Pozičná číselná sústava je typickým príkladom výmyslu, ktorý sa stal tak bežným a zažitým, že málokedy preciťujeme radostné chvenie nad hĺbkou geniality tejto myšlienky. Ja kebyže som nejaký náš dávny predchodca a počítam dáke ovce, dukáty, armádu alebo obilné sýpky a potrebujem si počty zapísať, asi by som sa uchýlil k nejakému jednoduchému spôsobu notácie. Napríklad pre malý počet by som počty reprezentoval jedna-k-jednej čiarkami, pre väčšie počty by som začal rozlišovať špeciálne symboly pre množstvá napríklad 5, 10, 20, 100 a tak ďalej. Asi by som prišiel k nejakému podobnému systému ako sú rímske čísla. Som si istý, že by mi ani na um nezišlo čosi podobné ako tým špekulantom Arabom, ktorým vďačíme za naše dnešné čísla.
Keď som bol malý, žiaľ som si myslel, že hlavný rozdiel medzi tým, ako zapisujeme čísla bežne a ako sa zapisujú "rímskymi" je v tom, že rímske čísla vyzerajú ako písmená a tie naše bežné vyzerajú inak. Rozdiel je o niečo hlbšie. Nejde o to, ako vyzerajú rímske, či arabské číslica, ale ako sa s nimi narába, ako sa s nimi počíta - v skutočnosti majú úplne inú podstatu. Rímske poznajú pár symbolov označujúcich nejaké množstvá a tieto symboly sa podľa nejakých pravidiel kombinujú tak, aby sa vyjadrilo požadované množstvo (to zahŕňa rôzne pravidlá, ako výslednú hodnotu povoleným spôsobom nakombinovať). Skúste napísať rímskymi číslami 1234156. Asi by sa to zapísalo ako M napísané 1234-krát a za tým CLVI. Mohli by sme vymyslieť špeciálny symbol pre 10000, 100000 atď. Akokoľvek bohatý systém symbolov (I, V, X, L, C, ...) by sme však vytvorili, vždy by existoval symbol označujúci najväčšie množstvo, a akékoľvek väčšie číslo by sme potom museli vyjadriť už len pomocou (dlhého) radu symbolov. A skúste počítať nejaké jednoduché súčty alebo súčiny pomocou rímskych čísel...
Podstatou arabského systému je pozičná sústava. Pozičná sústava používa niekoľko základných číslic. Číslo je vyjadrené niekoľkými číslicami stojacimi vedľa seba. A je dôležitá ich vzájomná pozícia. Vezmime si teda na mušku našu desiatkovu sústavu. Volá sa desiatková preto, lebo používa desať číslic (0...9) a preto, lebo nejako súvisí s mocninami desiatky. Ako? Nech nám to ozrejmí príklad:
3526 = 3.103 + 5.102 + 2.101 + 6.100
Pre istotu pripomeniem, že 100 = 1. Teda na pozícii číslice závisí, akou mocninou desiatky ju násobíme. Keď vidíme napísané 3526, vidíme proste tritisícpäťstodvadsaťšesť. Lebo sme sa to tak naučili chápať, v skutočnosti je to ale veľmi originálny spôsob zápisu. A má nemálo výhod. Napríklad, na pohodlné vyjadrenie aj celkom veľkých čísel nám postačuje 10 základných číslic. Základnými číslicami vieme jednoznačne označiť množstvá od nuly po deväť. Keď chceme vyjadriť číslo desať, nevytvoríme si nový symbol, ale vezmeme symbol 1 a pridáme zaň 0. To znamená 1.101 + 0.100. Tým sme zdesaťnásobili počet čísel, ktoré vieme zapísať. Ak chceme zapísať číslo väčšie ako 99, priberieme na pomoc tretiu cifru, čím sa zase zdesaťnásobí počet rôznych čísel, ktoré už vieme vyjadriť. Teda je to celkom efektívny spôsob zápisu. Napríklad... milióny rôznych čísel vieme vyjadriť vhodnou kombináciou šiestich číslic. Alebo ešte inak - pridaním napríklad troch cifier sa stisícnásobí počet hodnôt, ktoré vieme jednoznačne vyjadriť... To je úžasné, nie?
Teraz si spomeňme na "sčítavanie pod seba". Takýto spôsob počítania funguje vďaka tomu, že pracujeme s pozičnou sústavou. Podobne násobenie. Skúste sčítavať pod seba rímske čísla... Tiež je pekné uvedomiť si, že dve čísla sa rovnajú práve vtedy, keď majú na rovnakých pozíciách rovnakú cifru. Znie to smiešne, ale nemuselo by to tak byť keby sme napríklad používali desať cifier, ale pozície by sme násobili mocninami 9. V takejto čudnej sústave by platilo 10 = 9, pričom obidva zápisy by označovali množstvo deväť (túto čudnú sústavu označme indexom 9*): (10)9* = 1.91 + 0.90 = (9)9* = 9.90 = (9)10 .
Na záver úloha, ktorú mi nedávno dal dlhoročný spolužiak Riško. Táto úloha sa vyskytla aj v tohtoročnom korešpondenčnom seminári na Gymnáziu J. Hronca. To znamená, že by ju mal zdatnejší absolvent základnej školy vyriešiť:
Dokážte, že rozdiel kladného trojciferného čísla a trojciferného čísla, v ktorom vymeníme krajné cifry z predchádzajúceho čísla, je deliteľný 99.
Asi nebude nijakým prekvapením, keď napoviem, že úloha sa dá veľmi ľahko vyriešiť, ak si uvedomíme, ako také trojciferné číslo vyzerá a skúsime si ho rozpísať na súčet násobkov mocnín desiatky, teda ak využijeme pochopenie myšlienky pozičnej sústavy...
O radosť z rozlúsknutia tejto hádanky sa môžete podeliť v komentároch.
2 komentáre:
Velmi pekny clanok. No narazil som na jednu nezrovnalost ktoru by som chcel upresnit:
Pozicny sposob zapisu cisel sa pouzival najskor v Indii. Neviem sice preco Indovia pouzivali takyto system, nie je mi zname, ze by si uvedomili jeho vyhody pri pocitani aritmetickych operacii. No to sa podarilo perzskemu matematikovi Al-Chorezmimu, ktory sa zasluzil o rozsirenie pozicnej sustavy do arabskeho sveta. Nakolko vsak Al-Chorezmi posobil v Bagdade a pisal svoje diela v arabcine, je vzitou tradiciou povazovat za objavitelov pozicneho sposobu zapisu cisel prave Arabov.
Jano, vďaka za poučný komentár. Pripomenul si mi ešte jednu vtipnú, neviem, či naozaj pravdivú anekdotu. Prvý preklad práce Al-Khwārizmīho do latinčiny vraj prekonvertoval použité číslice na rímske. Teda dielo, ktoré vysvetľovalo, ako sa počíta v pozičnej číselnej sústave po preklade muselo asi vyznievať dosť nezmyselne. Ktovie, ako to celé chápal ten, čo ho prekladal. :-)
Zverejnenie komentára