Sto čísel v obálke

Mali sme dnes v škole takú súťaž na štýl Jeopardy. Pri jednej z otázok z matiky nebolo dosť času precítiť správnu odpoveď, preto ju pre prípadných záujemcov uvádzam tu:

V obálke je sto lístočkov. Na každom lístočku je jedno prirodzené číslo od 1 do 100, každé práve raz. Koľko lístočkov musíme prinajmenšom z obálky naslepo vytiahnuť, aby sme mali úplnú istotu, že sme medzi nimi vytiahli aj dve také čísla, ktorých rozdiel je deliteľný 7?

K správnej odpovedi sa dá dopracovať napríklad takto: Predstavme si, že slepá náhoda nie je vôbec slepá, ale že je naopak, veľmi manipulatívna a zákerná. Vašu ruku šikovne navádza tak, aby čo najviac oddialila moment, v ktorom si vytiahnete číslo, ktoré s niektorým už vytiahnutým tvorí rozdiel deliteľný 7. Ako by to prebiehalo? Predstavme si, že ako prvé si vytiahnete číslo, ktoré po delení 7 dáva zvyšok 1. Z rozumných dôvodov ho pomenujme 7a+1. Teraz náhoda nesmie dovoliť, aby druhé číslo bolo napr. 7b+1, pretože (7b+1) - (7a+1) = 7(b-a). V skutočnosti je to naozaj tak, že ak má byť rozdiel dvoch čísel deliteľný 7, musia tieto dve čísla samé o sebe dávať rovnaký zvyšok po delení 7. Nech je teda druhé číslo rovné napr. 7b+2. Tretie 7c+3. Ďalšie by mohli byť 7d+4, 7e+5, 7f+6, 7g. Z týchto siedmich sa naozaj nedá vybrať dvojica, ktorej rozdiel by bol deliteľný 7, vždy ostane nejaký zvyšok. Ak však teraz vytiahneme ôsme číslo, zákerná náhoda už nemá šancu - číslo s ľubovoľným zvyškom po delení 7 totiž môžeme dať do páru s príslušným číslom s rovnakým zvyškom z už vybraných siedmich - zvyšky sa odrátajú a je to.

Samozrejme, skutočná náhoda nie je zákerná, ale ľahostajná a preto - keby sme pokus robili naživo, zrejme by sa nám vo väčšine opakovaní pokusu podarilo vytiahnuť dvojicu skôr, než v ôsmom ťahu. Po ôsmom ťahaní však budeme mať dvojicu čísel s rozdielom deliteľným 7 zaručene vždy, v každom prípade.

Pravda o existencii Santa Clausa

Dnes taký už trochu vianočný príspevok. Text o existencii Santa Clausa napísal môj žiak a poprosil ma, aby som ho sem zavesil:-)

Program Zero Seminar na december

Toto nás čaká do Vianoc:

Pripájam zopár fotiek z dneška - takéto skvelé veci sme dnes videli (Aspergillus):

Koľko asi tak váži slon?

V prvom balíčku adventného kalendára, ktorý mi Miriam nachystala som si našiel okrem sušeného ovocia aj malý lístoček. Nebolo na ňom žiadne vianočné zamyslenie, ani biblický veršík, ale asi 7 odhadových úloh (a keďže mám rád odhady, veľmi ma to potešilo). Do práce som odchádzal síce polohladný, ale s príjemným uvedomením, že ročne je moje telo prepláchané zvnútra asi desiatimi hektolitrami vody a že v živote som určite nevidel viac ako pol milióna rôznych ľudí...

Nestálo by to za zmienku (veď, koho už len trápi, čo som mal na raňajky...), keby som sa k odhadom dnes zhodou náhod nedostal znova - piataci sa pred seminárom sporili, aký ťažký môže byť taký priemerný slon. Druhá priama výzva k odhadom v jeden deň, to je fakt šťastie.

Nie je to ťažká úloha, ak máte chuť, skúste si to!

(Môžete skúsiť napríklad najprv odhadnúť rozmery slona, pomôže vám ak si ho načrtnete, aby ste mali tie odhady proporčné... potom zvážte priemernú hustotu slona - podobne ako človek je asi hlavne z vody, čiže kilogram na liter, no a potom ho aproximujte napríklad vhodným kvádrom alebo valcom...) Nám odhad vyšiel na 4,8 tony. To bolo radosti, keď sme na answers.com našli vetu : "It is mostly dependent upon the species of elephant that your are referring, however the average weight of an adult African Elephant is 4.6 Tons."