Červená čiapočka a trojuholníková nerovnosť

Problém, ktorý mala červená čiapočka bol hlavne v tom, že nepoznala trojuholníkovú nerovnosť. Keby ju poznala, tak si uvedomí, že vzdialenosť z jej domu k babičke |DB| musí byť menšia ako súčet vzdialeností z domu do lesa |DL|, a potom z lesa k babičke |LB|. Vyhla by sa tak stretnutiu s vlkom, nič zvláštne by sa jej neprihodilo a my by sme boli o jeden strhujúci rozprávkový príbeh chudobnejší.


Otázkou ostáva, ako teda vlastne chápať tú trojuholníkovú nerovnosť. Trojuholníková nerovnosť v knižke Zmaturuj z matematiky vyzerá takto:

Pre ľubovoľné tri úsečky s dĺžkami a, b, c platí, že sú stranami trojuholníka práve vtedy, keď |b-c|< a < b+c.

Každý kriticky rozmýšľajúci prvák na bilgyme však vie, že na matematické výroky sa treba pozerať veľmi skepticky, treba hľadať kontrapríklady. Napríklad takto vyslovená "trojuholníková nerovnosť" neplatí. Skúste uhádnuť prečo!

My sme si v škole povedali jednoduchú verziu - Pre ľubovoľné tri body A, B, C platí, že vzdialenosť |AB| < |AC| + |CB|. Po lopate, "v trojuholníku sa nachodím menej, ak idem z vrcholu A do vrcholu B priamo, ako keď si najprv odbočím do vrcholu C a až potom idem do vrcholu B."

Takto vyslovenú trojuholníkovú nerovnosť nikto spochybňovať nebude. V skutočnosti je trojuholníková nerovnosť tak základná vec, že ju nespochybňuje nikto ani na vysokej škole. Na vysokej škole dokonca ľahšie spochybnia to, ako sa vlastne merajú vzdialenosti medzi dvoma bodmi, než aby spochybnili trojuholníkovú nerovnosť! (Prejavuje sa to tak, že trojuholníková nerovnosť sa nedokazuje, ale naopak v definícii merania vzdialeností sa hovorí, že akokoľvek meriame vzdialenosti, musí to fungovať tak, že pre vzdialenosti bude platiť trojuholníková nerovnosť...niekedy o tom napíšem viac.)

Trojuholníková nerovnosť sa dá šikovne použiť na dokázanie rôznych pekných tvrdení. Nejaké príklady si ukážeme v ďalších príspevkoch.