temperované ladenie. (9.10.2007)

Nedávny rozhovor ma znova priviedol zamyslieť sa nad temperovaným ladením. O čo ide? Ide o spôsob ladenia hudboných nástrojov. Kedysi to bolo takto: keď brnknem na strunu (napríklad môžem brnkať na gitare, alebo hoci aj na napnutom špagáte na sušenie prádla), ozve sa zvuk. Keď brnknem na strunu (rovnako hrubú a pružnú), ktorá má polovičnú dĺžku, zvuk, ktorý začujem bude o oktávu vyšší. Ako znie oktáva? Na klavíri môže znieť napríklad takto:
rozne dvojice tonov vo vztahu jednej oktavy
zakladny ton a potom jeho oktava, potom oktava jeho oktavy atď.

Keby som namiesto polovičnej dĺžky vzal dvojtretinovú dĺžku (vzhľadom k pôvodnej strune), brnknutie by znelo o kvintu vyššie. Takto definovaná kvinta je interval, v ktorom dvojica tónov znie pekne. Kvinta znie takto:
rôzne kvinty

Pomer 2/3, ktorý udrčuje vzťah dĺžok pekne súznejúcich strún, zvaný kvinta má - ako vidíme - tvar jednoduchého zlomku. Podobne je to aj s veľkou terciou (daná pomerom 4/5), aj s intervalom zvaným kvarta (3/4) a zopár ďalšími. Takéto pekné zlomky určujú uchu lahodiace zvukové intervaly. Tieto pomery objavili starí Gréci (Pythagorejci?) a neskôr sa stali základom pre ladenie nástrojov. Neviem, či uchu lahodia práve preto, že to tak jednoducho v prírode je, alebo preto, lebo si na to naše ucho vychované západnou kultúrou (tá zas bola vychovaná starogréckou posvätnou úctou k racionálnym číslam a teda aj pekným zlomkom) takto zvyklo. Poznámka pre bádateľov: zdá sa mi, že keď fúknem do prázdnej fľašky (alebo rúrky, či flauty so zakrytými dierkami na prsty) len slabým dychom, ozve sa akýsi základný tón. Keď potom fúknem silnejšie, ozýva sa oktáva, ale pri rôznych intenzitách dychu sa ozvú aj iné intervaly - zaujímalo by ma, či sú tieto iné intervaly pythagorejské, alebo temperované a či je táto ich vlastnosť nezávislá od konštrukcie danej "zvukovej trubice".

Takéto pekné intervaly boli základom pre takzvané prirodzené ladenie. Prirodzené ladenie sa používalo až do konca 17. storočia. Malo nejaký nedostatok? Áno malo. Nedostatok súvisel so skladaním intervalov. Keď napríklad zahráme tón, potom jeho veľkú terciu (frekvencia tónu násobená 5/4) a k nej znova veľkú terciu a potom zas, mali by sme sa dostať na tón vo vzťahu jednej oktávy k pôvodnému tónu:

To je dané požiadavkami systému, ktorý sa volá stupnica. Stupnicu môžeme chápať ako sedem stúpajúcich zvukov, ktoré by mali znieť podobne, aj keď ich všetky posunieme o pár oktáv vyššie alebo nižšie. Problém troch tercií potom vyzerá tak, že keď zložíme tri tercie k základnému tónu "malé a" s frekvenciou 220 Hz dostaneme výsledok (5/4)krát(5/4)krát(5/4) krát 220, ktorý sa rovná 429,6875 , čo je iste menej ako očakávaná oktáva (440). Nie je to však ani dosť ďaleko na to, aby sme mohli povedať, že je to nejaký iný tón stupnice - jednoducho znie "očividne" mimo a nepekne vo vzťahu k prvému tónu. Znie to takto:
a-cis-f-a v prirodzenom ladení

Prirodzené ladenie sa snažilo zachovávať pekné intervaly, ale robilo to takpovediac nekonzistentne - napríklad sa naladilo celé čembalo tak, aby sedeli kvinty odvodené od najspodnejčieho C. Tým ale vznikali niektoré nepekne znejúce intervaly a navyše takto naladené čembalo hralo relatívne pekne len pre stupnicu C a jej príbuzné. Pre iné stupnice ho bolo treba preladiť. V týchto časoch platilo, že napríklad zmenšené e (es) sa nerovná zväčšenému d (dis).

Dobre temerované ladenie bolo medzikrokom k rovnomerne temperovanému ladeniu, ktoré sa používa dnes. V dobre temperovanom ladení sa všetko poposúvalo tak, aby sa dali používať všetky stupnice bez nutnosti prelaďovať nástroj. Neviem, ako presne fungovalo, ale výsledkom bolo dobre znejúcich 24 stupníc, avšak každá znela trochu inak. Práve dobre temperované ladenie prispelo k tomu, že hovoríme o "charaktere stupnice", keďže sa od prirodzených intervalov líšila inak (napríklad v nejakej znela falošnejšie kvinta, v inej zas bola posunutá tercia a podobne).

V súčasnosti sa používa rovnomerne temperované ladenie. To je také, ktoré ignoruje pekné zlomky a berie vážne iba oktávu. Na získanie oktávy potrebujeme násobiť frekvenciu krát 2. Rovnomerne temperované ladenie vzalo stupnicu a rozdelilo ju na 12 rovnako vzdialených poltónov. To znamená, že frekvenciu zvuku o poltón vyššie násobíme dvanástou odmocninou z 2. To preto, aby sme po posunutí sa o dvanásť poltónov prišli k oktáve. Napríklad sedem poltónov (ekvivalent kvinty) nám dá násobenie frekvencie číslom 2^(7/12)=1,498307..., čo je pomerne blízke prirodzeným 3/2 (racionálny pomer pre odvodenie frekvencie kvinty).

V rovnomerne temperovanom ladení sú všetky stupnice zvukovo "izomorfné", teda intervaly vo všetkých stupniciach majú rovnaké pomery, znejú rovnako, len sú posunuté podľa voľby stupnice. To umožnilo rozvoj harmónie a slobodu modulácií v hudbe 19. a 20. storočia. Teraz si pripomeňme problém troch tercií v prirodzenom ladení. Znelo to takto:
a-cis-f-a v prirodzenom ladení, teda násobené (5/4)

Takto znie riešenie v rovnomernom temperovanom ladení:
a-cis-f-a v rovnomerne temperovanom ladení, teda násobené iracionálnym číslom 2^(4/12)=1,259921...

Na záver tohto zamotaného rozprávania dodávam už len toľko, že v praktickej hre v orchestri sa častokrát vôbec nehrá presne - hudníci s meniteľnou výškou tónu (sláčiky, dychové, spev) prispôsobujú svoje zvuky buď vlastnému (asi nie rovnomerne temperovanému) sluchu, alebo sú dané intonáciou. Viac na túto tému na http://www.jimloy.com/physics/scale.htm, čo je stránka, z ktorej som aj značne čerpal.