streda 12. októbra 2011

Pohyb po guli (sfére)

Veľa teraz premýšľam o goniometrických funkciách, pretože sa im práve s tretiakmi venujeme. Prechod od ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku k ľubovoľnému reálnemu číslu a jeho obrazu na jednotkovej kružnici a súvis takéhoto "čuda" zas len s obyčajným pravouhlým trojuholníkom nie je úplne najľahší. V snahe pristúpiť k téme čo najlepšie si ju veľa omielam v hlave. To ma včera večer priviedlo k riešeniu v podstate úplne prirodzenej a nie veľmi zložitej úlohy:

Predstavte si, že by sme sa z Bratislavy vybrali 1000 km presne na juh. Potom by sme putovali 1000 km presne na východ, odtiaľ 1000 km na sever a napokon by sme prešli ešte 1000 km na západ. Kde by sme skončili?

Keby Bratislava bolo mesto na Zemeploche, tak by sme na konci cesty skončili opäť v Bratislave. Na Zemeguli sa však poludníky zbiehajú, a preto keď prejdete napr. 1000 km po rovníku, tak "pretnete menej poludníkov", ako keď rovnakú vzdialenosť prejdete napríklad po rovnobežke prechádzajúcej Bratislavou. Výsledkom našej úlohy by teda malo byť miesto ležiace od Bratislavy kúsok na západ. Ak si úlohu chcete sami prepočítať, súradnice bilgymu v Petržalke sú zhruba 48,1° N, 17,1° E. Ja som rátal s polomerom Zeme 6378 km. Nič viac ako predstavivosť a použitie goniometrických funkcií k riešeniu netreba.

K tejto téme sa viaže absolútna klasika matematických hádaniek: Z miesta, na ktorom stojíte, prejdete 100 km na juh, potom 100 km na východ a nakoniec 100 km na sever. Nakoniec stojíte znovu na tom istom mieste, z ktorého ste vychádzali. Kde je toto miesto? Úloha má nekonečne veľa riešení (aj keď mám nutkanie povedať, že je ich skôr "nekonečno + 1").

2 komentáre:

Daniel Nagaj povedal(a)...

a to si ešte zabudol na ďalšie nekonečno nekonečien riešení okrem toho nekonečna + 1

rasťo povedal(a)...

Hej, pravdu mas, ale uz som si spomenul.

Ale teraz som si nie celkom isty, oprav ma, ak sa mylim: je to spocitatelne nekonecno nespocitatelnych nekonecien bodov, z ktorych to funguje, ze? :-)