Prečo je prázdna množina podmnožinou každej množiny?

S prvákmi preberáme množiny. Venujeme sa im len tak zľahka, ale už sa na hodinách vyskytli niektoré zaujímavé otázky, ktoré si zaslúžia pozornosť. Prvá vlna mierneho začudovania a trochu aj odporu sa ozvala, keď sme sa začali zaoberať podmnožinami a povedali sme si, že prázdna množina je podmnožinou každej množiny. Toto tvrdenie sa dá ľahko dokázať, stačí sa zamyslieť nad definíciami podmnožiny a prázdnej množiny.


Čo je to podmnožina? Množina A je podmnožinou množiny B práve vtedy, keď každý prvok množiny A patrí zároveň aj množine B. Napríklad A = {1; 2; 3} je podmnožinou B = {0; 1; 2; 3; 7}.

Množina A nie je podmnožinou množiny B, ak existuje taký prvok x, ktorý patrí množine A a nepatrí množine B.

Čo je to prázdna množina? Prázdna množina je taká množina, ktorá nemá žiaden prvok. Mohlo by nás to zvádzať povedať, že prázdna množina je vlastne "nič", ale nie je to celkom pravda. Prázdna množina je "niečo" = veď je to predsa množina. Akurát, že nemá žiadne prvky, teda, "je v nej nič", je prázdna.

Tvrdenie. "Prázdna množina je podmnožinou ľubovoľnej (= každej) množiny."

Dôkaz. Sú len dve možnosti. Buď tvrdenie platí, alebo neplatí. Predpokladajme, že Tvrdenie neplatí, teda, že platí jeho negácia (presný opak):

"Existuje taká množina B, že prázdna množina nie je jej podmnožinou."

To však znamená, že existuje taký prvok x, ktorý patrí prázdnej množine, a zároveň nepatrí množine B. Ale to je nezmysel, pretože prázdna množina neobsahuje žiadne prvky. Z predpokladu, že Tvrdenie neplatí, sme dospeli k sporu. Teda tvrdenie platí.

Komentár. Logický postup, ktorý sme v dôkaze použili sa nazýva dôkaz sporom. Tvrdenie sa v tomto type dôkazu dokazuje tak, že najprv predpokladáme, že tvrdenie neplatí. Potom z toho vyvodzujeme dôsledky, až kým nenarazíme na nezmysel. Keďže dôsledky vyvodzujeme poctivým logickým usudzovaním, chyba musela vzniknúť na začiatku - v predpoklade, že tvrdenie neplatí.