streda, 9. septembra 2009

Koľko prázdnych množín existuje?

V súvislosti s prázdnou množinou sa dnes v 1.B objavila ešte jedna, s filozofiou hraničiaca, otázka:

Koľko prázdnych množín existuje?

Táto otázka sa vynorila, keď sme rozmýšľali, koľko rôznych podmnožín má konečná množina M. Celkom oprávnene padla otázka, či sa to "nič", ktoré obsahuje prázdna množina nedá z tej množiny M "vytiahnuť" viacerými spôsobmi, a či teda nemôže existovať viacero prázdnych množín. Skôr, než si ukážeme ako to naozaj je, pripomeňme si ešte definíciu rovnosti dvoch množín.

Kedy sa dve množiny rovnajú? Množiny A a B sa rovnajú vtedy, keď obsahujú presne tie isté prvky. Ekvivalentne povedané, A=B práve vtedy, keď A je podmnožinou B a zároveň B je podmnožinou A.

Keď platí, že A=B, tak to v skutočnosti už ani nie sú dve rôzne množiny, ale jedna množina s dvomi rôznymi pomenovaniami.

Tvrdenie. "Existuje jediná prázdna množina."

Dôkaz. Predpokladajme, že by existovali dve prázdne množiny. Prázdna množina X a prázdna množina Y. V minulom príspevku sme si ukázali, že prázdna množina je podmnožinou každej množiny. Preto platí, že X je podmnožinou Y a zároveň Y je podmnožinou X. To ale znamená, že X=Y.

Komentár. Na záver ešte malý koment. V angličtine sa prázdna množina nazýva "empty set". A pretože prázdna množina je len jedna, nepoužíva sa neurčitý člen "an empty set", ale "the empty set".

Prečo je prázdna množina podmnožinou každej množiny?

S prvákmi preberáme množiny. Venujeme sa im len tak zľahka, ale už sa na hodinách vyskytli niektoré zaujímavé otázky, ktoré si zaslúžia pozornosť. Prvá vlna mierneho začudovania a trochu aj odporu sa ozvala, keď sme sa začali zaoberať podmnožinami a povedali sme si, že prázdna množina je podmnožinou každej množiny. Toto tvrdenie sa dá ľahko dokázať, stačí sa zamyslieť nad definíciami podmnožiny a prázdnej množiny.


Čo je to podmnožina? Množina A je podmnožinou množiny B práve vtedy, keď každý prvok množiny A patrí zároveň aj množine B. Napríklad A = {1; 2; 3} je podmnožinou B = {0; 1; 2; 3; 7}.

Množina A nie je podmnožinou množiny B, ak existuje taký prvok x, ktorý patrí množine A a nepatrí množine B.

Čo je to prázdna množina? Prázdna množina je taká množina, ktorá nemá žiaden prvok. Mohlo by nás to zvádzať povedať, že prázdna množina je vlastne "nič", ale nie je to celkom pravda. Prázdna množina je "niečo" = veď je to predsa množina. Akurát, že nemá žiadne prvky, teda, "je v nej nič", je prázdna.

Tvrdenie. "Prázdna množina je podmnožinou ľubovoľnej (= každej) množiny."

Dôkaz. Sú len dve možnosti. Buď tvrdenie platí, alebo neplatí. Predpokladajme, že Tvrdenie neplatí, teda, že platí jeho negácia (presný opak):

"Existuje taká množina B, že prázdna množina nie je jej podmnožinou."

To však znamená, že existuje taký prvok x, ktorý patrí prázdnej množine, a zároveň nepatrí množine B. Ale to je nezmysel, pretože prázdna množina neobsahuje žiadne prvky. Z predpokladu, že Tvrdenie neplatí, sme dospeli k sporu. Teda tvrdenie platí.

Komentár. Logický postup, ktorý sme v dôkaze použili sa nazýva dôkaz sporom. Tvrdenie sa v tomto type dôkazu dokazuje tak, že najprv predpokladáme, že tvrdenie neplatí. Potom z toho vyvodzujeme dôsledky, až kým nenarazíme na nezmysel. Keďže dôsledky vyvodzujeme poctivým logickým usudzovaním, chyba musela vzniknúť na začiatku - v predpoklade, že tvrdenie neplatí.