Koľko prázdnych množín existuje?

V súvislosti s prázdnou množinou sa dnes v 1.B objavila ešte jedna, s filozofiou hraničiaca, otázka:

Koľko prázdnych množín existuje?

Táto otázka sa vynorila, keď sme rozmýšľali, koľko rôznych podmnožín má konečná množina M. Celkom oprávnene padla otázka, či sa to "nič", ktoré obsahuje prázdna množina nedá z tej množiny M "vytiahnuť" viacerými spôsobmi, a či teda nemôže existovať viacero prázdnych množín. Skôr, než si ukážeme ako to naozaj je, pripomeňme si ešte definíciu rovnosti dvoch množín.

Kedy sa dve množiny rovnajú? Množiny A a B sa rovnajú vtedy, keď obsahujú presne tie isté prvky. Ekvivalentne povedané, A=B práve vtedy, keď A je podmnožinou B a zároveň B je podmnožinou A.

Keď platí, že A=B, tak to v skutočnosti už ani nie sú dve rôzne množiny, ale jedna množina s dvomi rôznymi pomenovaniami.

Tvrdenie. "Existuje jediná prázdna množina."

Dôkaz. Predpokladajme, že by existovali dve prázdne množiny. Prázdna množina X a prázdna množina Y. V minulom príspevku sme si ukázali, že prázdna množina je podmnožinou každej množiny. Preto platí, že X je podmnožinou Y a zároveň Y je podmnožinou X. To ale znamená, že X=Y.

Komentár. Na záver ešte malý koment. V angličtine sa prázdna množina nazýva "empty set". A pretože prázdna množina je len jedna, nepoužíva sa neurčitý člen "an empty set", ale "the empty set".