streda 1. augusta 2012

Egocentrické sekvencie

Švagor Samo mi predložil peknú hádanku.

Ak hodnota čísla n ukazuje, na ktorej pozícii desatinného rozvoja π ho môžeme nájsť, tak číslo n nazývame egocentrickým (no lebo ukazuje na seba).

Egocentrickým číslom je napríklad 1, lebo na prvej pozícii desatinného rozvoja π je 1. Najbližším egocentrickým číslom je 16 470, lebo počnúc 16 470-tou pozíciou vyzerá desatinný rozvoj π takto: 164703245812...

Otázka: Koľko je egocentrických čísel?

Mohlo by sa zdať, že ich bude nekonečne veľa, veď v nekonečnom rozvoji iracionálneho čísla π by to nemal byť problém. Na druhej strane, "čím ďalej" do desatinného rozvoja sa pozeráme, tým dlhšie by muselo dané egocentrické číslo byť.

Dúfam, že vás v tieto teplé letné dni hádanka zabaví. Ak chcete, môžete svoje riešenie zdieľať v komentároch.

Poznámka: Niektorí programátori indexujú od nuly. Pre nich sú najmenšie egoistické čísla 6, 27, 13598.

3 komentáre:

rasťo povedal(a)...

Možno by sa žiadalo dodať, že aj táto úloha je problematická. Ak je pí normálne číslo, tak by sa pomocou pravdepodobností asi úloha mala dať vyriešiť (mne to v tomto prípade vychádza, že by malo existovať nekonečne veľa egocentrických čísel). Normálnosť pí ale nie je dokázaná...

Radoslav Harman povedal(a)...

Veľmi zaujímavá úloha, ale ťažká; možno až natoľko, že by ju nevedel vyriešiť ani Terence Tao :)

Pravdepodobnostné verzie tejto úlohy by predpokladali, že cifry generujeme nezávisle, rovnomerne náhodne na množine 0,...9. Potom by sme sa mohli pýtať napríklad: 1) Je pravdepodobnosť, že výsledné číslo bude obsahovať nekonečne veľa egocentrických čísiel, rovná 1? 2) Ak by sme spočítali počet X_n egocentrických čísiel po n-tú cifru, bude rásť stredná hodnota náhodných premenných X_n do nekonečna? Odpoveď na obe otázky je kladná.

Na druhej strane, nie som si istý, či normalita pí, čo je deterministický pojem, by už sama o sebe zaručovala to, že pí obsahuje nekonečne veľa egocentrických čísiel (hoci sa to aj mne zdá byť lákavé tvrdenie). Možno by sa nejakým trikom dalo skonštruovať iracionálne normálne číslo, ktoré neobsahuje dokonca ani jedno egocentrické číslo...

goober povedal(a)...

Tak tak... mne sa tiež zatiaľ zdá, že normalita (aspoň pri základe 10, ale možno dokonca ani absolútna) nemusí ešte zaručovať výskyt čo i len jedného egocentrického čísla. Len dôkaz toho bude asi trochu dlhší a zložitejší :-)