nedeľa, 25. októbra 2009

Tvrdenia o ťažniciach

Čo pekné sa teda dá dokázať s pomocou trojuholníkovej nerovnosti? Napríklad toto:

Tvrdenie 1: V každom trojuholníku platí, že ľubovoľná ťažnica je kratšia ako polovica obvodu.

Dôkaz: Dokážeme si toto tvrdenie priamo. Častokrát je polovicou úspechu dobrý obrázok, alebo rozbor úlohy. Nám pomôže, keď si uvedomíme, že ťažnica spája vrchol so stredom protiľahlej strany. Tým pádom stranu delí na dve rovnako dlhé úsečky:
Bod S sa zároveň stáva vrcholom dvoch trojuholníkov, na ktoré delí pôvodný trojuholník ťažnica. V trojuholníku ASC aj SBC platí trojuholníková nerovnosť. Teda súčasne platia nerovnosti:

t < c/2 + b
t < a + c/2

Obidve nerovnosti môžeme sčítať (premyslite si, prečo to platí...):

t + t < c/2 + b + a + c/2
2.t < a + b + c
t< (a + b + c)/2

Keďže sme pracovali s trojuholníkom všeobecne, a úvaha o ťažnici sa dá zopakovať aj pre ťažnice na ostatné strany, dokázali sme Tvrdenie 1. Chcelo by to štvorček:)

Tvrdenie 2: V každom trojuholníku platí, že dĺžka ľubovoľnej ťažnice je menšia, než polovica súčtu strán, medzi ktorými leží.

Toto tvrdenie sa opäť dá hladko dokázať priamo. Priestor preukázať svoje dokazovacie schopnosti prenechávam prípadným záujemcom. Ako malý hint pripájam odporúčanie spomenúť si, ako sa dá skonštruovať trojuholník, ak mám zadané len dĺžky ťažnice a dvoch strán, medzi ktorými leží.

Červená čiapočka a trojuholníková nerovnosť

Problém, ktorý mala červená čiapočka bol hlavne v tom, že nepoznala trojuholníkovú nerovnosť. Keby ju poznala, tak si uvedomí, že vzdialenosť z jej domu k babičke |DB| musí byť menšia ako súčet vzdialeností z domu do lesa |DL|, a potom z lesa k babičke |LB|. Vyhla by sa tak stretnutiu s vlkom, nič zvláštne by sa jej neprihodilo a my by sme boli o jeden strhujúci rozprávkový príbeh chudobnejší.


Otázkou ostáva, ako teda vlastne chápať tú trojuholníkovú nerovnosť. Trojuholníková nerovnosť v knižke Zmaturuj z matematiky vyzerá takto:

Pre ľubovoľné tri úsečky s dĺžkami a, b, c platí, že sú stranami trojuholníka práve vtedy, keď |b-c|< a < b+c.

Každý kriticky rozmýšľajúci prvák na bilgyme však vie, že na matematické výroky sa treba pozerať veľmi skepticky, treba hľadať kontrapríklady. Napríklad takto vyslovená "trojuholníková nerovnosť" neplatí. Skúste uhádnuť prečo!

My sme si v škole povedali jednoduchú verziu - Pre ľubovoľné tri body A, B, C platí, že vzdialenosť |AB| < |AC| + |CB|. Po lopate, "v trojuholníku sa nachodím menej, ak idem z vrcholu A do vrcholu B priamo, ako keď si najprv odbočím do vrcholu C a až potom idem do vrcholu B."

Takto vyslovenú trojuholníkovú nerovnosť nikto spochybňovať nebude. V skutočnosti je trojuholníková nerovnosť tak základná vec, že ju nespochybňuje nikto ani na vysokej škole. Na vysokej škole dokonca ľahšie spochybnia to, ako sa vlastne merajú vzdialenosti medzi dvoma bodmi, než aby spochybnili trojuholníkovú nerovnosť! (Prejavuje sa to tak, že trojuholníková nerovnosť sa nedokazuje, ale naopak v definícii merania vzdialeností sa hovorí, že akokoľvek meriame vzdialenosti, musí to fungovať tak, že pre vzdialenosti bude platiť trojuholníková nerovnosť...niekedy o tom napíšem viac.)

Trojuholníková nerovnosť sa dá šikovne použiť na dokázanie rôznych pekných tvrdení. Nejaké príklady si ukážeme v ďalších príspevkoch.

streda, 14. októbra 2009

Súčet uhlov v hviezde

Na prváckej matike sa hráme s uhlami. Na domácu úlohu bolo ukázať, že súčet vnútorných uhlov v päťcípej hviezde, ktorá vznikne pospájaním piatich úsečiek, sa rovná 180°. Niektorým sa to podarilo, dôkaz sme si prešli na hodine, ale podaktorí to celkom nestíhali prežuť. Pre tých je určené toto krátke video:



Poznámka: Ospravedlňujem sa, že uhol alfa nie je pri vrchole A, beta nieje pri B, atď., tento estetický nedostatok som si všimol až keď som to celé dokončil:(

piatok, 9. októbra 2009

Zmerajte si sily s prvákmi

S prvákmi sme preberali výrokový počet. Na malej písomke som ako bonus zadal jednu klasickú hádanku:

Pútnik narazil na svojej ceste na rázcestie. Vie, že jedna cesta vedie do Pravdova, mesta, v ktorom hovoria všetci iba pravdu, a druhá cesta vedie do Klamárova, v ktorom všetci stále klamú. Na rázcestí stojí jeden človek – určite je obyvateľom jedného z týchto dvoch miest, ale nevieme ktorého. Akú otázku mu má položiť pútnik, aby s istotou zistil, ktorou cestou sa má vybrať smerom do Pravdova?

Táto hádanka býva obyčajne naformulovaná tak, že na rázcestí stoja dvaja - jeden z Pravdova a druhý z Klamárova. Keď som písal zadanie písomky, akosi som na to zabudol a úlohu som takto preformuloval. V tejto verzii je, samozrejme, tiež riešiteľná, len asi o niečo ťažšia. Zmeriate si sily s prvákmi a uhádnete, čo sa treba spýtať?

Poznámka: Určite sa dá pýtať rôznymi spôsobmi, cieľom je nájsť čo najelegantnejšiu slovnú formuláciu.

WICK

Na našej škole majú všetci študenti jedno políčko rozvrhu úplne rovnaké. V piatok patrí štvrtá hodina predmetu, ktorý sa volá WICK. Je to skratka, ktorá znamená Weekly Inspiration Club for Kids. Nie je to vyučovací predmet, ktorý by ste našli v nejakom štátnom vzdelávacom programe. WICK vyzerá tak, že všetci študenti aj učitelia sa nahrnú na jedno veľké miesto s veľa stoličkami a kobercom. A potom príde hosť a rozpráva zaujímavé veci. Mal by nás inšpirovať a načrtnúť veciam iný, širší obzor. Na chvíľu všetci odlepíme zrak od zošitov a učebníc, a z nadhľadu sa pozrieme na veci, na ktoré obyčajne nedovidíme.

Tak napríklad ostatné dva týždne sme mali rovnakú tému - "20 rokov po", a naši hostia rozprávali o komunizme, o novembri a trochu aj o porevolučných rokoch na Slovensku. Pred týždňom tu bol novinár Š. Hríb a dnes sme tu mali sociologičku prof. I. Radičovú. Ale už tu vraj boli aj rôzni umelci, aj prírodovedci... takže sa veľmi teším, že tu na škole máme takýto unikátny priestor pre inšpiráciu.

Prvý WICK v tomto školskom roku bol na to, aby študenti spoznali nových učiteľov, ktorí práve nastúpili do školy. Cieľom bolo ukázať, že aj taký učiteľ je inak celkom normálny človek. Že pod šatami učiteľa sa skrýva ľudská bytosť so svojimi postojmi, záujmami, životom. Ja som sa teda mojej novej škole predstavil takto: