štvrtok 18. februára 2010

Bystré otázky

Mám rád, keď sa študenti na hodine pýtajú. Pokiaľ to nie sú zabité otázky typu "Kedy si môžem prísť dopísať písomku z minulého týždňa," uprostred riešenia nejakého zložitejšieho problému:-)

Za niektoré otázky v duchu študentom ďakujem, hlavne ak pohnú hodinu presne tým smerom, ktorým som zamýšľal ísť. Dodá to hodine viac spádu a motivácie.

Veľkú radosť urobia rôzne briskné otázky, hoci tie človeka vedia pekne zaskočiť. Napríklad, že prečo sa nepárna odmocnina nedefinuje aj pre záporné čísla. Prvák Maťo sa ma zas stále snaží presvedčiť, že delenie nulou je v poriadku, a že hocičo delené nulou dáva nekonečno. Argumentuje rôznymi fyzikálnymi vzorcami. Neviem ho presvedčiť ani grafom funkcie 1/x. Tento týždeň zabodovala aj študentka Saša - keď sme sa s prvákmi tak zľahka dotkli témy polynómov s jednou premennou, a ja som na tabuľu napísal klasickú všeobecnú definíciu, správne namietla, že to, čo som napísal predsa obsahuje oveľa viac, ako jednu premennú (je ich tam n+2).

Najviac ma ale v ostatnom čase potešila 7 ročná "Kikolína" z detskej družiny mojej manželky Miriam. Ako trieda boli spolu na vedeckej výstave. Najprv ich tam chlapík presviedčal, že na svete neexistujú dva rovnaké objekty. Že ani len tie matice, čo na páse vyrábajú v nejakej fabrike, nie sú rovnaké. Pretože všetky hmotné objekty sa skladajú z atómov a tie sú vždy trochu inak uložené a nikdy ich nie je rovnako veľa. O chvíľu mali deti priložiť ruku k trom predmetom (s rôznou vodivosťou tepla) a mali rozhodnúť, ktorý z objektov je teplejší/studenší. Sprievodca deti následne informoval, že všetky objekty majú presne 21°C. Na to sa ozvala Kika: "Ale veď ste vraveli, že žiadne dve veci nie sú rovnaké, ako teda môžu mať všetky tri rovnakú teplotu?".

5 komentárov:

Charon ME povedal(a)...

vsak to delenie nulou sa da vhodne "dodefinovat" :) Tie argumenty z fyziky by ma zaujimali, vsak vo fyzike je maloco presne nulove a este menej je toho nekonecneho. Mam podozrenie na "dokaz kruhom". Co by sa s jeho fyzikalnymi argumentami stalo, keby sme nimi isli dokazovat, ze x/0=5? No a nakoniec zaporne realne cisla by snad nemali po dodefinovanom deleni nulou davat to iste ako kladne (a uz vobec netusim co by chlapec chcel aby davalo 0/0).

Anonymný povedal(a)...

Ten "génius" čo vie deliť nulou som ja.
Jeden je o počte odrazov v zrkadle (alebo lepšie povedané koľko krát objekt vidíme). a ten vzorec je nejak takto (360/$uhol). A keď je uhol 0 tak to vychádza nekonečno.

Charon ME povedal(a)...

zdravim genia :)
"(360/$uhol). A keď je uhol 0 tak to vychádza nekonečno." - ked pouzijem tvoju logiku na dokaz x/0=5, tak v pripade ze uhol=0 vychadza odrazov 360/0=5, cize som dokazal ze x/0=5 ? :)

Inak ten vzorec je zly, lebo nepocita s konecnou rychlostou svetla a ani s faktom, ze nie uplne vsetko svetlo sa od zrkadla odrazi - daco sa aj pohlti alebo odrazi inym smerom.

chalmo povedal(a)...

Hm...delenie nulou moze byt obcas zmysluplne definovane, len treba byt velmi opatrny. Napr. ak zoberieme komplexne cisla a doplnime ich bodom nekonecno, tak to celkom ma zmysel (geometricky je to stereograficka projekcia roviny komplexnych cisel na gulovy plochu, pricom nekonecno je prave stred projekcie).

To doplnenie nekonecna suvisi s prechodom do projektivneho priestoru, kde sa niektore veci spravaju inak.

rasťo povedal(a)...

Vdaka za komentare!

V prvom rade chcem povzbudit anonymneho "genia", ze je dobre, ze ho taketo veci trapia. Naozaj je to tak, ze pri pocitani s obycajnymi realnymi cislami sa nulou delit neda. Vznikali by rozne nezmysly (napriklad by sa takto dalo ukazat, ze 1=2):

http://www.math.toronto.edu/mathnet/falseProofs/first1eq2.html

Tie fyzikalne argumenty maju zmysel, ale netreba v nich delit nulou - ja by som to povedal tak, ze zmensovanim uhlu sa stale zvacsuje pocet odrazov (v teoretickom modeli, v praktickom svete je ten pocet asi obmedzeny). V podstate je to nieco ako ten graf y=1/x. Ked po nom ideme sprava smerom k nule, tak hodnoty rastu neobmedzene k plus nekonecnu, ked ideme zlava, tak k minus nekonecnu. Preto to delenie v realnych cislach zmysel nema.

No a projektivne priestory tak to je naozaj specialitka. To, o com pisal Chalmo najdete na wiki napriklad ako Riemannovu sferu (http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere). Keby sme sa chceli pre zaciatok vyhnut komplexnym cislam, mohli by sme podobnu vec pozorovat na projektivnej realnej priamke (http://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_line):

Predstavme si, ze k priamke reprezentujucej vsetky realne cisla prilozime kruznicu s nejakym nenulovym polomerom tak, aby sa v bode 0 dotykala priamky. Cez bod dotyku si teraz predstavme priemer kruznice. Krajny bod priemeru leziaci oproti bodu dotyku teraz nazvime S, ako stred projekcie. Teraz kazdemu realnemu cislu mozno priradit presne jeden bod na tejto kruznici a to tak, ze bod na realnej priamke useckou spojime s S a to, kde spojnica pretne kruznicu, to je projekcia toho realneho cisla. Keby sme s realnym cislom isli stale viac a viac "doprava", smerom k "+nekonecnu", tak sa jeho projekcia bude stale viac a viac blizit k S. Podobne ak budeme premietat zaporne cisla bliziace sa k -nekonecnu, bude sa ich projekcia priblizovat k S. Mozme to teda rovno uzavriet tak, ze do bodu S sa premietne "plus aj minus nekonecno" (v uvodzovkach je to preto, lebo +/-nekonecno nie su realne cisla). A je z neho akesi jedno bezznamienkove nekonecno, a cele to funguje uz trochu inak potom... ale da sa tam delit nulou.

Problemy na ktore si treba dat pozor su v tom, ze pocitanie na takejto realnej projektivnej priamke nie je celkom obycajne, a ze napriklad by sa tam nedalo spravit nekonecno plus nekonecno a podobne... to je ta opatrnost.