utorok 16. novembra 2010

x^(1/x)

Minulý piatok sme sa s priateľom Lukášom a bratom Radom dostali k veľmi peknému problému. Rozmýšľali sme o funkcii x tej odmocniny z x. Vedel som, ako približne vyzerá jej graf. Pomerne ľahké je ukázať, že maximum funkcia naozaj nadobúda pre e. Zaujímavá je otázka, kam by klesala krivka, keby sme sa pozreli trochu "viac doprava". Pomerne rýchlo sa dá uveriť, že limita tejto funkcie pre x idúce do nekonečna bude 1 (skúste si na kalkulačke zrátať napríklad tísícu odmocninu z tisíc...).

Zvyšok večera nám vyplnilo šialené hľadanie inflexných bodov. Keďže v okolí nuly vyzerá krivka konkávne a v maxime konvexne, nejaký inflexný bod musí ležať medzi nulou a e. No a keďže v limite nesklesá k mínus nekonečnu, ale k jednotke, tak ďaľší inflexný bod musí ležať aj napravo od e. Rovnice, ktoré sme dostávali po druhom zderivovaní sme proste nevedeli vyriešiť. Inflexné body našiel Rado s pomocou výpočtovej sily svojho laptopu, ale analyticky sme riešenie vyjadriť nedokázali.Otázka pre vyspelejších matematikov: Viete sa k tým inflexným bodom nejako vyjadriť? Dá sa rovnica f''(x) = 0 nejako analyticky vyriešiť, alebo sa treba uspokojiť s tými numerickými riešeniami?

Na záver ešte jedna filozoficko matematická hádanka pre vyspelých matematikov: Keď sme sa snažili nájsť to analytické vyjadrenie inflexných bodov, môj brat intuitívne tipol e+e1/2, čo sa od jedného z inflexných bodov líši len o maličký kúsok. To je len náhoda, alebo sa ten inflexný bod dá nejako tak podobne vyjadriť?

4 komentáre:

kuko povedal(a)...

no... jak pozeram na tabulu, dostal som sa tamtiez...
ten problem sa uz riesil ale tiez asi len numericky:
http://oeis.org/A093157
http://oeis.org/A103476
http://mathworld.wolfram.com/SteinersProblem.html

Jano Horváth povedal(a)...

ja pridavam jeden nematematicky postreh: jeej, akurat dnes sme na The Calculus ucili ze co su to inflexne body a dalsie veci o derivovani :) konecne aspon chapem aspon jednemu tvojmu matematickemu prispevku :)))

rasťo povedal(a)...

Ahoj Jano,
no vidis, na co je ten kalkulus dobry... zachrani cloveka, ked mu v piatok vecer nejde internet a chce sa s priatelmi dobre zabavit! :-)

Jano Horváth povedal(a)...

:) ja vtedy pozeram filmy... Ale kalkulus je tiez dobry napad ;) inak ty ako ucitel matematiky to urcite bude vediet: ako mi preberame matiku? algebra --> geometria --> capculus --> pokrocile calculusy? Alebo to ide nejak uplne inak? Ze to mame pomiesane?