deliteľnosť sedmičkou. (20.02.2008)

Ostatné dva týždne som trávil čas na 1. súkromnom gymnáziu na bajkalskej. Bol som tu na pedagogickej praxi z matematiky. Jeden z najkrajších momentov, ktorý som tu zažil bol na seminári v septime Champions. Opakovali sme si tam základy teórie čísel. Jednou z vecí, čo sa na strednej škole učí sú kritériá deliteľnosti, teda akési finty, ktoré nám umožnia o nejakom, hoci aj veľkom čísle, veľmi rýchlo povedať, či je deliteľné napríklad 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 50 alebo 100, či nejakým iným číslom. No a ten pekný moment - keď som sa pokúsil preskočiť kritérium deliteľnosti sedmičkou, zdvihla sa v učebni vlna plačlivého nesúhlasu: 'veď nám sľúbili, že sa to v septime na seminári dozvieme! Načo sme tu tie roky čakali?'

To bolo podľa mňa pekné. Musel som sa priznať, že o kritériu deliteľnosti sedmičkou ani nešípim. Tak teraz sa pokúsim tento dlh vyriešiť a nejaké 'kritériá na sedmičku' tu opísať.

Prvý spôsob
Ilustrujme si prvý spôsob na čísle 289 621 164

(i) Vezmime poslednú cifru. (4)
(ii) Vynásobme ju dvoma. (4 . 2 = 8)
(iii) Výsledok odpočítajme od pôvodného čísla bez poslednej cifry. (28 962 116 - 8 = 28 962 108)
(iv) Ak je tento výsledok deliteľný 7, tak aj pôvodné číslo je deliteľné 7, a ak nie je, tak ani pôvodné číslo nie je. Ak to ešte stále nevieme rozhodnúť, postup opakujeme.

V našom príklade postup budeme opakovať:
2 896 210 - (2 . 8) = 2 896 194
289 619 - (2 . 4) = 289 611
28 961 - (2 . 1) = 28 959
2 895 - (2 . 9) = 2 877
287 - (2 . 7) = 273
27 - (2 . 3) = 21 a to už vieme, že je deliteľné 7, a teda aj číslo 289 621 164 je deliteľné siedmimi, uff, ale sme si vydýchli.

Druhý spôsob
Teraz overme napríklad číslo 4 573 034

(i) Prvú cifru zľava vynásobme trojkou. (4 . 3 = 12)
(ii) A pripočítajme k cifre druhej zľava (12 + 5 = 17)
(iii) Pôvodné prvé dve cifry teraz nahraďme výsledkom. (1 773 034)
(iv) Ak je tento výsledok deliteľný 7, tak aj pôvodné číslo je deliteľné 7, a ak nie je, tak ani pôvodné číslo nie je. Ak to ešte stále nevieme rozhodnúť, postup opakujeme.

Počítajme ďalej:
1 773 034 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 7 = 10 -> 1 073 034
1 073 034 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 0 = 3 -> 373 034
373 034 -> 3 . 3 = 9 -> 9 + 7 = 16 -> 163 034
163 034 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 6 = 9 -> 93 034
93 034 -> 9 . 3 = 27 -> 27 + 3 = 30 -> 30 034
30 034 -> 3 . 3 = 9 -> 9 + 0 = 9 -> 9 034
9 034 -> 9 . 3 = 27 -> 27 + 0 = 27 -> 2 734
2 734 -> 2 . 3 = 6 -> 6 + 7 = 13 -> 1 334
1 334 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 3 = 6 -> 634
634 -> 6 . 3 = 18 -> 18 + 3 = 21 -> 214
214 -> 2 . 3 = 6 -> 6 + 1 = 7 -> 74
A o čísle 74 už s istotou vieme, že nie je deliteľné 7. Je otázne, či nám takéto smutné zistenie ponúka dostatočnú satisfakciu za zdĺhavé výpočty, ktorými sme sa k nemu prepracovali (Ja som si to celé trikrát opravoval, a stále neručím za bezchybnosť všetkých výpočtov - takéto algoritmy sú proste skvelým zdrojom omylov).

Tretí spôsob
Najrýchlejší spôsob si ilustrujme na čísle 2 359 406 178 836

(i) Číslo si 'rozsekajme' na dovjciferné skupinky, začínajúc sprava. (2 35 94 06 17 88 36)
(ii) Pre každú skupinku vypočítajme zvyšok po delení siedmimi. (2 0 3 6 3 4 1)
(iii) Tieto zvyšky po delení teraz uložme do skupiniek po troch začínajúc sprava. (3 4 1; 0 3 6; 2)
(iv) Po stĺpcoch tieto skupinky sčítajme. (3 + 0 = 3; 4 + 3 = 7; 1 + 6 + 2 = 9)
(v) Jednotlivé sumy redukujme vypočítaním ich zvyškov po delení siedmimi. (3; 7; 9 -> 3; 0; 2)
(vi) Vezmime 'ľavé dvojčíslie' a zapíšme si zvyšok po delení siedmimi. (30, zvyšok po delení je 2) Podobne vezmime aj 'pravé dvojčíslie' a vyrátajme zvyšok po delení siedmimi. (02 = 2, zvyšok je teda 2)
(vii) Odrátajme ľavú cifru od pravej. Ak je pravá cifra menšia ako ľavá cifra, tak k pravej cifre prirátajme najprv sedem. (V našom príklade sa cifry rovnajú, teda stačí odpočítať ľavú od pravej. 2 - 2 = 0)
(viii) To, čo nám vyšlo, je zvyšok po delení pôvodneho čísla siedmimi. Teda pôvodné číslo je deliteľné sedmičkou práve vtedy a len vtedy, keď nám nakoniec ostane nula. (Nám vyšla 0, a teda 2 359 406 178 836 je deliteľné siedmimi.)

Spoločný nedostatok všetkých troch uvedených algoritmov je zdĺhavosť. Určite by bolo rýchlejšie skúmané číslo jednoducho 'vydeliť pod seba' sedmičkou, než prevádzať túto zvláštnu aritmetickú alchýmiu. Navyše nie je jednoduché tieto recepty odvodiť, dokázať, že naozaj platia a to je asi aj dôvod, prečo sa deliteľnosť 7 nezvykne na školách učiť. Ani ja sa nebudem pokúšať dokazovať uvedené postupy. Pripájam len pár liniek na stránky, kde môžete nájsť podrobnosti:
http://www.cut-the-knot.org/blue/div7-11-13.shtml
http://en.allexperts.com/q/Number-Theory-2079/Brief-method-determining-number.htm
http://www.sciencenews.org/articles/20020817/mathtrek.asp
http://www.divisibilitybyseven.mat.br/

Týmto pokladám svoj dlh voči septime Champions za vyrovnaný. Milí septimania, nech sa vám v živote darí. Keď budete robiť pohovor do nejakého zamestnania, nezabudnite sa pochváliť, že ovládate tri rôzne metódy na skúmanie deliteľnosti čísla sedmičkou. Keď sa vás zamestnávateľ nechápavo spýta, čo to je, neveriacky naň zagúľajte očami, a potom taktne poznamenajte, že to na neho nikomu neprezradíte.