Sto čísel v obálke

Mali sme dnes v škole takú súťaž na štýl Jeopardy. Pri jednej z otázok z matiky nebolo dosť času precítiť správnu odpoveď, preto ju pre prípadných záujemcov uvádzam tu:

V obálke je sto lístočkov. Na každom lístočku je jedno prirodzené číslo od 1 do 100, každé práve raz. Koľko lístočkov musíme prinajmenšom z obálky naslepo vytiahnuť, aby sme mali úplnú istotu, že sme medzi nimi vytiahli aj dve také čísla, ktorých rozdiel je deliteľný 7?

K správnej odpovedi sa dá dopracovať napríklad takto: Predstavme si, že slepá náhoda nie je vôbec slepá, ale že je naopak, veľmi manipulatívna a zákerná. Vašu ruku šikovne navádza tak, aby čo najviac oddialila moment, v ktorom si vytiahnete číslo, ktoré s niektorým už vytiahnutým tvorí rozdiel deliteľný 7. Ako by to prebiehalo? Predstavme si, že ako prvé si vytiahnete číslo, ktoré po delení 7 dáva zvyšok 1. Z rozumných dôvodov ho pomenujme 7a+1. Teraz náhoda nesmie dovoliť, aby druhé číslo bolo napr. 7b+1, pretože (7b+1) - (7a+1) = 7(b-a). V skutočnosti je to naozaj tak, že ak má byť rozdiel dvoch čísel deliteľný 7, musia tieto dve čísla samé o sebe dávať rovnaký zvyšok po delení 7. Nech je teda druhé číslo rovné napr. 7b+2. Tretie 7c+3. Ďalšie by mohli byť 7d+4, 7e+5, 7f+6, 7g. Z týchto siedmich sa naozaj nedá vybrať dvojica, ktorej rozdiel by bol deliteľný 7, vždy ostane nejaký zvyšok. Ak však teraz vytiahneme ôsme číslo, zákerná náhoda už nemá šancu - číslo s ľubovoľným zvyškom po delení 7 totiž môžeme dať do páru s príslušným číslom s rovnakým zvyškom z už vybraných siedmich - zvyšky sa odrátajú a je to.

Samozrejme, skutočná náhoda nie je zákerná, ale ľahostajná a preto - keby sme pokus robili naživo, zrejme by sa nám vo väčšine opakovaní pokusu podarilo vytiahnuť dvojicu skôr, než v ôsmom ťahu. Po ôsmom ťahaní však budeme mať dvojicu čísel s rozdielom deliteľným 7 zaručene vždy, v každom prípade.