V súvislosti s mimobežkami sa definujú dva podobné pojmy - priečka mimobežiek a os mimobežiek. Priečka mimobežiek je ľubovoľná priamka (resp. úsečka), ktorá pretína obidve mimobežky. Je jasné, že k dvojici mimobežných priamok existuje nepreberne veľa priečok. Existuje však len jedna špeciálna priečka, ktorá je kolmá na obidve mimobežky. Táto sa nazýva os mimobežiek, a dĺžka úsečky, ktorú na osi tieto dve mimobežky vytínajú, sa rovná vzdialenosti mimobežiek.
Ja som si tieto dva pojmy hrozne dlho plietol, dokonca som raz kvôli priečke mimobežiek vyletel zo skúšky:-) Dôvod, prečo som si ich plietol by mal byť jasný z obrázku. Úplne vľavo je zobrazený rebrík. Nuž, rebrík má priečky. A priečky na rebríku zväčša určujú najkratšiu vzdialenosť medzi tými dvoma dlhými priamymi latkami rebríka. A navyše na slušných rebríkoch zvyknú tieto priečky byť kolmé na obidve tieto latky. To ma plietlo a stále ma to vracalo k presvedčeniu, že najkratšia úsečka spájajúca dve mimobežky sa tiež volá priečka...
Navždy si to správne zapamätať mi pomohol až vedúci mojej diplomovky, doc. Božek, ktorý mi vysvetlil, prečo sa os mimobežiek volá tak, ako sa volá. V skratke: "Volá sa to os mimobežiek preto, lebo je to os mimobežiek." :-) Os je priamka, podľa ktorej je nejaký objekt symetrický. Napríklad taká tvár môže byť symetrická (aj keď u naozajstných ľudí zvyčajne nie je). Spojnica stredu podstavy a vrcholu je napríklad osou symetrie kužeľa.
No a presne tak je to aj s osou mimobežiek. Keď sa na dve mimobežky pozrieme ako na jednu množinu bodov priestoru, tak táto množina je symetrická a jednou z osí jej symetrie je priamka, ktorú voláme - os mimobežiek:-) Navyše táto os je špeciálna ešte tým, že keby sme podľa nej mimobežky osovo zobrazili, zobrazila by sa každá z nich sama na seba.
Na záver hádanka pre predstavivosť: Majú ľubovoľné dve mimobežky ešte nejakú ďalšiu os symetrie? Viete popísať jej polohu?
Poznámka 12.4: Pripájam obrázok ku kukovmu riešeniu hádanky, ktoré nájdete v komentároch.
4 komentáre:
Ahoj Rasto. Tak, konecne mi pripadla cest byt opat prvym kto komentuje, s odpovedou na zaverecnu otazku.
[SPOILER WARNING]
Ja si myslim, ze dalsou osou symetrie je nevlastna priamka, ktora je tvorena dvomi nevlastnymi bodmi kazdej z mimobeziek. Tie body su rozne, kedze smerovy vektor priamok je tiez rozny. Kedze 3D priestor ma 1 nevlastnu rovinu, v nej existuje prave 1 nevlastna priamka pre lubovolne dve mimobezky. Tie su podla nej sumerne, skrze nevlastny bod kazdej z priamok.
[END OF SPOILER]
Snad to nie je prilis za vlasy pritiahnuta uvaha...
Jano
Ahoj Jano,
pravdu povediac, pri projektivnej geometrii ma vacsinou zalieva pocit neistoty, ale aj tak si takmer s istotou myslim, ze mas v uvahe chybu.
Totiz, v projektivnom priestore by mal k celej osnove rovnobeznych priamok priestoru prisluchat jeden nevlastny bod. Preto konstrukcia o ktorej ty pises, nemoze byt zobrazenie, ale iba nejaka relacia. Kazda z mimobeziek je cez svoj nevlastny bod v relacii so vsetkymi svojimi rovnobezkami...
Ale tieto uvahy by potrebovali cenzuru nejakeho naozajstneho geometra :-)
Tak som si zapredstavoval a predstavujem si to asi takto:
1) os mimobeziek je jedina os, ktora zobrazi priamku p na p a q na q... (pritom obom priamkam zmeni orientaciu)
2) okrem toho vsak existuje symetria, ktora zobrazi p na q a naopak a este jedna, ktora ich zobrazi s opacnou orientaciou
lepsie sa to predstavuje, ak obe mimobezky vnorime do dvoch rovnobeznych ploch (na obrazku su to plochy BCFG a ADEH; mimochodom tieto plochy su kolme na os-priecku p a q)
nase nove dve osi budu lezat na rovnobeznej ploche, ktora je v strede medzi tymito dvoma... uhol tychto priamok je taky, ze keby sme 3 plochy prilozili k sebe, dostaneme klasicke 2D osi priamiek (to su take, ktore rozpoluju uhol)
ku kazdym dvom mimobezkam existuju teda 3 osi symetrie, ktore su na seba navzajom kolme (tvoria pravouhlu sur. sust.)
dokonca by som si dovolil tvrdit, ze spolu s identitou su to vsetky symetrie dvoch mimobeziek; zdruzuju sa v Kleinovej 4-grupe
Ahoj kuko, pekne pekne, tak som to myslel, vdaka za koment :-)
Pripojim k hlavnemu clanku aj obrazok tychto dvoch dalsich osi. Cervena rovina je ta rovina rovnobezna rovina, o ktorej pisal kuko.
Cervena os zobrazi p na q, a q na p. Zelena os je kolma na cervenu a tiez zobrazi p na q a q na p, a pritom ich este "preklopi" (ta zmena orientacie, o ktorej pisal kuko).
btw. kuko nedávno napísal pekný článok do týždňa, prečítajte si ho tu.
Zverejnenie komentára