nerovnosť - súčet dĺžok ťažníc v trojuholníku je vždy väčší ako polovica jeho obvodu.

Tri štvorce

V bezodnej studnici zaujímavých úloh od Martina Gardnera som narazil na takúto:

Bez použitia trigonometrie, iba s použitím elementárnej matematiky dokážte, že pre tieto uhly platí x=y+z.

1, 2, 4, 8, 16, ...

Lukáš mi včera poslal hádanku:

1, 2, 4, 8, 16, ?, ?, ?, ?, 256, ...

Klasické zadanie - aké čísla by mali byť na miestach s otáznikmi? Ako bude postupnosť pokračovať?

Skúste sa s tým trochu pohrať. O pár dní sem napíšem niečo k riešeniam a pekne bez servítky poviem, čo si o takýchto úlohách myslím :-)

Aký uhol viete zostrojiť?

Čaro konštrukcií iba za použitia pravítka (bez mierky) a kružidla dnes už asi málokto ocení. Ak patríte medzi málo-ktorých, a hádanke ste sa ešte nevenovali, možno vás pobaví úloha:

Aký v stupňoch najmenší celočíselný uhol dokážete zostrojiť pomocou pravítka bez mierky a kružidla?

http://mathandmore.fridoverweij.com/files/compass_ruler.png

Sobotné upratovanie

Pohľad na jeden zvláštny zoznam ma prinútil naformulovať nasledujúcu hádanku.

V sobotu ráno chcel ísť Jožko von. Mamička mu však dala podmienku. Keďže je sobota, treba upratovať. Pustí Jožka von, ak si splní svoje domáce povinnosti. Prosím, nahliadnite:

Kedy bude môcť ísť Jožko von?

Troll pred kabinetom

Pred kabinetom ma dnes zastavil troll. Presnejšie, visel mi na dverách odkaz:

Ak to nie je čitateľné, tak zopakujem:

Pred kabinetom Vás zastavil troll. Má dve hlavy, obe v rovnakej výške, horizontálne vzdialené 2 metre. Vo vrecku ste si našli pištol, ktorú vám tam pribalila Mima. Guľky z tejto pištole lietajú po trajektórii sin(x) s periódou 2π metra. Ako ďaleko treba stáť od trolla, aby ste ho zabili jednou šupou?

Skvelá, vtipne zadaná hádanka. Navyše sa dá vyriešiť v priebehu 30 sekúnd, hoci pôsobí hrozivo (to bude tým trollom). Takto nejak si predstavujem parádny začiatok dňa.

Ďakujem Ti, Jano, máš u mňa salónku:-)

Hádanka na dnes

Teraz je jeden zo vzácnych okamihov, kedy si riešenie nasledujúcej hádanky môžete sami úplne legálne overiť.

Zhrniem otázku - čo sa stane, ak raketu z ohňostroja ukotvíte pár-metrovým špagátom k zemi. Akú dráhu popíše predtým, než vybuchne? Skúste si spraviť mentálny experiment a ak máte pre podobné veci podobný zápal a lásku ako ja, tak si výsledok následne prakticky overte :-)

Rýchle logické chuťovky III. a IV.

Ďalšie dve hádanky zo série dorazme naraz.

Tento raz uvažujme o dvoch bratoch. Jeden sa volá Janko a druhý nie. Jeden z nich vždy klame a druhý zas vždy vraví pravdu, ale nevieme, či je Janko klamár alebo pravdovravec. Jedného dňa ich stretnete obidvoch naraz. Chcete vedieť, ktorý je ktorý, môžete pritom jednému z nich položiť trojslovnú (alebo štvorslovnú) otázku. Čo sa treba opýtať?

Posledná hádanka:

Uvažujme rovnakú situáciu ako minule. Tento raz nás nezaujíma, ktorý je Janko, ale chceme zistiť, ktorý z nich dvoch je ten, čo hovorí vždy pravdu. Akú trojslovnú (alebo štvorslovnú) otázku sa treba jedného z nich opýtať?

Rýchle logické chuťovky II.

Pridávam ďalšiu hádanku zo sľúbenej série. Pozrite si najprv prvú, ak ste ju ešte neriešili.

Tento raz je úloha veľmi podobná. Opäť stretnete na ulici jedného z našich troch bratov. Zmeňme ale podmienku - Janko a Jurko nech sú pravdovravní, Vilko nech je luhár. A vy znova chcete vedieť, či je ten, ktorého ste stretli, Janko. Akú jedinú, najviac trojslovnú, otázku mu treba položiť?

Rýchle logické chuťovky I.

Cez leto sme si s Miriam čítali útlu knižku od nášho obľúbenca Raymonda Smullyana, 5000 BC and Other Philosophical Fantasies. Príjemná kolekcia sviežich myšlienok, ktorá okrem filozoficky ladených textov obsahuje aj pár matematických hádaniek. S prvákmi sa práve zaoberáme výrokovou logikou a tak zopár zo Smullyanovych hádaniek v najbližších dňoch zverejním. Ako zvyčajne, bez súhlasu autora, v dobrej viere, že by sa na mňa nehneval, ak by sa o tom dozvedel.

Žili raz traja bratia - Janko, Jurko a Vilko. Janko a Jurko sú zarytí klamári - každé tvrdenie, ktoré vyslovia, je nepravdivé. Viliam je zase vášnivý pravdovravec, nehovorí nikdy nič iné ako pravdivé výroky. Títo traja bratia sú výzorom dokonalé trojčatá, nedajú sa pohľadom rozlíšiť. V jedno pekné ráno stretnete jedného z nich na ulici a radi by ste vedeli, či to je Janko. Janko vám totiž dlží peniaze. Komplikácia je v tom, že dotyčnému neznámemu bratovi môžete položiť iba jednu otázku a to navyše takú, že sa na ňu bude dať odpovedať iba áno alebo nie. K tomu všetkému vaša otázka nesmie byť viac ako trojslovná. Čo sa treba spýtať a ako podľa odpovede budete vedieť, s kým máte tú česť?

Nájdite pravdivé tvrdenie

Na papieri je takýchto sto viet:

"Presne 1 veta na tomto papieri je nepravdivá.
Presne 2 vety na tomto papieri sú nepravdivé. 
Presne 3 vety na tomto papieri sú nepravdivé.
...
Presne 100 viet na tomto papieri je nepravdivých."

Ktoré tvrdenie (tvrdenia) sú pravdivé? Nie je to moja vlastná úloha, priklad som kdesi dávnejšie vyčítal. Ak si chcete overiť svoje riešenie, nájdete ho v tomto obrázku.

Úloha by bola trochu ťažšia, keby sto viet bolo sformulovaných trochu inak:

"Aspoň 1 tvrdenie na tomto papieri je nepravdivé.
Aspoň 2 tvrdenia na tomto papieri sú nepravdivé.
Aspoň 3 tvrdenia na tomto papieri sú nepravdivé.
...
Aspoň 100 tvrdení na tomto papieri je nepravdivých."

Vedeli by ste rozlúsknuť, ktoré tvrdenie (tvrdenia) sú pravdivé v tomto prípade? Svoje riešenie môžete napísať do komentárov.