Hádanka z kúpeľne

Hádanka inšpirovaná hrou vo vode.

Vo vani pláva loďka (plastová miska), v ktorej je položený kovový panáčik. Náhle sa loďka nakloní a panáčik vypadne a klesne na dno vane. Do loďky sa nenabrala žiadna voda. Čo sa stalo s vodnou hladinou vo vani, keď do vody padol panáčik? Stúpla, klesla alebo nebodaj ostala na tej istej úrovni?

Piati matematici a káva

Bolo by krásne, keby sme sa mohli teraz v čase letných dovoleniek stať svedkami takéhoto výjavu:

V reštaurácii sedí päť kamarátov, matematikov. Príde k nim čašníčka a pýta sa: "Prosíte si všetci kávu?"

Na to odpovie prvý matematik: "Neviem."

Potom odpovie druhý matematik: "Neviem."

Pridá sa tretí matematik: "Neviem."

Štvrtý matematik tiež povie: "Neviem," no a potom sa ozve piaty matematik a vraví: "Nie."

Čašníčka bola bystrá a vzdelaná žena a tak sa o chvíľu vrátila so správnym počtom káv a správne ich rozdala hosťom.

Koľko ich bolo a kto dostal kávu? Prečo?

1, 2, 4, 8, 16, ...

Lukáš mi včera poslal hádanku:

1, 2, 4, 8, 16, ?, ?, ?, ?, 256, ...

Klasické zadanie - aké čísla by mali byť na miestach s otáznikmi? Ako bude postupnosť pokračovať?

Skúste sa s tým trochu pohrať. O pár dní sem napíšem niečo k riešeniam a pekne bez servítky poviem, čo si o takýchto úlohách myslím :-)

Rýchlostný trik húseníc

Vďaka Lukášovi som nedávno objavil chlapíka, ktorý sa volá Destin a vyrába skvelé videá, nájdete ich viac na channeli SmarterEveryDay. Určite sa oplatí cez leto si pár jeho videí pozrieť!

Pred pár dňami som akurát pozeral tuto toto s húsenicami:



Trik týchto húseníc spočíva v tom, že keď sa pohybujú "na kope", ako celok sa presúvajú rýchlejšie, než by sa dokázali presunúť jednotlivé húsenice zvlášť. Je to spôsobené tým, že húsenice "na poschodí" sa pohybujú ako keby po pohyblivom páse (conveyor belt) a teda majú väčšiu výslednú rýchlosť voči zemi, než akú by mali, keby išli priamo po zemi. Celá skupina sa teda v priemere hýbe smerom k cieľu rýchlejšie.

Tento efekt sa Destin snaží vysvetliť v jednoduchej simulácii s LEGOm. A na konci simulácie spraví taký ten typický trik, ktorý robíme, keď sa nám zdá myšlienka jasná, ale nechce sa nám to dotiahnuť do konca :-) "...so we have two levels, so does it mean that this moves twice as fast? No, it doesn't. Do the math for me by looking at these grids and let me know in the comments, how much faster..."

Tak čo, ako to vidíte vy? Vedeli by ste úvahu dokončiť a povedať, koľkokrát rýchlejšie sa hýbu LEGO húsenice, ak idú v takomto dvojposchodovom húfe? Let me know in the comments, how much faster...

Hint: Keď som sa snažil niečo spočítať a potom to porovnať s počtom prejdých bodiek na LEGO mriežke, stále mi to nejako nesedelo. Potom som si uvedomil, že Destinov nápad s porovnaním modrých kociek je mierne zavádzajúci - pretože modrá v kope sa nepohybuje stále rovnako rýchlo. Ak by sme chceli použiť počítanie bodov na mriežke na porovnanie rýchlostí, bolo by lepšie počkať až kým sa modrá nevráti znovu na chvost kopy, alebo porovnávať radšej niečo iné...

Sobotné upratovanie

Pohľad na jeden zvláštny zoznam ma prinútil naformulovať nasledujúcu hádanku.

V sobotu ráno chcel ísť Jožko von. Mamička mu však dala podmienku. Keďže je sobota, treba upratovať. Pustí Jožka von, ak si splní svoje domáce povinnosti. Prosím, nahliadnite:

Kedy bude môcť ísť Jožko von?

Nájdite pravdivé tvrdenie

Na papieri je takýchto sto viet:

"Presne 1 veta na tomto papieri je nepravdivá.
Presne 2 vety na tomto papieri sú nepravdivé. 
Presne 3 vety na tomto papieri sú nepravdivé.
...
Presne 100 viet na tomto papieri je nepravdivých."

Ktoré tvrdenie (tvrdenia) sú pravdivé? Nie je to moja vlastná úloha, priklad som kdesi dávnejšie vyčítal. Ak si chcete overiť svoje riešenie, nájdete ho v tomto obrázku.

Úloha by bola trochu ťažšia, keby sto viet bolo sformulovaných trochu inak:

"Aspoň 1 tvrdenie na tomto papieri je nepravdivé.
Aspoň 2 tvrdenia na tomto papieri sú nepravdivé.
Aspoň 3 tvrdenia na tomto papieri sú nepravdivé.
...
Aspoň 100 tvrdení na tomto papieri je nepravdivých."

Vedeli by ste rozlúsknuť, ktoré tvrdenie (tvrdenia) sú pravdivé v tomto prípade? Svoje riešenie môžete napísať do komentárov.

Egocentrické sekvencie

Švagor Samo mi predložil peknú hádanku.

Ak hodnota čísla n ukazuje, na ktorej pozícii desatinného rozvoja π ho môžeme nájsť, tak číslo n nazývame egocentrickým (no lebo ukazuje na seba).

Egocentrickým číslom je napríklad 1, lebo na prvej pozícii desatinného rozvoja π je 1. Najbližším egocentrickým číslom je 16 470, lebo počnúc 16 470-tou pozíciou vyzerá desatinný rozvoj π takto: 164703245812...

Otázka: Koľko je egocentrických čísel?

Mohlo by sa zdať, že ich bude nekonečne veľa, veď v nekonečnom rozvoji iracionálneho čísla π by to nemal byť problém. Na druhej strane, "čím ďalej" do desatinného rozvoja sa pozeráme, tým dlhšie by muselo dané egocentrické číslo byť.

Dúfam, že vás v tieto teplé letné dni hádanka zabaví. Ak chcete, môžete svoje riešenie zdieľať v komentároch.

Poznámka: Niektorí programátori indexujú od nuly. Pre nich sú najmenšie egoistické čísla 6, 27, 13598.

Jablkový koláč

Jedným z mnoha fantastických koláčov, ktoré pravidelne pečie moja žena, je klasický americký apple pie. Je to pekný koláč kruhového tvaru s mriežkou na vrchu.

A práve tá mriežka je zaujímavá. Aj keď skutočná prax sa schematizmu nedrží do bodky, mriežka vzniká približne takto:

A teraz hádanka. Akú časť plochy koláča prekrýva mriežka, ak presne dodržíme takýto postup? Ako táto plocha závisí od počtu pásikov, na ktoré plátok cesta rozkrájame? (Predpokladajme, že pásiky sú rovnako široké.)

Mince a šachovnica

Hádanku z minulého týždňa mi Dano N. opätoval ešte drsnejšou hádankou s mincami a šachovnicou:

Vovedú vás do miestnosti, v ktorej je stôl. Na stole leží šachovnica. Na každom políčku šachovnice je minca. Mince môžu byť otočené hlavou alebo znakom nahor, pred vstupom do miestnosti ale toto rozloženie nepoznáte. Chlapík v miestnosti vám prstom ukáže na jednu mincu. Vy následne musíte otočiť ľubovoľnú mincu na šachovnici (jedinú).

Potom vás z miestnosti odvedú preč a vovedú do miestnosti vášho kamaráta. Jeho úlohou je určiť, na ktorú mincu vám predtým ukázal chlapík. Otázkou je, akú stratégiu si s vaším kamarátom máte dohodnúť, aby bol túto úlohu schopný splniť?

Poznámka: Riešenie má byť opäť algoritmické, nie "fyzikálno-trikovo-empirické". Mince sú proste nuly a jednotky na políčkach šachovnice.

Oplatí sa to?

Na matike sme s piatakmi narazili na zauíjmavý problém (inšpirovaný týmto videom). Predstavte si takúto situáciu:

Na začiatku hry máte nejaké peniaze, napríklad 100 eur. Dohodneme sa na nejakom konkrétnom počte kôl, ktoré hru budeme hrať a potom hráme. Jedno kolo vyzerá takto:

Hodíte mincou.
Ak padne hlava, dám vám 50% sumy, ktorú momentálne máte.
Ak padne znak, vezmem si 40% vašej sumy, ktorú práve máte v hre.

Opakujeme dohodnutý počet kôl. Po odohraní dohodnutého počtu kôl hra končí. Hru hráme len raz.

Komu sa táto hra oplatí viac?

Keby sme sa napríklad dohodli na štyroch opakovaniach hry, po štyroch kolách by ste mohli mať takéto rôzne výsledky:



Všetkých 16 priebehov hry je rovnako pravdepodobných. Priemerná konečná bilancia je teda súčet všetkých zostatkov delený 16, teda zhruba 121,55 eura. Vyzerá to tak, že situácia je naklonená vo váš prospech. Na vec sa však dá pozrieť aj z inej strany - so ziskom končíte len v 5 zo 16 možných scenárov. Inými slovami - s väčšou pravdepodobnosťou skôr prehráte, s menšou pravdepodobnosťou však vyhráte veľa peňazí. Čo to hovorí o vašej šanci na úspech a očakávanom zisku, ak sme sa dohodli, že celú hru hráme len raz? Hrali by ste takúto hru? Ako by sa to zmenilo, keby sme hrali menej alebo viac kôl?

Ako by ste túto hru teda interpretovali? Je pre vás výhodná, alebo nie?

Zápalky

Včera sme sa u nás s priateľmi hrali so zápalkami. Spomenuli sme si aj na jeden klasický zápalkový hlavolam – zo šiestich zápaliek treba vytvoriť 4 rovnostranné trojuholníky. Nádhernú radu k tejto úlohe dáva Miloš Zapletal v knižke s hlavolamami: „Raz som ťa už v podobnej situácii upozornil: počítaj s tretím rozmerom!“ (svoje riešenie si môžete overiť tu.)

Nás to motivovalo k formulovaniu podobnej hádanky: Poskladajte z 10 zápaliek 10 trojuholníkov! A inšpirovaní Milošom Zapletalom pripájame hint: „Ak sa ti nedarí, vezmi rozum do hrsti a zápalky si predstav len v hlave. A hlavne: počítaj so štvrtým rozmerom!“

Na záver pripájam jeden biblický verš z listu Efezanom 3:18 – snáď ma nikto neodsúdi za herézy ak poviem, že sa tento verš k téme o štyroch rozmeroch super hodí: „...aby ste tak zakorenení a upevnení v láske mohli pochopiť, aká je to šírka, dĺžka, výška a hĺbka....“

Kocková klasika

Adam a Boris sa hrajú s kockami. Každý hádže jednou kockou. Kto hodí vyššie číslo, vyhráva. Ak hodia rovnako, je remíza. Úplne jednoduchá situácia, príklad, ktorý úspešne už tretí rok uvádzam na jednej z prvých hodín matiky, keď sa ideme baviť o pravdepodobnosti. Je to jeden z takých príkladov, na ktorom si človek s radosťou buduje dôveru v Laplaceovu schému a v podstate každý študent rýchlo sám zistí, že pravdepodobnosť výhry je necelých 42%. Ak si zapisujeme Adamov hod ako prvý a Borisov ako druhý, tak modré políčka v tejto matici sú tie prípady, kedy vyhráva Boris, žlté Adam a tie zvyšné sú remíza:



Do dnes nostalgicky spomínam ako som túto úlohu zadával minuloročným piatakom. Im totiž úloha hrozne silno pripomenula hru Macháček, ktorú som predtým nepoznal. Je to tak jednoduchá, zaujímavá a zároveň hlúpa hra, že som sa rozhodol, aj na počesť minuloročných piatakov z 5.B uviesť linku na jej znenie. Tu je.

Študentská verzia je nealkoholická - kto prehrá dané kolo, musí vypiť pohár vody. Prehráva ten, kto musí prvý odísť na toalety. V tejto verzii sa teoreticky dá prísť o život. Vypitím veľkého množstva vody v krátkom čase totiž v dôsledku osmózy (dokonale vysvetlená tu) môže dôjsť k takému zväčšeniu buniek, že sa výrazne obmedzí prietok krvi v mozgu. Väčší objem tekutín v tele je tiež záťažou pre srdce a samozrejme obličky. Kdesi som čítal, že 18 litrov čistej vody (takej s málo minerálmi) za hodinu môže byť smrteľných [citation needed :-)].

Na záver ešte jedna hádanka s kockami: Čo je pravdepodobnejšie, že pri štyroch hodoch jednou kockou padne aspoň jedna šestka, alebo že pri 24 hodoch dvoma kockami padne aspoň jedenkrát dvojica (6,6)?

Krájanie omelety

Môj oco robieva super omelety. Na jeho omeletách je matematicky zaujímavý spôsob krájania, ktorý asi pred 10-15 rokmi môj oco pri krájaní omeliet vymyslel (alebo nezávisle objavil, v prípade, že je takéto krájanie známe). Pokus o znázornenie:



Popíšem krájanie aj slovne. Najprv omeletu treba rozkrájať štyrmi rezmi vedenými cez stred omelety na 8 rovnakých častí. Potom treba každú osminku ešte rozrezať na 3 časti pomocou dvoch kolmíc tak, ako je znázornené na prvých dvoch obrázkoch (kliknite si na obrázok a pozrite si to zväčšené): najprv z priesečníka jedného z polomerov s okrajom omelety vedieme kolmicu na susedný polomer, a potom z päty tejto kolmice ďalšiu kolmicu naspäť na pôvodný polomer. Takto treba rozkrájať všetky osminky. A omeleta bude chutiť ako nikdy predtým.

Hádanka: V akom pomere sú obsahy troch typov geometrických útvarov, ktoré sa v tomto krájaní vyskytujú? (dva trojuholníky a jeden krivočiary trojuholník - jedna jeho "strana" je tvorená časťou obvodu omelety, všetky tri typy útvarov sú zvýraznené čiernou v treťom obrázku)

Krájanie trojuholníka

Môj viacnásobný spolužiak (tzn., boli sme spolužiaci na 3 rôznych školách) Rišo, ktorý teraz pracuje na ETH Zürich (som naňho hrdý) mi pred pár dňami poslal v mejli niekoľko dobrých hádaniek:

1. Nastrihajte rovnostranný trojuholník na čo najmenej častí a poskladajte z nich štvorec.

2. Dá sa pravidelný štvorsten rozdeliť na niekoľko častí, z ktorých by sa potom dala zložiť kocka?

Hint k prvej hádanke: stačia 4 časti.
Hint k druhej hádanke: malo by sa dať dokázať, že to nejde.

Vzdialenosť na guli (sfére)

Ďaľšia hádanka, ktorá nadväzuje na včerajšiu, je o kus trikovejšia a hádam má šancu na chvíľu pobaviť aj nejakého matfyzáka:

Z Bratislavy sa vydáte po rovnobežke na západ. Prejdete (po povrchu Zeme) 1000 km, koncový bod vašej cesty nazvime A. Aká je vzdialenosť bodu A, meraná po povrchu Zeme, od Bratislavy?

Hint: Vzdialenosť chápeme ako najkratšiu krivku spájajúcu dva body. V bežných situáciách je to obyčajná úsečka. Na Zemeguli sa s úsečkami môžeme rozlúčiť - dokonalú úsečku na povrch gule proste nenakreslíme. Ak chceme teda hľadať vzdialenosť bodov na guli, musíme ich spájať niečím iným, napríklad kružnicami (kružnicovými oblúkmi). To sa dá robiť veľa spôsobmi. Najkratšiu spojnicu získame tak, že cez body vedieme kružnicu s najväčším možným polomerom, aký sa dá - oblúk takejto kružnice je najrovnejšia čiara, akú na guľu možno nakresliť, cesta medzi dvomi bodmi na guli je práve po tomto oblúku najkratšia.

Rovnobežka prechádzajúca Bratislavou je kružnica, ktorej polomer je menší ako polomer Zeme. Preto rovnobežka určite nie je najkratšia cesta do bodu A. Najkratšia cesta bude viesť po kruhovom oblúku, ktorý je časťou kružnice prechádzajúcej Bratislavou a A, s polomerom rovným polomeru Zeme (ak neviete, ako ju nájsť, tak spravte rez Zeme rovinou danou bodmi A, Bratislavou a stredom Zeme:-), to je totiž najväčšia kružnica a najrovnejšia čiara, akú na povrch Zeme dokážeme nakresliť.

Krivky popisujúce najkratšiu vzdialenosť medzi danými bodmi na nejakej ploche sa nazývajú geodetiky a viac sa o nich možno dozvedieť napríklad u doc. Božeka na diferenciálnej geometrii na matfyze.

Pohyb po guli (sfére)

Veľa teraz premýšľam o goniometrických funkciách, pretože sa im práve s tretiakmi venujeme. Prechod od ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku k ľubovoľnému reálnemu číslu a jeho obrazu na jednotkovej kružnici a súvis takéhoto "čuda" zas len s obyčajným pravouhlým trojuholníkom nie je úplne najľahší. V snahe pristúpiť k téme čo najlepšie si ju veľa omielam v hlave. To ma včera večer priviedlo k riešeniu v podstate úplne prirodzenej a nie veľmi zložitej úlohy:

Predstavte si, že by sme sa z Bratislavy vybrali 1000 km presne na juh. Potom by sme putovali 1000 km presne na východ, odtiaľ 1000 km na sever a napokon by sme prešli ešte 1000 km na západ. Kde by sme skončili?

Keby Bratislava bolo mesto na Zemeploche, tak by sme na konci cesty skončili opäť v Bratislave. Na Zemeguli sa však poludníky zbiehajú, a preto keď prejdete napr. 1000 km po rovníku, tak "pretnete menej poludníkov", ako keď rovnakú vzdialenosť prejdete napríklad po rovnobežke prechádzajúcej Bratislavou. Výsledkom našej úlohy by teda malo byť miesto ležiace od Bratislavy kúsok na západ. Ak si úlohu chcete sami prepočítať, súradnice bilgymu v Petržalke sú zhruba 48,1° N, 17,1° E. Ja som rátal s polomerom Zeme 6378 km. Nič viac ako predstavivosť a použitie goniometrických funkcií k riešeniu netreba.

K tejto téme sa viaže absolútna klasika matematických hádaniek: Z miesta, na ktorom stojíte, prejdete 100 km na juh, potom 100 km na východ a nakoniec 100 km na sever. Nakoniec stojíte znovu na tom istom mieste, z ktorého ste vychádzali. Kde je toto miesto? Úloha má nekonečne veľa riešení (aj keď mám nutkanie povedať, že je ich skôr "nekonečno + 1").

Nedotýkajúce sa body

edit: Pozor, zadanie je trochu problematické, opravené znenie definície nájdete v komentároch.

V knižke Martina Gardnera som narazil na zaujímavý pojem: nontouching points. Rovinná definícia by mohla znieť takto:

Body X a Y sa nedotýkajú ak existuje r>0 také, že bod Y neleží v kruhu s polomerom r a stredom X. Množina nedotýkajúcich sa bodov je taká množina bodov, z ktorých sa žiadne dva nedotýkajú.

Úplne polopate povedané - 2 body sa nedotýkajú ak ich od seba vieme oddeliť kružnicou. S takýmito bodmi sa dajú vymýšľať rôzne hádanky. Napríklad:

1. Koľko takýchto bodov sa dá "nakresliť" do štvorca v rovine?

2. Vedeli by ste vymyslieť nejaký predpis/systém na určenie spočítateľného nekonečna nedotýkajúcich sa bodov v štvorci?

3. Dalo by sa v štvorci určiť nespočítateľné množstvo nedotýkajúcich sa bodov? Vedeli by ste určiť nejaký predpis/systém, alebo dokázať, že sa to nedá?

Veta o výškach a stranách v trojuholníku

Včera mi jeden študent poslal mejlom takéto tvrdenie:

V ľubovoľnom trojuholníku ABC platí:


kde a, b, c, v_a, v_b, v_c sú dĺžky strán a k nim prislúchajúcich výšok.

Tvrdenie sa dá úplne triviálne priamo dokázať s využitím elementárnej aritmetiky a geometrie. Vedeli by ste tvrdenie dokázať aj nejako krajšie - napríklad obrázkom?

Sodík, chlorečnan draselný a parafín

Včera som mal veľkú radosť - na Zero Seminari rozprával kolega M. Košuth o rôznych spôsoboch ako sa dá vyrobiť oheň. V tomto krátkom videu je zostrih rôznych experimentov, ktorými sme sa včera zabávali.



Len stručne: part I., sodík je alkalický kov, v čistej forme veľmi reaktívny napríklad aj s vodou - z molekuly vody vytlačí jeden vodík a s OH skupinou vytvorí super žieravú zásadu hydroxid sodný (výborne tým vyčistíte napríklad upchatý sifón a odpadové potrubia, lebo rozkladá mastnotu). Keď hodíte kus sodíka do zohriatej vody, odchádzajúci vodík dokáže vzplanúť. Zaujímavá je otázka, prečo sa ten vodík sám zapáli (bez škrtnutia zápalky)?

part II., chlorečnan draselný sa rozpadá na chlorid draselný (neškodná soľ, používa sa aj v liečivách alebo potravinách) a čistý kyslík. Čistý kyslík výborne horí. Keď do skúmavky, ktorej atmosféra je plná kyslíka vložíte tlejúcu špajlu, znovu sa rozhorí. Keď to preženiete, dá sa roztopiť skúmavka :-)

part III., parafín. Najnepochopiteľnejší z včerajších experimentov a pri tom najjednoduchší z hľadiska použitého materiálu - obyčajná sviečka. Skúmavka s vriacim voskom pri ponorení do studenej vody praskne a zo skúmavky vyletí horúci obsah, ktorý vo vzduchu zhorí. Zaujímavé otázky: Prečo sa parafín vo vzduchu opäť sám vznieti? Prečo vyletí do vzduchu?

x^(1/x)

Minulý piatok sme sa s priateľom Lukášom a bratom Radom dostali k veľmi peknému problému. Rozmýšľali sme o funkcii x tej odmocniny z x. Vedel som, ako približne vyzerá jej graf. Pomerne ľahké je ukázať, že maximum funkcia naozaj nadobúda pre e. Zaujímavá je otázka, kam by klesala krivka, keby sme sa pozreli trochu "viac doprava". Pomerne rýchlo sa dá uveriť, že limita tejto funkcie pre x idúce do nekonečna bude 1 (skúste si na kalkulačke zrátať napríklad tísícu odmocninu z tisíc...).

Zvyšok večera nám vyplnilo šialené hľadanie inflexných bodov. Keďže v okolí nuly vyzerá krivka konkávne a v maxime konvexne, nejaký inflexný bod musí ležať medzi nulou a e. No a keďže v limite nesklesá k mínus nekonečnu, ale k jednotke, tak ďaľší inflexný bod musí ležať aj napravo od e. Rovnice, ktoré sme dostávali po druhom zderivovaní sme proste nevedeli vyriešiť. Inflexné body našiel Rado s pomocou výpočtovej sily svojho laptopu, ale analyticky sme riešenie vyjadriť nedokázali.Otázka pre vyspelejších matematikov: Viete sa k tým inflexným bodom nejako vyjadriť? Dá sa rovnica f''(x) = 0 nejako analyticky vyriešiť, alebo sa treba uspokojiť s tými numerickými riešeniami?

Na záver ešte jedna filozoficko matematická hádanka pre vyspelých matematikov: Keď sme sa snažili nájsť to analytické vyjadrenie inflexných bodov, môj brat intuitívne tipol e+e^1/2, čo sa od jedného z inflexných bodov líši len o maličký kúsok. To je len náhoda, alebo sa ten inflexný bod dá nejako tak podobne vyjadriť?