Rezy kocky

Dnešný príspevok je venovaný hlavne mojim druhákom z bilgymu.

Rezom kocky je zvyčajne mnohouholník, ktorý je prienikom danej roviny a danej kocky. Na tomto mnohouholníku sú najzaujímavejšie jeho strany. Tie totiž zviditeľnujú, kde presne daná rovina kocku "rozrezala". Čiže, keď študujeme rezy kocky, tak sa zaoberáme hlavne prienikom nejakej (danej) roviny a stien kocky.

Samozrejme, rezom kocky môže byť v špeciálnych prípadoch aj niečo iné ako mnohouholník - napríklad úsečka alebo bod. (Úloha pre mojich študentov: no vážne, skúste sa nad tým zamyslieť a vymyslieť také zadanie, aby nastala takáto situácia!)

Nasledujúce tri vyriešené príklady by mali pokrývať všetky triky, ktoré sme sa pri rezoch naučili:

V prvom príklade sa "nič zvláštne" nedeje. V prvých dvoch krokoch sme pospájali dané body určujúce rezovú rovinu. Úsečky, ktoré tak vznikli ležia v stenách kocky, a teda sú stranami rezu. V treťom a v piatom kroku sme využili vetu o tom, že dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina v dvoch rovnobežných priesečniciach. Toto je veľmi užitočná veta pri hľadaní rezov - strany rezu ležiace v protiľahlých stenách kocky sú vždy rovnobežné.

Druhý príklad je o kúsok ťažší a okrem finty s rovnobežnosťou strán rezu (kroky 6 a 9) sme využili vetu, ktorá tvrdí, že ak máme dané tri roviny, z ktorých sú každé dve rôznobežné a všetky tri roviny majú spoločný bod, tak potom sa v tomto bode pretínajú aj všetky tri priesečnice týchto rovín.

Pre istotu to doplním. Priamka KL leží v rovine spodnej podstavy kocky. Každý bod na priamke KL je bodom rezovej roviny a zároveň roviny spodnej podstavy kocky. Čiže je ich priesečnicou. Priamka CB je zas priesečnicou roviny spodnej podstavy a roviny pravej steny kocky. Pretože obidve priesečnice ležia v rovine podstavy, tak vzniknutý priesečník R1 nie je len fiktívny "akože-priesečník" dvoch mimobežiek premietnutých do 2D, ale je to naozajstný priesečník dvoch rôznobežných priamok. No a keďže je to priesečník priamok KL a BC, tak tento priesečník má okrem iného aj dve krásne vlastnosti: leží v rovine pravej steny kocky a leží v rovine rezu. Preto ho môžeme spojiť s bodom M a pokračovať...

Posledný príklad sa síce tvári zložito, ale nie je to nič hrozné. Problém, ktorý môže nepripraveného bežného občana vydesiť je v tom, že žiadne dva body určujúce rezovú rovinu neležia v jednej rovine určenej niektorou zo stien kocky.

Keď spojíme body R a Q, vznikne nám priamka, ktorá kocku "prepichne", zďaleka však nebude obsahovať niektorú zo strán rezu. Ak sa nám však podarí zistiť, kde má táto priamka prienik s rovinou podstavy kocky, tak tento bod (S) budeme môcť spojiť s bodom P, ktorý tiež leží v podstave.

Priesečník roviny a priamky (s ňou rôznobežnej) sa hľadá tak, že najprv priamku vnoríme do nejakej vhodnej roviny, nájdeme priesečnicu týchto dvoch rovín. Tá bude iste rôznobežná s danou priamkou a ich priesečník je hľadaným priesečníkom danej roviny a priamky.

V našej kocke sme priamku RQ preložili rovinou RQQ'. Je to rovina kolmá na podstavu. (Áno, Slnko nám zasvietilo zhora na kocku, ktorú sme položili na rovník...) Kolmými rovinami sa priamky v kocke prekladajú dobre, keďže v kocke sú pravé uhly doslova "na každom rohu"... :-)