sobota 12. decembra 2009

Stredový a obvodový uhol

Nestihli sme si na hodine dokázať vetu o vzťahu obvodového a stredového uhla. Týmto príspevkom by som chcel splatiť svoju podlžnosť. Aby nikto nebol na pochybách, pripomeňme si najmprv, o akých uhloch to hovorím.

Nech A a B sú ľubovoľné dva rôzne body ležiace na kružnici k. Tieto dva body rozdeľujú kružnicu na dva oblúky AB. Pokiaľ úsečka AB nie je priemerom kružnice, tak jeden oblúk AB je dlhší a druhý kratší. K ľubovoľnému z oblúkov AB prislúcha nekonečne veľa obvodových uhlov a jeden jediný stredový uhol.

Uhol AVB, ktorého vrchol V je bodom kružnice a jeho ramená prechádzajú krajnými bodmi oblúku AB nazývame obvodový uhol príslušný k tomu oblúku AB, ktorý v tomto uhle leží. (Na obrázku leží v uhle AVB kratší oblúk AB, preto je to o.u. príslušný ku kratšiemu oblúku AB.)

Ku každému oblúku AB prislúcha presne jeden stredový uhol ASB. Opäť hovoríme o uhle príslušnom k tomu oblúku AB, ktorý v tomto uhle leží. Vrchol S je stred kružnice.

Platí veta: Veľkosť stredového uhla je rovná dvojnásobku veľkosti obvodového uhla príslušného k tomu istému oblúku kružnice.

Dôkaz: Platnosť vety dokážeme pre uhly kratšieho oblúka AB (tak ako na obrázku). Obvodových uhlov príslušných k oblúku AB je nekonečne veľa. Ich vrcholy môžu ležať kdekoľvek na dlhšom oblúku AB. Rozmeňme si preto problém na drobné a dôkaz vyriešme pre tri rôzne možné typy pozícií vrcholu V.

i. Ak má vrchol V takú polohu na kružnici k, že stred S leží na jednom jeho ramene (na obrázku S leží na VA). Vtedy je dôkaz ľahký. Platí, že SV = SB, pretože obe úsečky sú polomery kružnice k. Trojuholník VSB je teda rovnoramenný. To znamená, že uhly pri jeho základni sú zhodné (na obr.: alfa). Stredový uhol ASB je vonkajší uhol trojuholníka VSB, a preto sa jeho veľkosť rovná súčtu uhlov pri zvyšných vrcholoch.ASB = 2.AVB

A to sme chceli dokázať. Stredový je dvojnásobok obvodového.

ii. Druhá situácia nastáva vtedy, ak je stred S vnútorným bodom obvodového uhlu AVB (ľavý obrázok). Vyzerá to zložitejšie, tu už žiadny rovnoramenný trojuholník na prvý pohľad nevidno. Ako to býva v matematických dôkazoch zvykom, stačí spraviť malý trik. Rozdeľme uhol AVB na dva menšie uhly AVS a SVB (pravý obrázok). Tým však vzniká situácia z bodu i., pretože tu máme dva obvodové uhly, pre ktoré platí, že stred S leží na ich ramenách. Takže podľa i. platí, že omega1=2.alfa1, omega2=2.alfa2. Sčítaním oboch vzťahov získame to, čo sme chceli. ASB = 2.AVB


iii.
Najťažšia chvíľa príde vtedy, keď S leží mimo obvodového uhla AVB. Opäť spravíme fintu a doplníme si do obrázka ešte jednu polpriamku - VC. Vznikne nám tak ďaľší pár obvodových a stredových uhlov. K oblúku CB teraz prislúcha stredový uhol CSB, ktorý je dvakrát taký veľký ako obvodový uhol CVB, tiež podľa už dokázaného bodu i. Teda CSB = 2.CVB. Podobne pre oblúk CA platí CSA = 2.CVA. Odčítaním oboch vzťahov dostávame ASB = 2.AVB.


Ak ste sa cez tento text prehrýzli až sem, dôkaz pre uhly príslušné k dlhšiemu oblúku AB už zvládnete poľahky aj sami.

Poznámka: Dôkaz je spracovaný podľa vynikajúcej českej učebnice Matematika pro gymnázia: PLANIMETRIE, RNDr. E. Pomykalová, Prometheus 2008.

7 komentárov:

Jan povedal(a)...

Za tento dokaz Ti velmi pekne dakujem, je naozaj elegantny, a lahko zapamatatelny. Vzdy ma zaujimalo, preco je to prave dvojnasobok, a ako sa to da dokazat pre vsetky mozne pripady.

Lardias povedal(a)...

Paráda, akurát sa pripravujem na maturitu z matematiky. Nevedel som si poradiť s jedným príkladíkom, no našťastie ma sem zaviedol pán Gúgl a hneď mám krajší deň. Vďaka ;)

rasťo povedal(a)...

Tak to je uplne skvele, tesim sa, ze ti tento clanok pomohol.

Anonymný povedal(a)...

Pekny clanok, prosim Ta potreboval by som hint s velmi podobnym dokazom:
Vrchol uhla lezi mimo kruhu a ramena uhla pretinaju kruznicu. Potom velkost daneho uhla je rovna polovici rozdielu stredovych uhlov tetiv, ktore kruznica vytina na ramenach uhla.
Ocenim kazdu pomoc:)

Peter Mlynarcik povedal(a)...

Dobry den Rasto ! Chcem vyjadrit, ze sa mi velmi paci Vas popis obvodoveho a stredoveho uhla vo vztahu ku kruznicovemu obluku. Jedno z najelegentnejsich popisov co som nasiel na nete (mozno som nehladal prilis dlho :) ) Dakujem a nech sa dari ! Peter Mlynarcik (Kosice)

rasťo povedal(a)...

Peter, vdaka za povzbudivy odkaz. Takto formulovany dokaz som nasiel v ceskej ucebnici matematiky, ktora sa pouziva na strednych skolach (RNDr. Pomykalova et al, vydal Prometheus).

Peto povedal(a)...

Totok je hrozne super :)

btw, info o Vašej identite už nie je úplne aktuálne. Odporúčam update.