Dedko na bicykli

Včera som si v inboxe našiel mejl od môjho študenta:

"Ak si pamätáte, na prvého apríla ste nám porozprávali vtip o dedkovi, ktorý odporuje zákonom gravitácie. Nuž, rozhodol som sa so svojou myšou nakresliť komiks, ktorý zobrazuje tento vtip."

So Samovým súhlasom ten jeho komix teraz tu zverejňujem. Tu nájdete Samov profil na deviante. A Samovi odkazujem, že to pekne nakreslil a len tak ďalej.

Boh a deti

Moja staršia dcéra ešte nič netuší o Bohu na verbálnej alebo inak vedomej úrovni. Akékoľvek jej poznanie o Bohu má nulový prienik s tým typom porozumenia, ktoré je potrebné pre vzťah, a ktoré má napríklad o iných konceptoch (poznanie rodiny, susedov, niekoľkých konkrétnych zvierat,...). A myslím si, že to nie je špecifická črta nášho dieťaťa, ale prirodzená “bezbožnosť” prislúchajúca vývojovému stupňu dvojročných detí.

Konštatujem teda: Malé deti majú vzťah s rodičmi, so susedmi, poznajú tetu v obchode, majú rady zvieratká a rozpoznávajú geografické miesta, ktoré navštevujú. Ale nemajú vzťah s Bohom. Nemajú reálne poznanie Boha. V ich vedomí rozumejú Bohu rovnako ako číslovkám nad desať miliónov alebo národnému hospodárstvu.

Boh túžiaci po vzťahu s človekom stvoril svet, v ktorom absolútne nemá aktívny vzťah s tým najmilším a najkrajším, čo medzi ľuďmi je – s deťmi. A nikdy som nenarazil na apologéta zaoberajúceho sa touto myšlienkou.

 

Týmto textom sa nesnažím zosmiešniť Boha. Boha poznám tak málo a je pre mňa tak tajuplný, že by som to nedokázal. Týmto postrehom sa skôr snažím vysloviť vlastnú pochybnosť nad konceptom priateľského osobného Boha, s ktorým “môžeš mať vzťah aj ty”. Vylievam si tu horkosť na kňaza, ktorý mi povedal, že modlitba má byť skutočným rozhovorom s Bohom, rozhovorom, v ktorom hovoria obidve strany; na kazateľa, ktorý mi rozprával o tom, ako mu Boh hovorí, čo má robiť; na nespočet veriacich známych, ktorí tvrdia, že “Ježiš je ich priateľ”.

Takéto moderné, kamarátske (v niečom paradoxne priam profánne) poňatie Boha spôsobuje v ľuďoch, ktorí Boha vo svojej hlave nepočujú a jeho pôsobenie v zjavne prirodzenom chode sveta nevidia, dosť nepríjemné napätie, falošné očakávania a sklamanie.

Ako si dodať nádej na záver? Možností je viac, od príklonu k východokresťanskej rituálnosti, kde je svätosť Boha naozaj ukrytá za zložitými rituálmi a kde Boh len tak neskáče, ako si kto píska, cez šírenie reálnej skeptickej spätnej väzby kazateľom šíriacim poverčivé bizarnosti, až po - áno, toto by som si prial najviac: Keby tak Boh naozaj konečne jednoznačne prehovoril. Nielen do hláv pár ľudí. Normálne verejne. A vysvetlil, ako sa veci majú. Nech v tom máme všetci konečne jasno. To by som veľmi ocenil.

Tri štvorce

V bezodnej studnici zaujímavých úloh od Martina Gardnera som narazil na takúto:

Bez použitia trigonometrie, iba s použitím elementárnej matematiky dokážte, že pre tieto uhly platí x=y+z.

Elephant Toothpaste

Po dvoch rokoch sme sa opäť na Zero Seminári zabávali s peroxidom vodíka. Medzičasom sa mi podarilo zázračne dostať k slušnej zásobe jodidu draselného - moji rodičia mali plnú fľašku tejto úžasnej substancie celý čas zahrabanú niekde doma a tento týždeň pri upratovaní ju objavili.

Ďakujem teda mojim rodičom, že si na mňa spomenuli, a prikladám video využitia ich veľkorysého daru:



Poznámka pre tých, ktorí chcú vedieť ako to funguje: Jodid draselný katalyzuje rozpad peroxidu vodíka na vodu a kyslík. Kyslík odchádza v plynnej podobe. V banke sa na začiatku nachádza 30%-ný peroxid vodíka, trochu potravinového farbiva a dosť veľa saponátu na riad. To, čo tam vystresovaný študent nalial je roztok spomínaného jodidu draselného. Odchádzajúci kyslík sa zachytáva v saponátovej vode a vyrába fajnovú hustú penu. Celá reakcia je exotermická, takže nakoniec ostáva na stole ležať obrovská teplá kôpka kyslíkovo-parovej peny.

Ak nemáte tak dobre zásobených rodičov ako ja, podobný efekt dosiahnete s použitím v lekárni bežne dostupného manganistanu draselného. Kryštáliky treba rozpustiť vo vode, bude to krásne fialové. Po zreagovaní s peroxidom to bude zase prudko hnedé. Peroxid vodíka vyššej koncentrácie možno zohnať v kvalitných old-school drogériách, napríklad toť u nás v prízemí 12 poschodového domu na Fedinovej ulici v Petržalke.

Múdre vrany

Určite ste už počuli o tom, že vrany sú múdre a šikovné zvieratá. Tieto pekné jesenné dni sú úplne ideálne na to, aby ste sa po pár vranách v meste rozhliadli. Mňa tento víkend prekvapili dve vrany. V sobotu som s bratom kráčal po parkovisko pred domom, keď ponad nás preletela vrana a hodila nám blízko k nohám orech. Možno netrafila úplne presne, ale tušil som, o čo jej išlo, tak som na ten orech dupol, aby som rozlomil škrupinu. Vrana zatiaľ sedela na strome a čakala. Keď som spravil pár krokov, priletela k rozbitému orechu a vyjedla vnútro.

Dnes som videl ďalšiu vranu. Sedela na pouličnej lampe nad prechodom pre chodcov na Jiráskovej ulici a hádzala svoje orechy na cestu, rovno pod kolesá áut a autobusov. Prechod je ideálne miesto, občas tadiaľ prejdú chodci a vtedy nehrozí, že by vranu zrazilo auto.

Tieto dva víkendové zážitky s vranami sú ako z nejakej premrštenej populárno náučnej zoologickej knižky, ale presne tak to bolo.

Pripájam pár

liniek:
multi-step tool action test
raven inteligence test

obrázok: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Corbeau_branche_Kyo.jpg

Zas percentá...

Ako som sa už raz posťažoval, s používaním percentuálnych údajov to nie je medzi bežnými ľuďmi najlepšie. Aj dnes ráno na SME bije do očí*:

Ak bežný človek navštívi lekára 5,3-krát do roka a väzni v Leopoldove 35,5-krát, potom väzni chodia k lekárovi 6,7-krát častejšie ako bežní ľudia. Priemerný počet väzňových návštev je 670 percent priemerného počtu návštev neväzňa. Väzni teda vykonávajú v priemere o 570% viac návštev u lekára ako bežný človek. Nie o 670%.

Keby to nebolo jasné:
Kečup stál v pondelok 1 euro. V utorok zdraželi a už stojí 1,20 eura. Zdražel na 120% pôvodnej ceny. Jeho cena sa zvýšila o 20%. Nie o 120%.

Napísal som do SME, možno to časom opravia. http://www.sme.sk/c/6957791/vazni-v-leopoldove-boli-u-lekara-v-priemere-35-krat-do-roka.html#

*vlastne to do očí až tak nebije. To len vždy, keď vidím percentá, skepticky vyťahujem kalkulačku :-)

1, 2, 4, 8, 16, ...

Lukáš mi včera poslal hádanku:

1, 2, 4, 8, 16, ?, ?, ?, ?, 256, ...

Klasické zadanie - aké čísla by mali byť na miestach s otáznikmi? Ako bude postupnosť pokračovať?

Skúste sa s tým trochu pohrať. O pár dní sem napíšem niečo k riešeniam a pekne bez servítky poviem, čo si o takýchto úlohách myslím :-)

Škola zhora

Vypustiť balón naplnený héliom do stratosféry, nechať ho spraviť pár fotiek matičky Zeme, a potom ho pohľadať niekde v zarastených medziach pri Komárne, alebo ešte lepšie na nejakom zalesnenom úbočí v národnom parku... to by bolo skvelé. Chcelo by to ale investíciu rádovo v stovkách eur, kvalitné plánovanie a niekoľko hodín času. Raz sa na to dám.

Zatiaľ iný odľahčený projekt - navyše taký, čo sa celý dá stihnúť za 1 hodinu. Minulý piatok sme si na Zero seminári vlastnými silami vyrobili vodík. Žiadne bezzubé hélium z obchodu, inertný neškodný plyníček. Horľavý, ľahučký vodík, ako v bájnych vzducholodiach. Naplnili sme ním v priebehu 45 minút tri 60 litrové vrecia. Tajomstvo k takejto rýchlej produkcii je v chémii - nie hydrolýzou, ale chemickou reakciou - kyseliny chlorovodíkovej s hliníkom (super návod).

Potom už len pripnúť 50 metrový špagát, kamerku a išlo sa nad strechy:

Tu si môžete pozrieť viac fotiek.

Jednoduchšie riešenie

Vždy, keď nechám študentov na hodine samých počítať nejaký nový príklad bez návodu, otvára sa tým možnosť pre dva veľmi protichodné javy. Na jednej strane sa priam zákonite v triede po pár minútach začnú objavovať ľudia, ktorí to vzdajú. Proste bez jasnej inštrukcie/návodu, pociťujú bezradnosť a príklad nedoriešia. A na druhej strane sa pomerne často objavia ľudia, ktorí príklad vyriešia inak, než by som ho "vzorovo" vyriešil ja.

Občas sú alternatívne študentské riešenia oveľa geniálnejšie než spôsob riešenia, ktorý som mal v pláne ukázať. Tak napríklad - včera sme riešili, ako sa dá elementárnou trigonometriou zrátať v akej výške nad vodnou hladinou sa týči vrchol majáku. Poznáme výškové uhly, pod ktorými vidno vrchol majáka z dvoch bodov na hladine a poznáme aj vzdialenosť týchto bodov:

Nechal som študentov počítať samých. Pripravené riešenie som mal také štandardné - treba dvakrát použiť tangens, získať dve rovnice s 2 neznámymi, a tie potom už nejako dorátať:

Strašne som sa potešil, že jedna študentka, ešte nepokazená mojimi výkladmi si všimla, že práve rozloženie uhlov v tejto úlohe je veľmi výnimočné - doplnením susedného uhlu k tomu 60° a dorátaním zvyšného vnútorného uhlu v trojuholníku našla (napriek neproporčnosti zadaného obrázka) rovnoramenný trojuholník...

...a teda riešenie je triviálne, jednoriadkové.

Toto sú pre mňa v škole najkrajšie chvíle.

Little Boxes

Pri príležitosti blížiaceho sa začiatku školského roka mi nenapadá nič trefnejšie než americká folková speváčka Malvina Reynolds (originál je tu):



Little boxes on the hillside,
 Little boxes made of ticky tacky
 Little boxes on the hillside,
 Little boxes all the same,
 There's a green one and a pink one
 And a blue one and a yellow one
 And they're all made out of ticky tacky
 And they all look just the same.

And the people in the houses
 All went to the university
 Where they were put in boxes
 And they came out all the same
 And there's doctors and lawyers
 And business executives
 And they're all made out of ticky tacky
 And they all look just the same.

And they all play on the golf course
 And drink their martinis dry
 And they all have pretty children
 And the children go to school,
 And the children go to summer camp
 And then to the university
 Where they are put in boxes
 And they come out all the same.

And the boys go into business
 And marry and raise a family
 In boxes made of ticky tacky
 And they all look just the same,
 There's a green one and a pink one
 And a blue one and a yellow one
 And they're all made out of ticky tacky
 And they all look just the same.

Možno najdivnejší futbalový zápas v dejinách

Rado Harman na svojom blogu nedávno napísal: "Normálni chlapi sa v rámci oddychu rozprávajú o futbale, matematici si dávajú hlavolamy," nad čím by som sa obyčajne spokojne usmial, pretože aspoň v tejto veci mám bližšie k matematikom ako k normálnym chlapom. Ale práve teraz som čítal o jednom futbalovom zápase v knihe, ktorú napísal teoretický fyzik a matematik z University of Cambridge a tak si vravím - keď je dobrá zápletka, aj matematici sa pobavia futbalom.

Zápletka spočíva v systéme bodovania zápasov v rámci turnaja. Rôzne ligy a turnaje skúšajú podporiť atraktivitu hry rôznym oceňovaním výhier, remíz a prehier. Bežným systémom je udeliť víťaznému tímu 2 body, porazeným 0 bodov a v prípade remízy obidvom tímom po bode. Na podporenie útočnej hry sa začalo v niektorých súťažiach bodovať víťazstvo 3 bodmi.

Pomerne extravagantný vynález sa ale objavil v roku 1994 v Karibskom futbalovom pohári. Zaviedlo sa tu totiž pravidlo o zlatom góle - ak padne víťazný gól až v predĺžení, tento sa počíta za dva góly. Zradnosť takejto úpravy sa ukázala v kvalifikačnom zápase medzi Barbadosom a Grenadou. Barbados na postup potreboval zápas nad Grenadou vyhrať aspoň o dva góly. A vyzeralo to tak, že sa to aj podarí, Barbados viedol krátko pred koncom riadneho času 2-0. Vtom ale Grenada dala gól na 2-1. A teraz prišla úvaha na strane Barbadosu. Nie je ľahké, ani isté dať v posledných minútach gól na 3-1. Ak si má Barbados udržať šance na postup, oplatí sa mu viac streliť si vlastný gól na 2-2, dostať sa tak do predĺženia a tam potom skórovať zlatým gólom na 4-2! A tak si Barbados pár minút pred koncom 90-minútovky dal vlastný gól.

Vtedy však prišla úvaha na strane Grenady, ktorej stačilo, aby Barbados nevyhral o 2 a viac gólov. Grenade by stačilo prehrať 3-2. A tak sa rozhodli tiež si streliť vlastný gól, aby sa vyhli predĺženiu. Hráči Barbadosu ale presne túto myšlienku pochopili a tak sa pekne podujali brániť súperovu bránu.

Absurdná situácia: tím si chce streliť vlastný gól a súper mu bráni jeho vlastnú bránku. Nakoniec to dopadlo tak, že predĺženie sa konalo a Barbadosania dali gól, vyhrali 4-2 a postúpili.

Takýto futbal, aspoň takto teoreticky zaujme aj mňa. Ak máte chuť tu je fragment zápasu, a tu o tom rozpráva chlapík a spomína tam aj ďalší zaujímavý futbal :-)

Odhad zovšeobecneného narodeninového paradoxu podľa Halmosa

The joy of suddenly learning a former secret and the joy of suddenly discovering a hitherto unknown truth are the same to me -- both have the flash of enlightenment, the almost incredibly enhanced vision, and the ecstasy and euphoria of released tension.
P. Halmos, I want to be a Mathematician, 1985.

Moji študenti, teda aspoň tí, ktorí tesne pred hodinami so mnou nestrácajú chuť do života, poznajú maďarsko-amerického matematika Paula Halmosa. Niet totiž väčšej radosti ako tej, ktorú človek zažíva, keď rozochvenou rukou kreslí v pravom dolnom rohu dokončeného dôkazu "▯" - malý štvorček zvaný halmos, po Paulovi Halmosovi, ktorý túto grafickú skratku (významovo podobnú Q.E.D.) pomohol rozšíriť medzi matematikmi. A samozrejme, snažím sa, aby sme tých halmosov na matike mohli kresliť čo najviac.

Na Paula som pred pár dňami náhodou narazil pri krátkom texte J. D. Barrowa k narodeninovému paradoxu. Túto krásnu úlohu pokladám priam za kultúrne dedičstvo dvadsiateho storočia a tak sa jej venujem s každou študijnou skupinou, s ktorou narazíme na teóriu pravdepodobnosti. Barrow vo svojej knižke uvádza pekný odhad zovšeobecnenia úlohy, ktorý pochádza práve od Halmosa.

Nech nejaký parameter náhodne nadobúda n rôznych hodnôt (pri birthday probleme je n=365). Koľko ľudí treba náhodne vybrať, aby pravdepodobnosť výskytu aspoň dvojice s rovnakou hodnotou tohto parametru bola prinajmenšom 50%? Halmosov odhad je 1,18√n. Po tom, ako som si porovnal hodnoty z tohto vzorčeka s výpočtami pre niekoľko rôznych n sa mi vzorček páči ešte viac. Dúfam, že potešil aj Vás.

PS: Je strašne zaujímavé sledovať, ako takéto odhady vznikajú. Pamätám si, že nás na matfyze napríklad Chalmo učil robiť dolné a horné odhady zložitosti geometrických algoritmov. Ale keď pozerám na tohto Halmosa, tak nechápem, odkiaľ zbadal, že sa to správa takto "odmocninovo" a ako došiel na 1,18...

Rýchlostný trik húseníc

Vďaka Lukášovi som nedávno objavil chlapíka, ktorý sa volá Destin a vyrába skvelé videá, nájdete ich viac na channeli SmarterEveryDay. Určite sa oplatí cez leto si pár jeho videí pozrieť!

Pred pár dňami som akurát pozeral tuto toto s húsenicami:



Trik týchto húseníc spočíva v tom, že keď sa pohybujú "na kope", ako celok sa presúvajú rýchlejšie, než by sa dokázali presunúť jednotlivé húsenice zvlášť. Je to spôsobené tým, že húsenice "na poschodí" sa pohybujú ako keby po pohyblivom páse (conveyor belt) a teda majú väčšiu výslednú rýchlosť voči zemi, než akú by mali, keby išli priamo po zemi. Celá skupina sa teda v priemere hýbe smerom k cieľu rýchlejšie.

Tento efekt sa Destin snaží vysvetliť v jednoduchej simulácii s LEGOm. A na konci simulácie spraví taký ten typický trik, ktorý robíme, keď sa nám zdá myšlienka jasná, ale nechce sa nám to dotiahnuť do konca :-) "...so we have two levels, so does it mean that this moves twice as fast? No, it doesn't. Do the math for me by looking at these grids and let me know in the comments, how much faster..."

Tak čo, ako to vidíte vy? Vedeli by ste úvahu dokončiť a povedať, koľkokrát rýchlejšie sa hýbu LEGO húsenice, ak idú v takomto dvojposchodovom húfe? Let me know in the comments, how much faster...

Hint: Keď som sa snažil niečo spočítať a potom to porovnať s počtom prejdých bodiek na LEGO mriežke, stále mi to nejako nesedelo. Potom som si uvedomil, že Destinov nápad s porovnaním modrých kociek je mierne zavádzajúci - pretože modrá v kope sa nepohybuje stále rovnako rýchlo. Ak by sme chceli použiť počítanie bodov na mriežke na porovnanie rýchlostí, bolo by lepšie počkať až kým sa modrá nevráti znovu na chvost kopy, alebo porovnávať radšej niečo iné...