Tvrdenia o ťažniciach

Čo pekné sa teda dá dokázať s pomocou trojuholníkovej nerovnosti? Napríklad toto:

Tvrdenie 1: V každom trojuholníku platí, že ľubovoľná ťažnica je kratšia ako polovica obvodu.

Dôkaz: Dokážeme si toto tvrdenie priamo. Častokrát je polovicou úspechu dobrý obrázok, alebo rozbor úlohy. Nám pomôže, keď si uvedomíme, že ťažnica spája vrchol so stredom protiľahlej strany. Tým pádom stranu delí na dve rovnako dlhé úsečky:
Bod S sa zároveň stáva vrcholom dvoch trojuholníkov, na ktoré delí pôvodný trojuholník ťažnica. V trojuholníku ASC aj SBC platí trojuholníková nerovnosť. Teda súčasne platia nerovnosti:

t < c/2 + b
t < a + c/2

Obidve nerovnosti môžeme sčítať (premyslite si, prečo to platí...):

t + t < c/2 + b + a + c/2
2.t < a + b + c
t< (a + b + c)/2

Keďže sme pracovali s trojuholníkom všeobecne, a úvaha o ťažnici sa dá zopakovať aj pre ťažnice na ostatné strany, dokázali sme Tvrdenie 1. Chcelo by to štvorček:)

Tvrdenie 2: V každom trojuholníku platí, že dĺžka ľubovoľnej ťažnice je menšia, než polovica súčtu strán, medzi ktorými leží.

Toto tvrdenie sa opäť dá hladko dokázať priamo. Priestor preukázať svoje dokazovacie schopnosti prenechávam prípadným záujemcom. Ako malý hint pripájam odporúčanie spomenúť si, ako sa dá skonštruovať trojuholník, ak mám zadané len dĺžky ťažnice a dvoch strán, medzi ktorými leží.